Friday, April 24, 2015

核空间 上同调 像空间 电场可以看做微分形式(differential form)中的1-形式,磁通量可以看成2-形式; 上同调可以把很多大类无限维空间的之间的联系结构抽象为有限维空间,可以解释很多对称结构, 有洞的时候,这个时候借助同调群和上同调群结构相同,我们就可以很容易发现这个势其实和旋度场差了个1维空间。这个换面的例子的直接物理应用就是,可以看出空心金属圈里面的电磁环流是个什么样的场。


群上同调论是什么?它在物理学上有什么用?


好吧这五个字我也认识。。。

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@Sheldon
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1个答案
同调(Homology)是一个很深刻的数学方法。上同调是Cohomology。可以把很多大类无限维空间的之间的联系结构抽象为有限维空间,可以解释很多对称结构,这个展开讲没边了,我说几个同调理论在物理中的应用,讲完之后再举一个简单的微积分例子解释同调的方法论。
1. 电磁场
电场可以看做微分形式(differential form)中的1-形式,磁通量可以看成2-形式。二者都属于某种函数空间中,其有限能量空间可以通过微分算子联系,而通过微分算子构成的德拉姆上同调链(de Rham complex)的同调群正好是其电磁场的介质区域的Betti数。微分揭示拓扑结构,挺神奇的。
2. 规范场
规范场和李代数(或者李群 Lie algebra/group)联系紧密。李群的上同调理论则可以揭示很多规范场中的对称结构。
3. 拓扑量子场
上同调论的精彩战场之一,不用给空间加上度量的量子场论,纯粹在拓扑空间上的抽象积分,同调理论正好不需要依赖于度量空间,某些空间的商空间是特殊酉群(SU),很多物理现象可以用特殊酉群来描述,比如标准模型中的弱电对称。
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同调是什么呢?简单的例子可以从3维空间里面的向量微积分Stokes定理讲起,与我刚才说过的德拉姆上同调(de Rham cohomology)有关。
最基本Stokes公式如下:

在曲面对于向量场旋度点乘上带有法向量的积分,是包围这个曲面的曲线上这个向量场的线积分。
这个可以看做积分的牛顿-莱布尼兹公式在3维的推广。实际上我们还可以用下面非常抽象的,不依赖于度量的积分表示:

其中d是外微分算子,是取边界。
这个广义的不依赖于度量的公式,是说流形上,微分形式的外微分的积分,可以变成流形边界上的积分。这样就把外微分和取边界联系了起来。我们可以得到下面两个de Rham链式结构:


其中是p维光滑流形,而是光滑的p-形式。边界每取一次,维度下降,外微分每取一次,微分形式变高一阶。
de Rham同调群的得到既可以由边界算子出发,也可以由外微分算子得到。在第一个链里面,同调群可以由对p维流形取边界的核空间模掉对(p+1)维流形取边界的相空间得到:

这个同调群的维度就是我刚才说的Betti数了。
通过另外一个微分算子的链,得到的叫上同调结构,在三维流形上,外微分d有几个比较好的性质,对0-形式的外微分d是grad(梯度),对1-形式的外微分d是curl(旋度),对2-形式的外微分d是div(散度):

梯度场的旋度是0,旋转场的散度是0。
通过刚才第二个链结构在三维流形上构造出来的叫上同调群:

这是对p-形式取外微分的核空间模掉对(p-1)-形式的外微分的相空间。这个上同调群,竟然和刚才边界算子得到同调群结构相同!这是理论证明的结果,可以看成是一个同调群这种分析方法意外收获吧。
于是,我们还可以用同调的方法去分析传统的向量场势的构造问题,一个简单的例子就是,在一个2维环形面(有个洞)上,有一个散度0的向量场,那么我们能不能找到一个势函数,让其等于这个势的散度?当没洞的时候,微积分就可以得出结果,答案是可以。有洞的时候,这个时候借助同调群和上同调群结构相同,我们就可以很容易发现这个势其实和旋度场差了个1维空间。这个换面的例子的直接物理应用就是,可以看出空心金属圈里面的电磁环流是个什么样的场。
像下面两张图这样有复杂拓扑结构的区域里面的电磁场问题,有了用上同调群维度就是Betti数这个性质,就可以让很多麦克斯韦方程组导出的偏微分方程复杂混合边界问题里面的解的结构变得清晰起来:


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我自己对同调理论也是只知皮毛,希望大家查漏补缺。最后我想说的是,很多人物理或者数学博士读完了都不一定会用得到同调理论,所以大家没看懂我在说什么狗屁也完全没有关系的呀。
  • DTSIo:话说de Rham定理说的是de Rham上同调群和相应阶数的奇异实系数上同调群(同调群的对偶)同构......如果奇异同调群是有限秩的(比如流形是紧的情况),那么自然可以知道de Rham上同调群和实系数奇异同调群同构。但是一般来讲不能得到有限秩的断言。所以中间有一段应该稍加修改。
    总体来讲很清晰!不错!
     -  2014-08-03 09:18   回复  
  • 奇异点:大神你满篇都说了些什么!我想去LHC打扫卫生。
     -  2013-11-01 04:49   回复  
  • ZiYuan:这里面的Ker和Im是对于什么变换来说的
     -  2013-06-01 04:25   回复  
  • Majorana:这还只是上同调。。。群上同调其实可以纯代数的来定义。
     -  2013-05-28 14:12   回复  
  • AlephAlpha:你好像只讲了同调论,没讲群上同调论啊……
     -  2013-03-24 02:25   回复  
  • 非乌龟:回复@狂咲丿Scarlet:应该是GTM,咔咔
     -  2013-03-23 19:23   回复  
  • X_Deus:回复@wugui:没注意看,反正是黄色封面的,和一堆黄色封面的书放在一起。。。当时完全不知道这是讲什么的书,看词根似乎是“同类,同构”一类的意思。。。反正我是用不着了。。。类似的书架子上还有很多,都是没有中文名字的。。。
     -  2013-03-23 19:19   回复  
  • 非乌龟:回复@狂咲丿Scarlet:是gtm的么
     -  2013-03-23 19:13   回复  
  • 白糖糖:回复@呆头鹅:+1
     -  2013-03-22 16:53   回复  
  • X_Deus:昨天逛书店,看到一本厚厚的书,书名就叫Homology。。。
     -  2013-03-22 08:45   回复  
  • MathChief:回复@Sheldon:谢谢提问,pathtohappiness说的对,应该是像空间,这天杀的拼音输入法……
     -  2013-03-22 06:24   回复  
  • pathtohappiness:回复@Sheldon:核空间的意思就是把定义域中的哪个子空间映射为零,而相空间应该是像空间吧,它说的是把整个定义域映射为值域中的哪个子空间。这样说来,ker(curl)/im(grad)的意思应该就是指无旋场构成的空间,但在此把只相差一个梯度场的两个场当作是相同的。换句话说,我们想知道有没有哪个无旋场不是某个标量场的梯度;如果有的话,有哪些。
     -  2013-03-22 05:21   回复  
  • Sheldon:请问核空间和相空间是什么意思呢?看了你的描述,总觉得和AdS/CFT有点儿关系
     -  2013-03-22 01:11   回复  
  • Sheldon:后面的说明看懂了八、九成!就数你讲的最明白啦。
     -  2013-03-22 01:03   回复  
  • pathtohappiness:以前看过但觉得很不好懂,现在看到这些实例想起一点了,谢谢!
     -  2013-03-21 23:27   回复  
  • 呆头鹅:看到最后一句,身心觉得很放松。
     -  2013-03-21 22:


随机积分(严格来说, Wiener 测度)是无穷维空间上​的概率测度;在场论中​,经典相空间一般都是​无穷维空间。无穷维缺​少有限维的一个重要性​质,即平移旋转不变的 Lebesgue 测度的存在性

 

 

音乐快递:Wiener 测度)是无穷维空间上的概率测度,并不能 ...

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Wiener 测度)是无穷维空间上的概率测度,并不能分解为概率密度和基本测度的乘积. 来源: marketreflections 于2011-10-03 11:48:39 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] ...;
 
 
 
Hausdorff01 一个集合的测度与它的Hausdorff测度是不相关的。 2、有理数是分形结构,但它的Hausdorff维小于1, 随机积分(严格来说, Wiener 测度)是无穷维空间上的概率测度,并不能分解为概率密度和基本测度的乘积

问个问题,测试一下极坐标还有数鞋家不? - 天空之城 - 幻想在线

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2008年12月4日 - 11 篇文章 - ‎6 位作者
1、一个集合的测度与它的Hausdorff测度是不相关的。 2、有理数是分形结构,但它的Hausdorff维小于1。 3、有理数不是分形结构。 这三个结论哪一个 ...


2011年10月3日 - Wiener 测度是无穷维空间上的概率测度并不能分解为概率密度和基本测度的乘积 ... 这个测度需要在非常无限维的路径空间上定义,所以很困难。

  • qm01 随机积分(严格来说Wiener 测度是无穷维空间上的概率测度 ...

    phymath999.blogspot.com/2013/04/qm01-wiener.html
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    2013年4月26日 - 随机积分(严格来说, Wiener 测度是无穷维空间上的概率测度并不能分解为概率密度和基本测度的乘积(好像连续型随机变量在实数轴的分布 ...

  • phymath999: 空间是3维的,只有这样,引力场的高斯封闭面积分才 ...

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    2014年1月2日 - 如果空间是2维的,那么,同样的积分将给出引力场是距离r的反比 ... 音乐快递:Wiener 测度是无穷维空间上的概率测度并不能分解为.

  • (包括其它介质内)不能高于真空中的光速?因为我们不知道真空是啥

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  • 諾伯特·維納- MBA智库百科

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    諾伯特·維納(Norbert Wiener,1894~1964)——控制論之父維納是美國數學家,控制論 ... 羅素是維納的主要良師益友,維納跟他學習數理邏輯和科學與數學哲學,從這位 .... 用函數空間的點來表示作布朗運動的粒子的路徑,並證明,所有這些路徑除了概率 ... 現在把定義在連續函數空間的一種描述布朗運動的測度稱為維納測度,關於這個 ...

  • 维纳_百度百科

    baike.baidu.com/view/25861.htm?noadapt=1
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    维纳的全名是诺伯特·维纳(Norbert Wiener,1894-1964)是美国数学家,控制论的创始人。 ... 工程学,最后转向生物学,在各个领域中都取得了丰硕成果,称得上是恩格斯颂扬过. ... 建立维纳测度: 引进巴拿赫—维纳空间: 阐述位势理论: 发展调和分析 .... 用函数空间的点来表示作布朗运动的粒子的路径,并证明,所有这些路径除了概率为O ...

  • 概率统计的研究与发展 - 中国科学院院刊

    www.bulletin.cas.cn/ch/reader/view_abstract.aspx?file...
    轉為繁體網頁
    这是概率论发展史上的一个重要里程碑,为概率论的迅速发展铺平了道路[3]。柯尔莫 .... 不等式等;(2)研究无穷维线性空间和无穷维流形上的马列奥万分析与随机微分几何问题。 ... 他们严格证明了一些两维空间上统计力学模型的标度极限具有共形不变性。 ... 粒子系统与测度值过程及其遍历性研究,包括:(1)利用拟正则狄氏型理论构造 ...
  • [PDF]

    Lebesgue 积分的产生及其影响* - 数学进展

    advmath.pku.edu.cn/CN/.../downloadArticleFile.do?...id... - 轉為繁體網頁
    Riesz_Fisher 定理和20 世纪20-30 Nobeft Wiener 所建立的BTown 运动理论我还将从. 历史的角度出发对测度和积分这两个概念的演变做一些说明, 从而结束我的演讲. ...无穷事件, 预感到了现代概率论应有的特性1898 年, 他出版「耐本有关函数论 ..... 术性的语言描窒会之, 则可以这样说Foufier 变换是空间薰2 和空间L2 之间的 ...

  • 随机动力系统与非自治动力系统的一些动态行为- 豆丁网

    2013年10月27日 - 同时考虑了非自治动力系统在一般空间上的Conley分解定理. ... 这个结果可以应用到欧几里德空间上(局部紧)的非自治微分方程和无穷维空间上(非紧)的非自治偏 .... 当 是测度空间,动态映射() 是保测映射时, 即为遍历性理论. ... 随机动力系统结合了现代概率论的一些思想和方法, 特别是随机分析的思想和方法.

  • 本世紀多才多藝和學識淵博的科學巨人:維納

    159.226.2.2:82/gate/big5/mtw.kepu.net.cn/gb/.../3.../3_20_1020.htm
    維納的工作對於概率是極富成效的。它不僅給老問題注入 ... 現在把定義在連續函數空間的一種描述布朗運動的測度稱為維納測度,關於這個測度的積分稱為維納積分。



  • 本世紀多才多藝和學識淵博的科學巨人—— 維納

    維納在其50年的科學生涯中,先後涉足哲學、數學、物理學和工程學,最後轉向生物學,在各個領域中都取得了豐碩成果,被恩格斯稱讚為是本世紀多才多藝和學識淵博的科學巨人。
    維納一生發表論文240多篇,著作14本。他的主要著作有《控制論》、《維納選集》和《維納數學論文集》。維納還有兩本自傳《昔日神童》和《我是一個數學家》。他是伽金漢基金會旅歐研究員,富布賴特研究員,英、德、法等國的數學會會員,做過中國、印度、荷蘭等國的訪問教授。
    維納的主要成果有如下八個方面:
      
    建立維納測度
     維納是第一個從數學上深刻地研究布朗運動的數學家。
    1921年,他用函數空間的點來表示作布朗運動的粒子的路徑,並證明,所有這些路徑除了概率為O的集合外,都是連續但又不光滑即幾乎處處不可微的。他運用勒貝格積分計算了這些路徑上函數的平均值。1923年,維納第一次給出隨機函數的嚴格定義,證明可以是布朗運動的理論模型。
    維納從樣本路程的觀念出發,研究“路徑”的集合,引進維納測度,揭示了連續而不可微函數的物理特徵,故布朗運動又稱維納過程。維納的工作對於概率是極富成效的。它不僅給老問題注入了新生命,更重要的是開闢了嶄新的研究領域,揭示了概率論和其他數學分支之間引人注目的聯繫。維納的這項研究可以說是現代概率論的開創性工作。現在把定義在連續函數空間的一種描述布朗運動的測度稱為維納測度,關於這個測度的積分稱為維納積分。後來,日本數學家伊藤清在此基礎上發展了隨機積分論。
    引進巴拿赫—維納空間
    1920年,維納將法國數學家弗雷歇關於極限和微分的廣義理論推廣到向量空間,並給出了一個完整的公理集合。
            維納的結果與幾個星期以後發表在波蘭數學期刊上的巴拿赫的論文不謀而合,廣義的程度也分毫不差。巴拿赫構想和發表他的理論比維納早幾個月,但兩者的獨立程度是一樣的。故這兩項工作一度被稱為巴拿赫一維納空間理論。維納在短時間裏繼續發表了有關這方面的成果,為馮諾依曼1927年提出希爾伯特空間以及希爾伯特空間中的算子的公理方法提供了基礎。後來維納逐漸離開了這個領域,但他對泛函分析這一20世紀產生和蓬勃發展的新興數學分支所作出開拓性工作己載入數學史冊。
    闡述位勢理論
    1923~1925年,維納對位勢理論作出基本的貢獻。對於給定連續邊值函數的狄利克雷問題,得出了確切的廣義群。對於一般的緊集定義容度概念,並給出著名的正則性判據。早先關於一個區域內部的電磁勢的概念認為,它應當同邊界上給出的那些值完全一致。維納遵照他業已研究過的類似于廣義積分的概念,注意到一個區域內部的勢可以被看作是由邊界周圍的勢的線性組合決定,即使按照這個定義在接近邊界點時不能給出一個連續函數邊界。這是一個嶄新的概念,維納由此大大地擴展了位勢理論的許多概念,包括電荷和電容的概念。 這一成果的意義在於,新理論認為,一個內點的勢與邊界值的關係是一種廣義積分,而不是由一種將這些內部勢與邊界上的勢結合起來的極限過程。這就把原有關於邊界問題的觀點顛倒了過來。就象數學上曾經有過的多次觀點顛倒一樣,重新闡述位勢理論給多年來被一種過於因循守舊的論點弄得死氣沉沉的局面吹進了一股清新的空氣。
    發展調和分析
    為了給亥維賽計演算法建立一個紮實的邏輯基礎,維納走上了調和分析的新道路。1926年初他發表了這方面的第一篇論文,此後五年的工作以一篇廣義調和分析的長文而達到頂峰。維納從物理學借來函數作為調和分析的鑰匙,而後又把它同通訊理論聯繫起來,把寫成傅立葉變換。他獲得了現在所說的光譜分佈狀態。為了證明其中一個關鍵性的公式,維納在哈代和李特爾伍德的陶伯定理中提出了一種強有力的高度獨創的方法,即非零絕對收斂傅立葉級數的著名的反轉定理。這是一個具有統一數學抽象意義的驚人例子。維納在這方面的成果後來成為巴拿赫代數理論的基礎,並由此導出諸如素數定理等結果。
    發現維納—霍普夫方法
    1930年前後。維納與天文學家霍普夫合作,共同研究一類給定在半無窮區間上的帶差核的奇異積分方程。此類方程現在被稱為維納—維普夫方程。維納推廣了霍普夫關於輻射平衡態的研究,于1931年得出其求解方法。其基本思想是通過積分變換,將原方程化為一個泛函方程,然後再用函數因子分解的方法來求解,因此維納—霍普夫方法又稱因子分解法。它已成為研究各種數學物理問題的一種常用方法。維納創造性地說明,維納—霍普夫方程最引人注目的應用表現在兩種進程間的分界是時間上的而非空間的,這正是在預測理論的某些方面可應用的非常適當的工具。他進一步指出,還有許多關於儀器研究的更一般的問題可以用這種作用於時間的技術來解決。40年代以後,這一方程的理論在解析函數邊值問題、調和分析和算子理論的基礎上得到了系統的發展,其應用也從輻射問題擴展到許多其他領域,如中子遷移、電磁波衍射、控制論、多體問題及入口理論等。
    提出維納濾波理論
    在第二次世界大戰期間,為了解決防空火力控制和雷達噪聲濾波問題,維納綜合運用了他以前幾方面的工作,于1942年2月首先給出了從時間序列的過去數據推知未來的維納濾波公式,建立了在最少均方誤差準則下將時間序列外推進預測的維納濾波理論。維納的這項工作為設計自動防空控制炮火等方面的預測問題提供了理論依據,併為評價一個通訊和控制系統加工資訊的效率和品質從理論上開闢了一條途徑。它對自動化技術科學有重要的影響。維納在問題中引進統計因素並使用了自相關和互相關函數,事實證明這是極其重要的。維納濾波模型在50年代被推廣到僅在有限時間區間內進行觀測的平穩過程以及某些特殊的外平穩過程,其應用範圍也擴充到更多的領域,至今它仍是處理各種動態數據(如氣象、水文、地震勘探等)及預測未來的有力工具之一。
    開創維納資訊論
    維納是資訊論的創始人之一。他從帶直流電流或者至少可看作直流電流的電路出發來研究資訊論,獨立於申農,將統計方法引入通訊工程,奠定了資訊論的理論基礎。維納把消息看作可測事件的時間序列,把通信看作統計問題,在數學上作為平穩隨機過程及其變換來研究。他闡明瞭資訊定量化的原則和方法,類似地用“熵”定義了連續信號的資訊量,提出了度量資訊量的申農—維納公式:單位資訊量就是對具有相等概念的二中擇一的事物作單一選擇時所傳遞出去的資訊。維納的這些開創性工作有力地推動了資訊論的創立,併為資訊論的應用開闢了廣闊的前景。資訊論創立者申農說:“光榮應歸於維納教授”。
    創立控制論
    維納對科學發展所作出的最大貢獻,是創立控制論。這是一門以數學為紐帶,把研究自動調節、通信工程、電腦和計算技術以及生物科學中的神經生理學和病理學等學科共同關心的共性問題聯繫起來而形成的邊緣學科。 1947年10月,維納寫出劃時代的著作《控制論》,1948年出版後,立即風行世界。維納的深刻思想引起了人們的極大重視。它揭示了機器中的通信和控制機能與人的神經、感覺機能的共同規律;為現代科學技術研究提供了嶄新的科學方法;它從多方面突破了傳統思想的束縛,有力地促進了現代科學思維方式和當代哲學觀念的一系列變革。現在,控制論已有了許多重大發展。

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