http://zhblog.engic.org/category/phys/
http://tieba.baidu.com/home/main?un=wolfking97&ie=utf-8&fr=pb
（继续相对论中的刚性）
此时大家都意识到问题的关键是对做加速运动的物体如何定义刚性。就是说与其说在定义刚体，不如说是在定义刚性运动。最先做出尝试的是爱因斯坦本人，但他只考虑了非常特殊的情况，并且没有完全解决问题。1909年波恩首先给出了被大家普遍接受的刚性概念。
（下面的定义相对抽象，大家包涵点，这样的地方不会很多）波恩的做法是，考虑动体上的每一点的运动轨迹，用固有时（proper time，这个词是从@坂上中微子 那里刚学的）把轨迹曲线参量化，这些参量化后的运动轨迹就构成了4维时空中的一个流（current），或者用我们熟悉的说法就是所有轨迹上每点的切矢量构成了一个矢量场。对一条轨迹上的每个点，他再考虑跟切向正交的子空间，然后考虑闵氏度规在子空间上诱导的度规（induced metric）。波恩的刚性要求就是，这个诱导度规关于固有时这个参量的导数处处为零。
好了说了一大堆，大家恐怕已经不耐烦了。我们赶紧回头看看波恩到底想说什么。不严谨但直观的说法就是，一个运动物体要满足波恩刚性，那么对物体上每一个点每一个瞬间，从它的随动参照系看这个点到其它点的距离一直保持不变。
这听起来似乎是个很自然的定义。但是后来人们发现它对物体的运动是有很强的限制的。我们今天先看一个简单的例子，以后再来介绍一些相对复杂些的情况（比如埃伦费斯特（Paul Ehrenfest）佯谬）。最后如果大家有兴趣我们会介绍一个刻画波恩刚性的赫格洛茨-诺特定理（Herglotz-Noether theorem）。
坂上中微子: 与轨迹切向正交的子空间上的诱导度规，对固有时的导数为零——这与我说的“经过同样长的固有时，四维间隔保持一定”是等价的说法
wolfking97: 回复 坂上中微子 :恩我不确定的，就是你是否只考虑正交子空间上的度量还是整个的。前者对应的是Killing运动，后者才是波恩的刚性运动。前面那个微分方程是线性的，因为求导对象就是闵氏度量，后面那个是非线性的，因为诱导度量本身又是动体轨迹的函数。
wolfking97: 回复 wolfking97 :前面的“前者”跟“后者”搞反了！对整个度规求导是Killing motion。我感觉你已经认识到两者区别了，只是没有在前面明确表述。
2012-8-27 06:30回复
坂上中微子: 回复 wolfking97 :诱导度规是轨迹的函数——这是显然的，但不意味着有非线性的问题，因为它对轨迹没有动力学反馈。（不过我怎么忽然感觉我可能对诱导度规这个东西可能理解得不对呢= =）
相对论与黎曼几何-12-双生子佯谬
精选
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12. 双生子佯谬
首先，我们用图2-12-1b，观察解释一下时空中同时概念的相对性。对地球参考系（黑线直角坐标）而言，同时的点位于平行于x轴的同一条水平线上。比如说，地球上2012年发生的事件都在标志了“t=15年”的那条水平线上。这段时间内，宇宙飞船相对于地球作匀速运动，可以看作是一个惯性参考系。飞船参考系的坐标相对于地球参考系的坐标来说有一个旋转，如图中红色的斜线所表示。读者务必注意，这儿的所谓“坐标轴旋转”，也不同于普通空间中的旋转，被称之为“双曲旋转”，因为在闵可夫斯基时空中坐标变黄时需要保持光速不变，所以，当时间轴顺时针转动时，空间轴需要逆时针转动。在刘天的飞船参考系中看起来，平行于x’的红色斜线才是等时线。比如说，可以看看图中的A、B、C这三个事件。地球上的刘地看来，C和B是同时发生的，都发生在地球上的2027年，C点对应于自己30岁了。在宇宙飞船上的哥哥刘天呢，本来也应该是30岁，但是他的飞船时间过得慢，所以，哥哥只有20岁。飞船上的刘天怎么说呢？他不认为C和B是同时的。按照他的红线坐标，B和A才是同时的，B点对应于自己20岁，与B同时的是A点，弟弟相对于我，是运动的，时间应该更慢，所以，他还不到20岁。
爱因斯坦幸运地结交了两位犹太人数学家朋友：闵可夫斯基和格罗斯曼。
一开始，爱因斯坦对闵可夫斯基的四维时空不以为然，但当他结合黎曼几何考虑广义相对论的数学模型时，才认识到这个相对论少不了的数学概念的重要性。
尽管物理学家企图将时间和空间统一在一起，但两者物理意义上终有区别，无法将它们完全一视同仁，一定的场合下还必须严格加以区分。于是，天才数学家庞加莱将四维时空中的时间维和空间维分别用实数和虚数来表示。也就是说，将时空用3个实数坐标代表空间和1个虚数坐标描述时间。或者是反过来：用一个实数坐标表示时间和3个虚数坐标表示空间。到底是让空间作为实数唱主角（前者），还是像后面一种情况那样将时间表示为实数，只不过是一种约定或习惯而已。后一种表示方法是本系列文章中将经常使用的。
后来，闵可夫斯基发展了庞加莱的想法，他用仿射空间来定义4维时空。如此一来，就可以在形式上用对称而统一的方式来处理时间和空间。类似于3维欧几里德空间中的坐标旋转，洛伦茨变换成为这个4维时空中的一个双曲旋转。在欧几里德空间中，两个相邻点之间间隔的平方是一个正定二次式：
ds2 = dx2 + dy2 +dz2，
但这点不适用于闵可夫斯基时空，理由很简单，因为时空中的坐标除了实数之外，还有了虚数。根据刚才的约定，闵可夫斯基时空中两个相邻点之间间隔的平方变成了：
dt2 =dt2 - dx2 - dy2 - dz2，
这儿的dt被称为固有时。不同于欧几里德度规，闵可夫斯基时空的度规是“非正定”的。这种非正定性也导致闵氏空间具有了许多不同于欧氏空间的有趣性质。
从物理的角度，时间和空间的最根本不同是时间概念的单向性。你在空间中可以上下左右四面八方随意移动，朝一个方向前进之后可以后退再走回来。但时间却不一样了，它只能向前，不会倒流，否则便会破环因果律，产生许多不合实际情况的荒谬结论。
爱因斯坦的狭义相对论将时间和空间统一起来，彻底改变了经典的时空观，由此也产生了许多“佯谬”，双生子佯谬是其中最著名的一个。
根据相对论，对静止的观测者来说，运动物体的时钟会变慢。而相对论又认为运动是相对的。那么，有人就感到糊涂了：站在地面上的人认为火车上的人的钟更慢，坐在火车上的人认为地面上的人的钟更慢，到底是谁的钟快谁的钟慢啊？之所以问这种问题，说明人们在潜意识中仍然认为时间是“绝对”的。尽管爱因斯坦先生将同时性的概念解释得头头是道，听起来也似乎有他的道理，但是人们总觉得有问题想不通，于是，便总结出来了一个双生子佯谬。最早是由朗之万在1911年提出的。
话说地球上某年某月某日，假设在1997年吧，诞生了一对双胞胎，其中哥哥（刘天）被抱到宇宙飞船送上太空，另一人（弟弟刘地）则留守地球过普通人的日子。宇宙飞船以极快的速度（光速的四分之三）飞行。根据相对论的计算结果，在如此高的速度下，时间变慢的效应很明显，大概是3比2左右。所谓“时钟变慢”，是一种物理效应，不仅仅是时钟，而是所有与时间有关的过程，诸如植物生长、细胞分裂、原子震荡，还有你的心跳，所有的过程都放慢了脚步。总之就是说，当自认为是在“静止”参考系中的人过了3年时，运动的人却只过了2年。按照地球人的计划，1997年发射的那艘宇宙飞船，将于30年之后掉头反向以同样的速度飞回地球。因此，总共经过地球上60年之后，2057年，一对双胞胎能够再见面啦！那时候，地球上的弟弟刘地已经60岁了，但一直生活在高速运动的飞船中的哥哥刘天却只过了40个年头，人到壮年，风华正茂的年月。不过，有人便说：刘天会怎么想呢？爱因斯坦的狭义相对论不是说所有的参考系都是同等的吗？刘天在飞船中一直是静止的，地球上的弟弟却总是相对于他作高速运动，因此，他以为弟弟应该比他还年轻许多才对。但是，事实却不是这样，他看到的弟弟已经是两鬓斑白、老态初现，这便似乎构成了佯谬。无论如何，我们应该如何解释刘天心中的疑惑呢？
图2-12-1：双生子佯谬和同时性
首先，刘天有关狭义相对论的说法是错误的。狭义相对论并不认为所有的参考系都等同，而是认为只是惯性参考系才是等同的。刘天所在的宇宙飞船的飞行过程分成了飞离地球和飞向地球这两个阶段，每一段过程相对于地球而言都是作匀速运动，都能够分别当作是惯性参考系，但整个过程却不能在一起作为一个统一的惯性参考系。既然出发又再回头的宇宙飞船对整个过程而言并不是一个惯性参考系，刘天便不能以此而得出刘地比他年轻的结论，因而“佯谬”不成立。当刘天返回地球时，的确会发现地球上的弟弟已经比自己老了20岁。如果设想宇宙飞船的速度更快一些，快到接近光速的话，当它再次返回地球时，的确就有可能出现神话故事中描述的“山中方一日，世上已千年”的奇迹了。
我们可以使用刚才介绍的闵可夫斯基时空，更为仔细地分析这个问题。不过，我们并不需要画出4维的图形，只需要像图2-12-1b所示的，画出一个时间轴t加一个空间轴x，就足以说明问题了。
图2-12-1b中用黑线标示的直角坐标系（t，x）是地球参考系中的坐标。在这个坐标系中，两个双生子的时空过程，可以分别用他们的“世界线”来表示。什么是世界线呢？就是某个事件在时空中所走的路径。用这个新名词，以区别于仅仅是空间的“轨迹”或者仅仅时间的流逝。比如说，刘地在地球上一直没有动，所以他的世界线是沿着t轴，从出发点O->A ->C->D，图中是一条垂直向上的直线。而宇宙飞船中的刘天的世界线在图中是从O ->B ->D的一条折线。
也就是说，两个双生子的世界线都是从O到D，这是标志他们交汇见面的两个时空点：分别对应于出生时（O）和地球上60年之后（D）。两人的世界线中的一条是直线，一条是折线，这又说明什么问题呢？读者可能会认为：折线不是比直线要长吗？这点在普通空间是正确的，在“时空”中却未必见得，那是因为在这个2维时空中的距离平方：
dt2=dt2-dx2 （2-12-1）
的原因，而在普通2维坐标空间中：
ds2=dx2+dy2 （2-12-2）。
公式（2-12-1）中时空度规中的负号造成了时空空间的一些奇特性质。
首先，我们用图2-12-1b，观察解释一下时空中同时概念的相对性。对地球参考系（黑线直角坐标）而言，同时的点位于平行于x轴的同一条水平线上。比如说，地球上2012年发生的事件都在标志了“t=15年”的那条水平线上。这段时间内，宇宙飞船相对于地球作匀速运动，可以看作是一个惯性参考系。飞船参考系的坐标相对于地球参考系的坐标来说有一个旋转，如图中红色的斜线所表示。读者务必注意，这儿的所谓“坐标轴旋转”，也不同于普通空间中的旋转，被称之为“双曲旋转”，因为在闵可夫斯基时空中坐标变黄时需要保持光速不变，所以，当时间轴顺时针转动时，空间轴需要逆时针转动。在刘天的飞船参考系中看起来，平行于x’的红色斜线才是等时线。比如说，可以看看图中的A、B、C这三个事件。地球上的刘地看来，C和B是同时发生的，都发生在地球上的2027年，C点对应于自己30岁了。在宇宙飞船上的哥哥刘天呢，本来也应该是30岁，但是他的飞船时间过得慢，所以，哥哥只有20岁。飞船上的刘天怎么说呢？他不认为C和B是同时的。按照他的红线坐标，B和A才是同时的，B点对应于自己20岁，与B同时的是A点，弟弟相对于我，是运动的，时间应该更慢，所以，他还不到20岁。
在图中的这两个坐标系中（黑色和红色的），两个人的说法都是正确的，每一个人都观察到对方坐标系中的时钟比自己的更慢，从而都可以得出对方比自己更年轻的结论。但是，处于这样两个相互作匀速直线运动参考系中的双胞胎，出生且相互分离之后便永远不可能再见面，因而也就不可能构成前面所述的佯谬。不过，读者可能会说：他们虽然不能见面，但是可以通电话呀，在电话中他们互相一问，不就知道对方多少岁了么？然而，狭义相对论认为信息的速度不可能超过光速，当他们以光速通话时，也需要考虑他们之间的距离以及同时性的问题，对此我们就不进一步分析了。
在我们的故事中，地球上过了30年之后，太空船掉头向地球飞来，但这时的飞船参考系，已经不同于原来红线坐标的那一个了。要使太空船掉头达到反方向的速度，加速和减速的过程是必不可少的。在这个过程中的刘天感觉将如何？是不是被压扁或撕裂了啊？还能那么年轻力壮吗？我们且不去考虑这些种种问题，仅仅从狭义相对论时钟变慢的效应来估算他的年龄而已。
那么，既然在双生子佯谬中需要考虑宇宙飞船的加速度，是不是需要广义相对论的知识才能解释清楚它呢？也不是这样的。用地球参考系的2维时空图就可以解释清楚了。这儿，首先需要介绍一下在相对论中很重要的“固有时”概念。
图2-12-2：固有时和坐标时的区别以及与弧长的类比
固有时，或称原时，也就是公式（2-12-1）中的t，在（2-12-1）中表示的是微分形式的dt，一段有限长度的固有时可用积分来计算得到。将公式（2-12-1）和（2-12-2）比较一下可知，固有时t类似于普通空间中弧长s的概念。在普通空间中，弧长s表示一条曲线的长度，或者说是一个人走过的路径的长度。设想如图2-12-2a的旅行者（太空人），带着自己的时钟和卷尺（计步机），一直记录他走过的距离和时间。他的计步机（或卷尺）计算测量他走过的距离，而他的时钟所记录的，就是固有时，见图2-12-2c。从图2-12-2b可以看出固有时和坐标时的区别，坐标时是事件之外的观察者使用某个参考系而记录的事件发生的时间，固有时则是旅行者自己携带的时钟记录的时间。此外，固有时与弧长不同之处是：普通空间的弧长一般比坐标数值更大，但固有时却比坐标时更小，其原因从公式（2-12-1）中显而易见，正是因为度规中空间坐标和时间坐标间的符号差。换言之，固有时用以描述时空中两个事件之间流过的时间，这个时间被赋予事件自身的时钟所测量。因而，测量结果不仅取决于两个事件对应的时空点位置，而且也取决于时钟参与其中的具体过程。再表达得更简要一点，固有时是时钟的世界线长度。
实际上，我们之前学过了黎曼几何，对固有时的概念不难理解，它就是对应于在黎曼几何中经常强调的内蕴几何不变量：弧长s。对广义相对论重要的内蕴性质，在狭义相对论中也很重要。
如何来计算两个双胞胎在重逢时各自度过的真实年龄呢？结论是：计算和比较他们在两次相遇之间的固有时。因为固有时t是内蕴不变的，这个计算可以在任何一个参考系中进行，都将得到同样的结果。每个人的年龄是由他身体的新陈代谢机制决定的，他的身体内有一个生物钟。人体处于各种运动状态（静止或运动、加速或减速）时，他的生物钟便会随着变化，或减慢，或加快，这便可以作为每个人自己带着的“时钟”。下面，我们首先用地球参考系来考察两个双胞胎在两次相遇之间的固有时。刘地一直停留在地球上没有移动，他的世界线是地球参考系中时间轴上的一段，这个参考系中，他的固有时也就等于坐标时，等于60年。而刘天的世界线是图2-12-2c右图中的OBD折线。折线中每一段的长度是20年，两段相加等于40年。所以，两个双生子在D点见面的时候，刘天40岁、刘地60岁。
从以上的分析可以体会到利用“固有时”来计算此类问题的方便之处。我们并不需要仔细考虑每个事件的过程，不需要详细去分析刘天的宇宙飞船哪一段是匀速，哪一段是加速，等等繁琐的细节，比如图2-12-2c右图中的另一条从O到D的弯弯曲曲的曲线，如果那是刘天的宇宙飞船的时空轨迹的话，只需要在地球参考系中计算这条线的固有时，那便就是刘天的年龄了。
如果不用地球参考系，使用宇宙飞船离开地球匀速运动的参考系，或者是返回时的匀速运动参考系，也都可以验证以上结果。三种情形得到同样结果：刘天40岁、刘地60岁。见图2-13-2。
图2-12-3：使用不同的参考系计算双生子的年龄
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- [19]Vulcan
- 看了您的下一篇文章，再请教：
在刘地看来，60年后刘天返回，可算出中点（折返点）离地球0.75×30=22.5光年，总航程45光年
1，从刘地的角度，从分开到重聚两个事件的时空间隔的平方S2=t2-x2=60x60-45x45=1575（以分开点作为时空原点），这相当于飞船的时空间隔的平方t'2-x'2=t'2-o=t'2,故t'≈39.7,大约40年
2，但是，难道刘天就不能反过来用同样的方式看待这两个事件吗？对他来说，地球和刘地先是远离，然后折返，这和我们在高铁和飞机上看房子树木在运动是一样的道理。如果这个想法不错，那刘天会得出和1相反的结论。
3，时空图世界线这种几何方式我觉得容易误导。用时空间隔的方程就很清楚，它和洛伦兹变换以及两个公设本质上是相同的。
如果忽略刘天真实的加速感觉，我认为两个人的角度是对称的。
不知道我究竟是哪里理解出偏差了，请张老师具体指点一下？谢谢！ - 博主回复(2014-11-1 07:54)：“从分开到重聚两个事件”是什么意思？这里有3个事件点：O、B、D，你所谓的时空间隔不是一个。
“难道刘天就不能反过来用同样的方式看待这两个事件吗？”不能，刘天在中间经受到强大的引力场（加速度），引力会改变它的时钟。如此方法考虑便需要广义相对论来计算。不如用固有时计算简单。
“时空图世界线这种几何方式我觉得容易误导”，用固有时计算并不是什么“几何方式”，不一定要画图，几何图是为了直观理解。
- [18]qweixin
- 旅行者可以判断自身是否匀速运动（假设无引力作用）。另外，假设“观察者”是匀速运动的。这样，对不同“观察者”所得结果才能用狭义相对论推理和解释。否则需要引入引力和广义相对论。
- [17]Vulcan
- 有博主提过一个”三胞胎“思想实验：如果三胞胎中的两个同时以速率相等方向相反的高速离开地球，到达相同距离（在地球看来）后折返，相遇时各自年纪如何，谁年轻？那两个离开的相互之间有”钟慢“效应吗？（他们确定是在做高速相互运动）。不知道张老师如何看？
- 博主回复(2014-10-31 07:56)：看看今天新发的，可能对你理解有些帮助。
- [16]Vulcan
- 我一会觉得理解了，一会似乎又糊涂了。
“什么是世界线呢？就是某个事件在时空中所走的路径”。。。。“固有时是时钟的世界线长度”
什么是“某个事件”呢？我的理解是：从分离到相聚整个过程就是一个完整的事件，它有头（分离）有尾（相聚）。如果把刘地关在一个小黑屋里，那么他和刘天的境况就更相似一些，唯一的不同是刘天在中途感受到了一次剧烈晃动（折返，忽略加速减速）。整个事件的头尾（两个时空点）对两人是相同的。
如果用ds^2=dt^2-dx^2 =dt'^2-dx'^2表达，这个ds（时空间隔）对两人应该是相同的（头尾对两人是重合的），不同的是跟随两人的dt和dt‘。如果从刘天看来，他的钟只经历时间，没有空间，dt=ds,而对于刘地和他的钟来说，同样只经历时间而没有空间，dt’=ds.两人都认为自己没运动，对方在动。”固有时是时钟的世界线长度“------谁的时钟呢？旅行者的-----谁是旅行者呢？都认为是对方，除非引进第三个观察者。
唯一的区别是刘天感觉到的一次自己飞船的异常，而刘地在黑屋子里什么感觉也没有。
所以我认为这个”佯谬“在狭义相对论框架下是个很不恰当的例子，不能衍生出谁年轻的结论。这个思想实验在物理上无法实现（如果要有年纪差异，一定是加速减速造成的），在数学上也是没有说服力的。
请张老师批评。 - 博主回复(2014-11-1 07:28)：事件只是时空中一个点。
地球可看作惯性系，飞船则不能。离开时当作一个惯性系，返回时是另一个惯性系。
- [15]叶卢庆
- 笑看楼下各路民科.
- [14]邓云贵
- 不存在没有生命迹象的宇宙，生命与宇宙同在，在宇宙创开之初及时到了所谓的原子汤，都有生命的迹象。不能从物质宇宙推出生命的存在，以阳明先生言，宇宙须人去仰，否则无宇宙，故宇宙是希望之宇宙学，不要以宇宙如何来吓唬人。周敦颐以人为万物之灵秀，爱因思坦质能公式不谈人是不对的。不是人观察实验的事。
- [13]罗会仟
- 的确是梁灿彬老师的风格，当年听他课时说的很明确，双生子佯谬是一个狭义相对论问题，根本用不着广义相对论。梁老师喜欢把这个作为考试题，就博主最后一张图就能解答。
- [12]wolfgangg
- In mathematics, one can imagine the fourth dimension, but physically, people can not see and intuitively imagine a fourth dimension. For him, the fourth dimension is only in mathematics there. His intellect does not understand the fourth dimension...........................................Einstein
【探讨】相对论中的“刚体”
那个帖子被删了，其中有不少精彩的回复，事情过去就算了。我还是记得其间几位吧友对这个问题讨论得很热闹。
重新开始吧。记得昨天的讨论大致涉及下述问题：
问题1：相对论与刚体有关系吗？假如有，这是一个什么样的刚体？
问题2：光（电磁波）在刚体中是如何传播的？
问题3：能量（力）在刚体中是如何传播的？
问题4：声音在刚体中是如何传播的？
问题5：长度为1光年的刚体“超光速”问题？
问题6：......
重新开始吧。记得昨天的讨论大致涉及下述问题：
问题1：相对论与刚体有关系吗？假如有，这是一个什么样的刚体？
问题2：光（电磁波）在刚体中是如何传播的？
问题3：能量（力）在刚体中是如何传播的？
问题4：声音在刚体中是如何传播的？
问题5：长度为1光年的刚体“超光速”问题？
问题6：......
以下来自豆瓣：
狭义相对论里的刚体
2009-07-29 21:42:16来自: cmp0xff不小心(添加签名档)
关于旋转系里面时空结构改变的解释里面，很经典的是一片二维的刚体，绕一根垂直于它表面的定轴旋转。那么以轴和刚体的交点为原点任选一个惯性系S(也就是站在刚体外面观察刚体)，刚体径向的长度度量是不变的(径向速度为0)，而切向的长度度量发生洛仑兹收缩(切向速度为omega*r)，因而在刚体上任意取一个“圆周”，其周长与半径之比小于2*PI。
因此这个刚体的“形状”发生了改变。那么这个刚体的“刚性”表现在哪里呢？如果真的有这样一个盘子，让它高速旋转起来，盘子的物质结构又会发生什么变化呢？ 喜欢
2009-07-29 22:53:57 捕.风 Sophy (这是病，得治。)
你看盘子的时候是在两个不同状态下看的吧。
一个是盘子静止的时候，一个是盘子旋转的时候。在这两个状态切换的时候才有洛伦茨变换。单独考虑它在其中一个状态的时候，它还是刚性的呀。
下面一个问题让我想到另一个问题，我们讨论物质结构的时候，究竟是应该站在那个参考系来考量呢？如果想对盘子静止的话，它就没有改变了吧。
呵呵，程度尚浅，不知道对不对，等待牛牛解答。
2009-07-30 07:20:14 cmp0xff不小心 (添加签名档) @捕风
如果考虑盘子从静止缓慢加速，那么就有“非刚性”的“形变”了吧。
呃这里我的结论发生了一些问题，ms不是小于2*PI而是大于2*PI，jiong
2009-07-30 13:38:24 捕.风 Sophy (这是病，得治。)
嗯，的确在加速的过程中是“形变”了，不过想问一下刚体的刚性定义是在什么情况下“任意两个点的距离不变”呢？
ms是指在受力的情况下吧。若是考虑相对论效应的情况下，任何物质都不能保持“形状不变”吧。呵呵，我也不是很清楚。
2009-07-30 14:01:43 [已注销]
相对论情况下就不存在刚体这个模型。。。
想想看如果真的存在刚体的话
那么你随意找个点a作用下b马上就会有反映了。。。
超距作用就达成了。。。
2009-07-30 14:53:36 cmp0xff不小心 (添加签名档) @Γει|ωЭ>
爱因斯坦爷爷写的《相对论》一书里面提到了我说的(包含“刚体”模型)例子，作为支持“非惯性系中时空结构发生改变”的例证
@捕风
不知道啊不知道……
2009-08-04 11:40:31 VapourNov (君子固穷)
改变的是“空间”本身，而不是存在于空间中的“体”。
2010-02-07 20:46:54 cmp0xff不小心 (添加签名档)
恩这个问题似乎最终解决了。在转动起来之后刚体确实[必须]发生形变，因此刚体模型是不能在相对论情形里面在有加速度的情形中存在的。
2010-02-08 09:04:48 [已注销] 相对论考虑的就是信息的传播，缸体模型就不是干这个的。更好的提法似乎是，相对论观点中的客体会怎样行为。
狭义相对论里的刚体
2009-07-29 21:42:16来自: cmp0xff不小心(添加签名档) 关于旋转系里面时空结构改变的解释里面，很经典的是一片二维的刚体，绕一根垂直于它表面的定轴旋转。那么以轴和刚体的交点为原点任选一个惯性系S(也就是站在刚体外面观察刚体)，刚体径向的长度度量是不变的(径向速度为0)，而切向的长度度量发生洛仑兹收缩(切向速度为omega*r)，因而在刚体上任意取一个“圆周”，其周长与半径之比小于2*PI。
因此这个刚体的“形状”发生了改变。那么这个刚体的“刚性”表现在哪里呢？如果真的有这样一个盘子，让它高速旋转起来，盘子的物质结构又会发生什么变化呢？ 喜欢
2009-07-29 22:53:57 捕.风 Sophy (这是病，得治。) 你看盘子的时候是在两个不同状态下看的吧。
一个是盘子静止的时候，一个是盘子旋转的时候。在这两个状态切换的时候才有洛伦茨变换。单独考虑它在其中一个状态的时候，它还是刚性的呀。
下面一个问题让我想到另一个问题，我们讨论物质结构的时候，究竟是应该站在那个参考系来考量呢？如果想对盘子静止的话，它就没有改变了吧。
呵呵，程度尚浅，不知道对不对，等待牛牛解答。
2009-07-30 07:20:14 cmp0xff不小心 (添加签名档) @捕风如果考虑盘子从静止缓慢加速，那么就有“非刚性”的“形变”了吧。
呃这里我的结论发生了一些问题，ms不是小于2*PI而是大于2*PI，jiong
2009-07-30 13:38:24 捕.风 Sophy (这是病，得治。)嗯，的确在加速的过程中是“形变”了，不过想问一下刚体的刚性定义是在什么情况下“任意两个点的距离不变”呢？
ms是指在受力的情况下吧。若是考虑相对论效应的情况下，任何物质都不能保持“形状不变”吧。呵呵，我也不是很清楚。
2009-07-30 14:01:43 [已注销]
相对论情况下就不存在刚体这个模型。。。
想想看如果真的存在刚体的话
那么你随意找个点a作用下b马上就会有反映了。。。
超距作用就达成了。。。
2009-07-30 14:53:36 cmp0xff不小心 (添加签名档) @Γει|ωЭ>爱因斯坦爷爷写的《相对论》一书里面提到了我说的(包含“刚体”模型)例子，作为支持“非惯性系中时空结构发生改变”的例证
@捕风
不知道啊不知道……
2009-08-04 11:40:31 VapourNov (君子固穷)改变的是“空间”本身，而不是存在于空间中的“体”。
2010-02-07 20:46:54 cmp0xff不小心 (添加签名档)恩这个问题似乎最终解决了。在转动起来之后刚体确实[必须]发生形变，因此刚体模型是不能在相对论情形里面在有加速度的情形中存在的。
2010-02-08 09:04:48 [已注销] 相对论考虑的就是信息的传播，缸体模型就不是干这个的。更好的提法似乎是，相对论观点中的客体会怎样行为。
在物理学里，理想刚体（rigid body）是一种有限尺寸，可以忽略形变的固体。不论是否感受到外力，在刚体内部，质点与质点之间的距离都不会改变。根据相对论，这种物体不可能实际存在，但物体通常可以假定为完美刚体，前提是必须满足运动速度超小于光速的条件。在经典力学里，刚体通常被视为连续质量分布体；在量子力学里，刚体被视为一群粒子的聚集。例如，分子（由假定为质点的电子与核子组成）时常会被视为刚体（请参阅条目分子的分类为刚性转子）。
以上来自维基
以上来自维基
前面鱼姐已经给出了一个提纲。我就打算按这个来逐条讨论这些问题，不过当中可能改变顺序甚至合并一些问题。另外，我在这里会尽量避免公式，计算之类，而以解释为主，侧重点不在证明的严谨，而在于怎么从物理的观点来理解各种现象。而且这是贴吧不是课堂，所以我有时也许会天马行空一番，歪下楼完全可能，希望大家有耐心（话说我码字速度也巨慢无比）。最后，下面要讲的纯属个人的理解，所以错漏难免，希望大神们能及时指正。
前些时候有吧友问了这么一个问题：“假设有甲乙两人相距一光年。甲拿着一根长一光年的棍子伸到乙的面前打出各种信息（比如莫尔斯电码），这样岂不就实现超光速通讯了？”
上面问题中其实有个隐含条件，就是这根棍子是我们在经典力学中经常遇到的“理想刚体”。相吧对这类问题中的道具都已经有了“昵称”，把它叫做“神棍”。这根“神棍”的神奇之处就在于它无论在加速过程中还是受力情况下都不会发生形变。换句话说，棍子上各点之间的距离永远不变。
利用这样一根刚体长棍，实现超距瞬间通讯的确不难。熟悉狭义相对论的朋友会很快指出，这正说明了经典力学中的刚体概念跟狭相是不相容的。也就是说相对论中没有牛顿力学的理想刚体。
但是有很多人也许对这个简单的否定答案不能完全满意。我们当然相信狭义相对论，所以理想刚体显然不存在。但是怎么从物理上来理解这一点呢？假如我真拿根很长的铁棒钢棍之类，靠推拉它来传递信息，会出现什么情况呢？如果不能瞬间完成，那么真正的信息传递速度应该是多少呢？
前些时候有吧友问了这么一个问题：“假设有甲乙两人相距一光年。甲拿着一根长一光年的棍子伸到乙的面前打出各种信息（比如莫尔斯电码），这样岂不就实现超光速通讯了？”
上面问题中其实有个隐含条件，就是这根棍子是我们在经典力学中经常遇到的“理想刚体”。相吧对这类问题中的道具都已经有了“昵称”，把它叫做“神棍”。这根“神棍”的神奇之处就在于它无论在加速过程中还是受力情况下都不会发生形变。换句话说，棍子上各点之间的距离永远不变。
利用这样一根刚体长棍，实现超距瞬间通讯的确不难。熟悉狭义相对论的朋友会很快指出，这正说明了经典力学中的刚体概念跟狭相是不相容的。也就是说相对论中没有牛顿力学的理想刚体。
但是有很多人也许对这个简单的否定答案不能完全满意。我们当然相信狭义相对论，所以理想刚体显然不存在。但是怎么从物理上来理解这一点呢？假如我真拿根很长的铁棒钢棍之类，靠推拉它来传递信息，会出现什么情况呢？如果不能瞬间完成，那么真正的信息传递速度应该是多少呢？
1. 刚体与相对论的不兼容以及力的传播速度
首先我们应该看到，理想刚体这个概念本身就蕴含了一个假设，就是信息可以瞬间传递。为什么这么说呢？因为刚体在加速过程中各点之间距离不变，所以如果在一端受力的话，刚体上所有的点必须同时得到一个大小和方向相同的加速度。问题是，刚体远端的点凭什么知道近端受到了压力呢？允许刚体概念的存在就必然要承认“近端受力”这个信息可以按无穷大的速度传遍整个刚体上每一个点，所以它在理念上就跟狭相的“信息传递速度有上限”不相容。而在牛顿力学中就没有这个问题，牛顿力学中至少在理论上是允许有理想刚体的，尽管在现实中物体总会有形变。
那么，在物理现实中“一端受力”这个信息究竟是怎么传递的，又是以多快的速度传递的呢？答案其实是大家都熟悉的现象，就是声波！它的传递速度自然就是声速。
在固体中，组成它的微粒（分子，原子）是以电磁力结合在一起的。固体跟气体和液体的区别在于每个微粒的位置是相对固定的。作为一个简化的模型，我们可以想象这些粒子就像一些彼此用弹簧连在一起的小球，弹簧的弹力在这里就代表电磁力。当我们移动小球时，小球会在一个方向压缩弹簧，另一个方向拉伸弹簧，从而把能量传递给周围的弹簧；弹簧又推动其它小球，把能量进一步传递出去。另外弹簧被压迫时，所连的小球会互相靠近，拉伸时小球会彼此远离，就会在我们的模型中造成疏密相间的情况。最初的小球因为弹簧的固定作用会很快静止下来，但这些小球的位移造成的疏密相间的密度变化却会一直向前传播，这就是我们熟悉的声波。用手推棍子的一端所造成的密度变化只不过是一种频率特低，振幅很不稳定的声波而已，它的传播速度跟我们能听到的声波遵从同样的规律。
以上的朴素模型不仅可以用来解释力的传播机制，并且可以用来理解它的传播速度依赖哪些因素。首先，连接小球的弹簧越硬（不易被拉伸或压缩），旁边的小球就会越快受到影响；其次，小球越重，惯性就越大，就越不容易推动，传播速度就越慢。弹簧的抗拉伸抗压缩能力是固体的组成材料的固有特性，我们有个专门名词来称呼它，叫做“弹性模量”（elastic modulus）；而小球在单位体积的质量就是材料的密度。弹性模量越大，密度越小的固体，声波在其中的传播速度就越大。它跟声波本身特性（频率，强度等等）反而没什么关系。
那么假如你一门心思地要让力的传播速度超过声速，比如用超过声速的高速来推拉这根棍子，结果会怎么样呢？首先这极难做到（如果在空气中要做到这一点，你就得突破所谓音障。固体的音障会更难突破），如果真做到了，会对棍子造成结构性的破坏（多半远远没到那样的高速时棍子就断了）。
最后稍稍歪下楼。前面提到密度越小声速越快时，估计有好多人在心里偷偷怀疑了一下。这是很自然的，因为声速在空气中最慢，液体中其次，固体中最快，所以分明是密度越大速度越快。解释也很容易，这是因为固体的弹性模量大于液体，液体又远大于气体，所以它们的密度差异被弹性模量的大小差异完全掩盖了。
今天先到这里，下次讨论相对论中的刚性问题。
狐说笆道: 如果使用经典力学的刚体定义，就会出现“杠杆悖论”和“陷阱悖论”，只要按相对论认为最理想的刚体传递应力的最大速度不能超过光速，就可以解决“杠杆悖论”和“陷阱悖论”。
fishwoodok: 所谓声音传播，无非是一个扰动或者形变吧，这并不矛盾。 假如你说时空就是一个刚体，请问一个问题：在你所定义的时空内，放进一个物体后，原先的时空结构或者流形会发生变化吗？
wolfking97: 这只是semantics而已，不必太追究。这里的“音速”可以理解为任何状态变化信息的传播速度。刚体本质上是个有体积的质点，只有外部性质，没有内部结构。
昨天躺床上想了想，23楼昨天最后给出的思路具有以下特点：
1.由于使用固有时作为参量，四维间隔作为考量标准，这两者都是四维标量，所以自然满足洛伦兹协变。
2.它在低速情况下的确可以变成牛顿力学中的刚体，因为此时坐标时与固有时相同，而四维间隔的相等也就意味着三维空间距离的相等。
3.这种刚体在物理上具有的一个明显特性是，在刚体的随动系看来，物体不会发生任何形变。
1.由于使用固有时作为参量，四维间隔作为考量标准，这两者都是四维标量，所以自然满足洛伦兹协变。
2.它在低速情况下的确可以变成牛顿力学中的刚体，因为此时坐标时与固有时相同，而四维间隔的相等也就意味着三维空间距离的相等。
3.这种刚体在物理上具有的一个明显特性是，在刚体的随动系看来，物体不会发生任何形变。
2.相对论中的刚性
1905年9月26日，爱因斯坦发表了他的“奇迹年论文”中的第一篇，《论动体的电动力学》，由此宣告了狭义相对论的诞生。
我们已经看到牛顿力学的刚体是跟相对论不相容的。在1905年后的若干年中，许多物理学家都试图建立相对论框架下的刚体运动理论，其中包括爱因斯坦本人，还有波恩，劳厄这样的牛人。为什么这些大物理学家都如此注重刚体的概念呢？
大家想必读过“郑人买履”的故事，这位老兄宁可多跑一趟去拿量好的尺码，也不肯拿脚去试鞋的大小，因为他 “宁信度，无自信”。不管故事原来的moral story是什么，我的想法是，如果把这位古代郑国人换成一个以严谨著称的德国人，他有可能做出同样选择吗？我是觉得不好说。
在我看来郑人买履的故事揭示了一个人们心中根深蒂固的信念，就是绝对长度的存在。脚的大小也许上午跟下午就有区别，但尺码却不会变，尤其是具体的尺码所代表的抽象的一尺，一米，更不会变。刚体的概念正是和这种信念密不可分的。
相对论的出现意味着独立于参照系的绝对长度概念的破灭。仅仅因为这个原因，经典的刚体概念也不再成立，因为静止系和随动系不可能对加速运动中的物体的长度达成共识。但是简单地放弃这个传统的概念恐怕不能让人满意。刚体的概念可以简化推理过程，简化定理叙述，也是各种力学和运动理论的试金石。所以不管是为了传统的延续还是讨论的方便，大家都希望找出相对论框架下的替代品。
另一个历史的原因，是因为当时人们虽然发现了电子的存在，但它的模型却用了力学中的刚体。这个经典刚体模型虽然在低速下取得了一些成绩，但在高速时却让好多人感到头疼，这些处于头疼中的包括索末菲（Sommerfeld），赫兹（Hertz）和史瓦西（Schwarzschild）。所以在相对论下如何处理电子的运动学是个很迫切又重要的课题。波恩（Max Born）甚至认为，能否很好的描述电子的运动将是相对论成功还是失败的标志。
- wolfking97: 回复 fishwoodok :我去读了爱因斯坦，劳厄，波恩的英文版。好多素材来自波恩的文章。比如电子运动学部分。有些是德文的，丢下太久捡不起来
wolfking97: 你可以认为，其间各异的空间结构通过时间完美融合在一起。当然在这里我们已经是在考虑广相了。从狭相的角度，时空是平直的，物体的“运动史”构成上面的一个流（current）。这两种理论都是决定论的，理论上说，整个世界的历史，从过去到无限的未来，都在上面被决定了，都有自己固定的“流”。
wolfking97: 所谓的按时间的“演变”，从相对论角度看只是我们硬把时间停住截取的一个个截面。就像你去做MRI,仪器给出的是空间的一个个二维截面，所以你会先看到五根手指骨的五个圆形截面，然后截面渐渐变粗，到上面融合成掌骨，最后到手腕，手臂。但其实整个人的解剖结构才是全部的几何。
2012-8-26 08:14回复
wolfking97: 决定论的物理学，就是指通过前面指骨的截面，可以推出以后到掌骨的融合等等。前面的物质分布也决定了后面的分布。跟熟悉人体解剖学的医师从指掌部分多少可以推测手臂部分不无相似之处。
2012-8-26 08:21回复
wolfking97: 回复 wolfking97 :相对论的最大贡献，在于指出了时空是密不可分的，以前我们常做的那种MRI，只是因为那台机器有问题，能拍出片子的似乎都是一个角度，于是大家以为MRI只能按一个角度拍。后来又进口了一台，才发觉你完全可以用其它角度取截面。这意味着“现在”这个词不再有明确意义。
（继续相对论中的刚性）
此时大家都意识到问题的关键是对做加速运动的物体如何定义刚性。就是说与其说在定义刚体，不如说是在定义刚性运动。最先做出尝试的是爱因斯坦本人，但他只考虑了非常特殊的情况，并且没有完全解决问题。1909年波恩首先给出了被大家普遍接受的刚性概念。
（下面的定义相对抽象，大家包涵点，这样的地方不会很多）波恩的做法是，考虑动体上的每一点的运动轨迹，用固有时（proper time，这个词是从@坂上中微子 那里刚学的）把轨迹曲线参量化，这些参量化后的运动轨迹就构成了4维时空中的一个流（current），或者用我们熟悉的说法就是所有轨迹上每点的切矢量构成了一个矢量场。对一条轨迹上的每个点，他再考虑跟切向正交的子空间，然后考虑闵氏度规在子空间上诱导的度规（induced metric）。波恩的刚性要求就是，这个诱导度规关于固有时这个参量的导数处处为零。
好了说了一大堆，大家恐怕已经不耐烦了。我们赶紧回头看看波恩到底想说什么。不严谨但直观的说法就是，一个运动物体要满足波恩刚性，那么对物体上每一个点每一个瞬间，从它的随动参照系看这个点到其它点的距离一直保持不变。
这听起来似乎是个很自然的定义。但是后来人们发现它对物体的运动是有很强的限制的。我们今天先看一个简单的例子，以后再来介绍一些相对复杂些的情况（比如埃伦费斯特（Paul Ehrenfest）佯谬）。最后如果大家有兴趣我们会介绍一个刻画波恩刚性的赫格洛茨-诺特定理（Herglotz-Noether theorem）。
此时大家都意识到问题的关键是对做加速运动的物体如何定义刚性。就是说与其说在定义刚体，不如说是在定义刚性运动。最先做出尝试的是爱因斯坦本人，但他只考虑了非常特殊的情况，并且没有完全解决问题。1909年波恩首先给出了被大家普遍接受的刚性概念。
（下面的定义相对抽象，大家包涵点，这样的地方不会很多）波恩的做法是，考虑动体上的每一点的运动轨迹，用固有时（proper time，这个词是从@坂上中微子 那里刚学的）把轨迹曲线参量化，这些参量化后的运动轨迹就构成了4维时空中的一个流（current），或者用我们熟悉的说法就是所有轨迹上每点的切矢量构成了一个矢量场。对一条轨迹上的每个点，他再考虑跟切向正交的子空间，然后考虑闵氏度规在子空间上诱导的度规（induced metric）。波恩的刚性要求就是，这个诱导度规关于固有时这个参量的导数处处为零。
好了说了一大堆，大家恐怕已经不耐烦了。我们赶紧回头看看波恩到底想说什么。不严谨但直观的说法就是，一个运动物体要满足波恩刚性，那么对物体上每一个点每一个瞬间，从它的随动参照系看这个点到其它点的距离一直保持不变。
这听起来似乎是个很自然的定义。但是后来人们发现它对物体的运动是有很强的限制的。我们今天先看一个简单的例子，以后再来介绍一些相对复杂些的情况（比如埃伦费斯特（Paul Ehrenfest）佯谬）。最后如果大家有兴趣我们会介绍一个刻画波恩刚性的赫格洛茨-诺特定理（Herglotz-Noether theorem）。
坂上中微子: 与轨迹切向正交的子空间上的诱导度规，对固有时的导数为零——这与我说的“经过同样长的固有时，四维间隔保持一定”是等价的说法
wolfking97: 哈哈看来是一转一个主意的人。我的第一个例子就是一根棍子沿长度方向做匀加速直线运动，但这个匀加速只是每点自己是“匀”的，不同点加速度必须不同才能保持刚性，并且是领先部分加速度小，落后部分加速度大。我猜到这里你能想到问题所在。
（继续相对论中的刚性）
此时大家都意识到问题的关键是对做加速运动的物体如何定义刚性。就是说与其说在定义刚体，不如说是在定义刚性运动。最先做出尝试的是爱因斯坦本人，但他只考虑了非常特殊的情况，并且没有完全解决问题。1909年波恩首先给出了被大家普遍接受的刚性概念。
（下面的定义相对抽象，大家包涵点，这样的地方不会很多）波恩的做法是，考虑动体上的每一点的运动轨迹，用固有时（proper time，这个词是从@坂上中微子 那里刚学的）把轨迹曲线参量化，这些参量化后的运动轨迹就构成了4维时空中的一个流（current），或者用我们熟悉的说法就是所有轨迹上每点的切矢量构成了一个矢量场。对一条轨迹上的每个点，他再考虑跟切向正交的子空间，然后考虑闵氏度规在子空间上诱导的度规（induced metric）。波恩的刚性要求就是，这个诱导度规关于固有时这个参量的导数处处为零。
好了说了一大堆，大家恐怕已经不耐烦了。我们赶紧回头看看波恩到底想说什么。不严谨但直观的说法就是，一个运动物体要满足波恩刚性，那么对物体上每一个点每一个瞬间，从它的随动参照系看这个点到其它点的距离一直保持不变。
这听起来似乎是个很自然的定义。但是后来人们发现它对物体的运动是有很强的限制的。我们今天先看一个简单的例子，以后再来介绍一些相对复杂些的情况（比如埃伦费斯特（Paul Ehrenfest）佯谬）。最后如果大家有兴趣我们会介绍一个刻画波恩刚性的赫格洛茨-诺特定理（Herglotz-Noether theorem）。
此时大家都意识到问题的关键是对做加速运动的物体如何定义刚性。就是说与其说在定义刚体，不如说是在定义刚性运动。最先做出尝试的是爱因斯坦本人，但他只考虑了非常特殊的情况，并且没有完全解决问题。1909年波恩首先给出了被大家普遍接受的刚性概念。
（下面的定义相对抽象，大家包涵点，这样的地方不会很多）波恩的做法是，考虑动体上的每一点的运动轨迹，用固有时（proper time，这个词是从@坂上中微子 那里刚学的）把轨迹曲线参量化，这些参量化后的运动轨迹就构成了4维时空中的一个流（current），或者用我们熟悉的说法就是所有轨迹上每点的切矢量构成了一个矢量场。对一条轨迹上的每个点，他再考虑跟切向正交的子空间，然后考虑闵氏度规在子空间上诱导的度规（induced metric）。波恩的刚性要求就是，这个诱导度规关于固有时这个参量的导数处处为零。
好了说了一大堆，大家恐怕已经不耐烦了。我们赶紧回头看看波恩到底想说什么。不严谨但直观的说法就是，一个运动物体要满足波恩刚性，那么对物体上每一个点每一个瞬间，从它的随动参照系看这个点到其它点的距离一直保持不变。
这听起来似乎是个很自然的定义。但是后来人们发现它对物体的运动是有很强的限制的。我们今天先看一个简单的例子，以后再来介绍一些相对复杂些的情况（比如埃伦费斯特（Paul Ehrenfest）佯谬）。最后如果大家有兴趣我们会介绍一个刻画波恩刚性的赫格洛茨-诺特定理（Herglotz-Noether theorem）。
但是后来人们发现它对物体的运动是有很强的限制的
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静待下文。因为我还没想象出一个好的场景来验证，年纪不饶人啊~~~
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静待下文。因为我还没想象出一个好的场景来验证，年纪不饶人啊~~~
- wolfking97: 哈哈看来是一转一个主意的人。我的第一个例子就是一根棍子沿长度方向做匀加速直线运动，但这个匀加速只是每点自己是“匀”的，不同点加速度必须不同才能保持刚性，并且是领先部分加速度小，落后部分加速度大。我猜到这里你能想到问题所在。
2012-8-27 06:35回复 - wolfking97: 回复 wolfking97 :要上班去了。下午回来争取写出来。主要是讲法要通俗易懂，不想太多计算，所以反复斟酌。也许应该把薇娘那篇讲同步加速的抄过来：）
2012-8-27 06:38回复
刚体这玩意要是真正存在………………假设有一个一光年长的棍子，这个棍子是刚体。如果你拿着棍子的一边。另一个人站在棍子的另一边，当你有足够大的力时，将棍子向另一边挪动一点距离，一光年长的另一边会顷刻感受到你在戳他。因为棍子是刚体嘛。但是，他感受到的是你从一光年外给棍子的能量，而能量在一瞬间就传到了一光年外，明显做了超光速运动。这不符合相对论的基本思想。这是个悖论题，所以刚体是悖论。
我想起了开车等绿灯通行的时候,红灯一灭,最前面的车起步要时间.它后面的车看到前面的车起步了,它才能起步走.这样又有一个反应时间.一直下去....可以看到红绿灯前面车流的速度是很慢的.比车速度要慢多了.
（继续相对论中的刚性）
例子一：匀加速直线运动下的波恩刚性。
考虑一根与x轴平行摆放的细杆（我们不妨认为它就跟x轴的某一段重合，或者说就是x轴的一段）。我们希望让这个杆子沿x轴从静止开始向右（x轴的正向）做加速运动，并且同时保持波恩刚性。通过前面的讨论我们已经知道如果只是在右端拉或是左端推都会让杆子发生形变，并且这个形变会以音速传递到另一端，而在形变传到之前另一端还是静止的。所以这个过程不可能让杆子具有波恩刚性（因为有一端仍然适用静止参照系的度规，而形变的杆子在静止系中的长度显然已经改变）。
利用同样的推理过程，我们可以看出唯一可能让杆子在运动中具有波恩刚性的办法，是对杆子上每一个点同时加速！波恩选了个最简单的做法，就是让每点做匀加速运动（准确地说，是具有恒定“固有加速度”（proper acceleration）的运动，所谓固有加速度是随动系中测得的加速度。以下的匀加速都是指固有加速度不变，但这个细节对大家理解问题没有影响）。
波恩从最简单的情形出发，首先考虑x轴上单个质点向右作匀加速运动的世界线。他发现跟牛顿力学中类似，这条世界线也是一条圆锥曲线，但牛顿力学中得到的是一条抛物线，而在闵氏时空中得到的是一条双曲线。于是波恩就把这样的匀加速运动取名为“双曲运动”（hyperbolic motion）。波恩还发现，假设加速度为a，当他把坐标原点取在质点左边（1/a）个单位的位置上时，这个方程有很简单的表达式（以下我们都调整单位使得光速c = 1），就是 x^2 – t^2 = 1/a^2 （这里 x^2 表示x平方）。这是个以1/a为半长轴，以光锥 t = x
为渐近线的双曲线。如果对杆子上每点我们都用该点到原点距离的倒数作为加速度，那么我们会得到如下图所示的曲线族（看到这个曲线族熟悉的人估计马上想到Rindler坐标）：
（图的来源是http://mathpages.com/home/kmath422/kmath422.htm）
巧妙的是，任取一条双曲线，并且在这双曲线上任取一点，代表该点的随动坐标系的直线正好经过原点（图中的直线族）！而前面的双曲线方程左边正好成了随动系中该点到原点的长度的平方，所以每个质点在运动过程中到原点的距离在各自的随动系中没有变，都是加速度的倒数1/a！这说明从任何一个质点的随动系看，杆子的长度都没有变过，所以这符合波恩刚性的要求！上面图中的红色部分就是杆子的世界线在加速中的不同位置。
好了，用口语代替数学公式的活儿干完了。如果你已经完全迷糊的话，下面是总结：如果把一根细杆放在原点右方的x轴上，然后让每点以x坐标的倒数为加速度做匀加速运动，我们就会得到一个波恩刚性运动。它的特点是，越靠近杆子右端，加速度越小；越靠近左端，加速度越大。就是说，左边必须用更大的加速度追赶右边才能保持距离不变。并且杆子左端趋向于原点时，需要的加速度会趋于无穷大！
所以一旦杆子右端的加速度确定，原点的位置就确定了（往左移1/a，这也说明坐标系的选取没有特殊性，只是简化计算而已），而这也给杆子长度加了限制，因为左端不可能到达原点。所以棍子长度不能超过右端加速度的倒数。这是波恩刚性给匀加速运动的细杆所加的限制。
例子一：匀加速直线运动下的波恩刚性。
考虑一根与x轴平行摆放的细杆（我们不妨认为它就跟x轴的某一段重合，或者说就是x轴的一段）。我们希望让这个杆子沿x轴从静止开始向右（x轴的正向）做加速运动，并且同时保持波恩刚性。通过前面的讨论我们已经知道如果只是在右端拉或是左端推都会让杆子发生形变，并且这个形变会以音速传递到另一端，而在形变传到之前另一端还是静止的。所以这个过程不可能让杆子具有波恩刚性（因为有一端仍然适用静止参照系的度规，而形变的杆子在静止系中的长度显然已经改变）。
利用同样的推理过程，我们可以看出唯一可能让杆子在运动中具有波恩刚性的办法，是对杆子上每一个点同时加速！波恩选了个最简单的做法，就是让每点做匀加速运动（准确地说，是具有恒定“固有加速度”（proper acceleration）的运动，所谓固有加速度是随动系中测得的加速度。以下的匀加速都是指固有加速度不变，但这个细节对大家理解问题没有影响）。
波恩从最简单的情形出发，首先考虑x轴上单个质点向右作匀加速运动的世界线。他发现跟牛顿力学中类似，这条世界线也是一条圆锥曲线，但牛顿力学中得到的是一条抛物线，而在闵氏时空中得到的是一条双曲线。于是波恩就把这样的匀加速运动取名为“双曲运动”（hyperbolic motion）。波恩还发现，假设加速度为a，当他把坐标原点取在质点左边（1/a）个单位的位置上时，这个方程有很简单的表达式（以下我们都调整单位使得光速c = 1），就是 x^2 – t^2 = 1/a^2 （这里 x^2 表示x平方）。这是个以1/a为半长轴，以光锥 t = x
为渐近线的双曲线。如果对杆子上每点我们都用该点到原点距离的倒数作为加速度，那么我们会得到如下图所示的曲线族（看到这个曲线族熟悉的人估计马上想到Rindler坐标）：
（图的来源是http://mathpages.com/home/kmath422/kmath422.htm）
巧妙的是，任取一条双曲线，并且在这双曲线上任取一点，代表该点的随动坐标系的直线正好经过原点（图中的直线族）！而前面的双曲线方程左边正好成了随动系中该点到原点的长度的平方，所以每个质点在运动过程中到原点的距离在各自的随动系中没有变，都是加速度的倒数1/a！这说明从任何一个质点的随动系看，杆子的长度都没有变过，所以这符合波恩刚性的要求！上面图中的红色部分就是杆子的世界线在加速中的不同位置。
好了，用口语代替数学公式的活儿干完了。如果你已经完全迷糊的话，下面是总结：如果把一根细杆放在原点右方的x轴上，然后让每点以x坐标的倒数为加速度做匀加速运动，我们就会得到一个波恩刚性运动。它的特点是，越靠近杆子右端，加速度越小；越靠近左端，加速度越大。就是说，左边必须用更大的加速度追赶右边才能保持距离不变。并且杆子左端趋向于原点时，需要的加速度会趋于无穷大！
所以一旦杆子右端的加速度确定，原点的位置就确定了（往左移1/a，这也说明坐标系的选取没有特殊性，只是简化计算而已），而这也给杆子长度加了限制，因为左端不可能到达原点。所以棍子长度不能超过右端加速度的倒数。这是波恩刚性给匀加速运动的细杆所加的限制。
- wolfking97: 回复 坂上中微子 :那个帖子讲得挺好的。跟这里描述的其实都是波恩刚性，只不过没用具体公式，可能对初学者反而容易理解。那里唯一模糊一点的是先提到了“让棍子的各个部分同步感受到一股相同的加速度”，下面又说后端要有更大的加速追赶前端，可能有个别细心的会觉得困惑。我是看到后面就忘了前面。
2012-8-28 09:54回复 -
对上面例子的几点补充：
1.上面叙述的过程被我戏剧化了一点：）波恩在他1909年的文章里是先用一个参数方程给出了上面的匀加速运动轨迹，然后平淡地说了句“让我们消去参数p”就给出了上面的双曲线方程。
2.原点的选取是个很自然的过程，因为它是双曲线的两条渐近线的交点。
3.如果有个观者A坐在例子中匀加速的杆子上，另有个观者B则静止在原点，那么从A看B会出现一个奇怪的景象：尽管在拼命加速离开原点，但在A看来他/她跟B之间的距离却是恒定的！也就是说，A所选取的加速度的大小要正好把自己加速到一个合适的速度，使得自己跟B的距离（话说这个也依赖于加速度的选取！）由于尺缩效应而始终不变！从这里我们也可以体会到为什么这个波恩刚性是个看来自然，却限制很大的条件。
4.另外从这里我们可以窥见一点刚性条件为什么是个非线性微分方程的原因：在这里方程简单地表现为A到B（原点）的距离为常数（对固有时求导当然就为零）。但这个距离不是闵空间本身的度规（那样的话就直接是x坐标了！），而是闵空间的度规在随动系上的诱导度规（就是固有长度），这个诱导度规非线性地依赖于质点的速度（要乘上洛仑兹因子，所以会出现导数的平方项）！
5.（这个有趣的想法来自上面引用的那个世界线图片的mathpages网页）上面的例子引发我们思考一个可以称为“深刻”的问题，就是惯性的本源。这个问题恐怕无数物理学家都考虑过，其中牛顿，马赫，爱因斯坦大概是大家最熟悉的。而如果分析上面例子中的加速作用，就会发现尽管杆子的各点之间保持了距离不变，但由于各点加速度不同，在经过同样的固有时间后，各点的速度并不相同，也就是说，在它们的随动系中时间流逝的速度各不相同！这可以理解为物体从闵氏时空继承的几何性质（诱导度规的又一种说法）对加速运动的一种抗拒（或者说惯性！）：要么各点之间距离改变，要么各点之间时间不同步，总之无法两全。要想距离不变，时间同步，只有在一个各点引力梯度完全相同的引力场中做自由落体运动。而这时各点固有加速度为零，所以局部地每点都处于惯性运动中。
下一个例子打算介绍贝尔飞船佯谬。这是大家熟悉的素材，但我们会从刚性的角度作一点分析。
- wolfking97: 回复 坂上中微子 :恩这是我混淆了概念，我说的是随动系，其实脑子里想的是随动系中经过该点的等时线。诱导度规就是4维度规，但如果你只生活在三维的等时线上，你就会把它当成三维空间的空间度规，这是因为等时线可以看成是跟切向正交的子空间，而世界线的切向是类时的，所以等时线的诱导度规是正定的。
2012-8-29 06:41回复
- wolfking97: 回复 坂上中微子 :我给你举个例子：比如正常的欧式平面，是个平直的空间。现在我考虑以原点为圆心的单位圆。什么是上面的诱导度规呢？就是普通的弧长。诱导度规是个局部的概念，是局部用切线来逼近子流形上的曲线来定义长度，或者用形象的语言就是局部把曲线拉直了来量长度。
- wolfking97: 回复 坂上中微子 :但一般说来子流形上两个点在诱导度规下的距离跟原来流形中的距离不同。要相同只有一种情况，就是子流形是所谓测地子流形，就是诱导度规的测地线就是原来流形的测地线。欧氏空间中的平面，球面上的大圆就是测地子流形。
2012-8-30 04:23回复 -
-
- wolfking97: 回复 坂上中微子 :你的诱导度规理解应该没问题，是我这里讲得不清楚，而且我没有真把双曲线用固有时参量化后去算等时线上诱导度规的导数，而是希望简单地用随动系下到原点距离不变这个条件来推出双曲线的微分方程。
2012-8-30 13:14回复
wolfking97: 回复 wolfking97 :我是以为两种做法本质上是等价的，但这个想法不一定对。等我回头再仔细算一下。
什么是时-空度规?--- 一个科普解答
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什么是时-空度规?--- 一个科普解答
我的博文《物理学中的空间与时间（2）---事件与时-空度规》发表之后，[游客]abc提
出了一个问题“能否解释一下“度规”这个概念？”我也作了回复：“简单地说，由于表示位
置的数字可以有任意性，要诀定两点之间的距离，必须引入度规；空间（或时-空）几何特性
不同，度规也不相同。若要详细了解度规，需要学习微分几何。” 但后来仔细一想，这个回复
对不懂“度规”的人来说，仍然没有帮助。能不能对“度规”这个概念作出通俗易懂的解释
呢？查了一下书，发现国际知名的研究相对论学者Synge所著的Relativity:The Special
Theory 书上与位置、度规有关的解释就很通俗易懂。度规是描述时-空的一个基本特性，不
了解度规，就不可能深入理解时-空；例如，不了解度规，就不可能深入理解广义相对论
的时-空。鉴于度规概念的重要性，特仿照上述Synge的书上的方法，写出本次博文，来对“度
规”概念作出通俗易懂的解释。
兹以地震台测定地震为例来进行说明。设在我国某处（例如云南某县）发生一次地震，该
现在可以对“什么是时-空度规”进行解释了：时-空度规是时-空的一个基本特性，它可以
用度规张量 来表示，度规张量与时-空4维位移矢量相运算，可得出时-空中两个事件之
间的时-空间隔。
http://blog.sciencenet.cn/blog-71626-277973.html 此文来自科学网陈方培博客，转载请注明出处。
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我的博文《物理学中的空间与时间（2）---事件与时-空度规》发表之后，[游客]abc提
出了一个问题“能否解释一下“度规”这个概念？”我也作了回复：“简单地说，由于表示位
置的数字可以有任意性，要诀定两点之间的距离，必须引入度规；空间（或时-空）几何特性
不同，度规也不相同。若要详细了解度规，需要学习微分几何。” 但后来仔细一想，这个回复
对不懂“度规”的人来说，仍然没有帮助。能不能对“度规”这个概念作出通俗易懂的解释
呢？查了一下书，发现国际知名的研究相对论学者Synge所著的Relativity:The Special
Theory 书上与位置、度规有关的解释就很通俗易懂。度规是描述时-空的一个基本特性，不
了解度规，就不可能深入理解时-空；例如，不了解度规，就不可能深入理解广义相对论
的时-空。鉴于度规概念的重要性，特仿照上述Synge的书上的方法，写出本次博文，来对“度
规”概念作出通俗易懂的解释。
兹以地震台测定地震为例来进行说明。设在我国某处（例如云南某县）发生一次地震，该
现在可以对“什么是时-空度规”进行解释了：时-空度规是时-空的一个基本特性，它可以
用度规张量 来表示，度规张量与时-空4维位移矢量相运算，可得出时-空中两个事件之
间的时-空间隔。
http://blog.sciencenet.cn/blog-71626-277973.html 此文来自科学网陈方培博客，转载请注明出处。
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- [11]邱嘉文
- 小结：
上述欧氏空间的看法是把空间看成是“平直的延伸”特性的。
一维的空间就是朝两个绝对相反的方向不断延伸的直线。
二维空间就是一维空间朝与直线垂直的两个方向再度不断延伸的平面。
三维空间就是二维空间朝与平面方向垂直的两个方向再度不断延伸的立体。
四维空间就是三维空间朝与立体的三个方向都垂直的第四度的两个方向上不断延伸的超立体。（要摆脱习惯的现实三维空间的束缚，我们这里说的是抽象的空间，也就是观测一个对象时所需要的第四个独立角度，不受其他三个角度观测结果的影响）。
...
如此类推下去，这就是欧氏空间的特性，和上述欧氏空间距离定义方法是对应的，也就是说，如果用上面求平方和的平方根的方法来定义距离，那么，就是用欧氏的方法来看待空间的。相应的“求平方和的平方根的方法”就是欧氏空间的“度规”，这个度规，可以用以1为对角元素，其他元素为0的一个系数矩阵来参与距离的计算，来体现这种距离的观点，那个系数矩阵，就是相应的“张量”。
- [10]邱嘉文
- 更正：
同理，在二维笛卡儿坐标（直角平面）空间中有：d^2 = (dx,dy)*(1\1)*(dx,dy)T
所以直角平面空间的距离度规是勾股定理，张量是矩阵（1\1）,表示主对角元素为1，其他位置为0的矩阵。
以上距离概念同样可推广到三维及以上维的欧氏空间上。
d^2 = (dD1，dD2，dD3...)*(1\...1)*(dD1，dD2，dD3...)T
于是：
度规张量便是：(1\...1)。
- [9]邱嘉文
- 同理，在二维笛卡儿坐标（直角平面）空间中有：d^2 = (dx,dy)*(1\1)*(dx,dy)
所以直角平面空间的距离度规是勾股定理，张量是矩阵（1\1）,表示主对角元素为1，其他位置为0的矩阵。
以上距离概念同样可推广到三维及以上维的欧氏空间上。
d^2 = (dD1，Dd2，Dd3...)*(1\...1)*(dD1，Dd2，Dd3...)T
于是：
度规张量便是：(1\...1)。
- [8]邱嘉文
- 错了，一维张量应该是1，因为有：d^2 = (dx)*1*(dx)T
- [7]邱嘉文
- 也就是说，我们在一维的实数空间，定义了一个“度规”，就是用两个结构参数直接相减，即用一个参数去加上另一个参数与“-1”的乘积。
这时，这个度规的“张量”，就是-1。
这么理解对么？
- [6]邱嘉文
- 比如说，假如我们可以把对一个事物的度量，抽象为就是：对一个一维的实数空间上的定位测量。也就是对事物的测量结果，总可以是一个实数。
于是，我们就可以定义出当测量的结果发生变化，或本来就处在不同测量结果的两个对象之间，存在一个“距离”，我们规定：这个距离就是用这两个实数相减的办法来表示的。
- [5]邱嘉文
- 空间一定有描述空间自身结构的独立参量，就是代表“维度”的变量。
于是，空间中的“距离”，就应该是空间结构参量的函数。
也就是说，在空间上取不同结构参数数值的“点”之间，是有“距离”的。
那么，在一个空间中如何由结构参数组之间的差异，来计算一个唯一的代表“距离”的数值呢？必然需要定义一个方法。
- [4]邱嘉文
- 上接上篇回复。
因此，“度规”的概念，就是指，如何在一个空间中应用“距离”概念的基本规定。当然，这里的“空间”就是“广义的空间”，“抽象的空间”，这里的“距离”就是“广义距离”，“抽象的距离”。
-
Stochastic Oscillator 隨機震盪指標
Stochastic Oscillator 隨機震盪指標是由 George Lane 提出的，它起先用於期貨市場的分析，後被廣泛用於股票、黃金等市場的中短期趨勢分析，它綜合了動量觀念、強弱指標及移動平均線的優點，用來度量股價脫離價格正常範圍的變異程度。 Stochastic Oscillator 指標考慮的不僅是收盤價，而且有近期的最高價和最低價，這避免了僅考慮收盤價而忽視真正波動幅度的弱點。
隨機指標在圖表上採用 ％K 和 ％Ｄ 兩條線，在設計中綜合了動量觀念、強弱指標與移動平均線的優點，在計算過程中主要研究高低價位與收市價的關係，反映價格走勢的強弱和超買超賣現象。它的主要理論依據是：當價格上漲時，收市價傾向於接近當日價格區間的上端；相反，在下降趨勢中收市價趨向於接近當日價格區間的下端。在金市和股市中，因為市場趨勢上升而未轉向前，每日多數都會偏向於高價位收市，而下跌時收市價就常會偏於低位。隨機指數在設計中充分考慮價格波動的隨機振幅與中短期波動的測算，使其短期測市功能比移動平均線更加準確有效，在市場短期超買超賣的預測方面又比強弱指數敏感，因此，這一指標被投資者廣泛採用。
超買 /超賣
當%D線超過了80 時，就是超買區，但如果又低於80，這是就是一個可能的賣出信號
當%D線低於了20 時，就是超賣區，但如果又高於20，這是就是一個可能的買進信號
趨勢
當%K線由下往上穿過%D線時，就表示新的上升趨勢，也可作為買進信號
當%K線由上往下穿過%D線時，就表示新的下降趨勢，也可作為賣出信號
背馳訊號
背離形成為趨勢轉變訊號，當股價突破前波高點，但指標走勢低於前波高點時；或指標突破前波高點，但股價走勢卻一波波往下時，則為背離現象。前者為負背離，後者稱正背離。當負背離發生時為技術面轉弱的徵兆。
缺點
1、在長期上漲的趨勢時，KD指標經常會在超買區高檔徘徊，亦即當股價到達超買區時，可能還會向上再延伸一段行情。因此在大多頭行情時，買超數值可能需要向上調至95。
2、KD指針較敏感，買賣訊號出現較頻繁。
補救措施
買賣訊號出現頻繁，較適合短線操作。並可配合RSI指標使用。以補其指標易高檔鈍化的缺點。
台股 1440南紡 Stochastic Oscillator 例子，圖中箭頭表示上破20買入和下穿80賣出
台股 1440南紡 Stochastic Oscillator 例子，圖中箭頭表示%K上穿%D買入和%K下穿%D賣出
台股 1604聲寶 Stochastic Oscillator 背馳訊號例子
計算方法
CLOSE-LOW(%K)
%K = 100* --------------------
HIGH(%K)-LOW(%K)
註釋:
CLOSE — 當天的收盤價格;
LOW(%K) — 計算%K時間週期內最低值
HIGH(%K) — 計算%K時間週期內最高值
根據公式，我們可以計算出%D的移動平均線:
%D = SMA(%K, N)
註釋:
N — 用於計算的時間週期
SMA — 簡單移動平均線
應用例子
隨機指標在圖表上採用 ％K 和 ％Ｄ 兩條線，在設計中綜合了動量觀念、強弱指標與移動平均線的優點，在計算過程中主要研究高低價位與收市價的關係，反映價格走勢的強弱和超買超賣現象。它的主要理論依據是：當價格上漲時，收市價傾向於接近當日價格區間的上端；相反，在下降趨勢中收市價趨向於接近當日價格區間的下端。在金市和股市中，因為市場趨勢上升而未轉向前，每日多數都會偏向於高價位收市，而下跌時收市價就常會偏於低位。隨機指數在設計中充分考慮價格波動的隨機振幅與中短期波動的測算，使其短期測市功能比移動平均線更加準確有效，在市場短期超買超賣的預測方面又比強弱指數敏感，因此，這一指標被投資者廣泛採用。
超買 /超賣
當%D線超過了80 時，就是超買區，但如果又低於80，這是就是一個可能的賣出信號
當%D線低於了20 時，就是超賣區，但如果又高於20，這是就是一個可能的買進信號
趨勢
當%K線由下往上穿過%D線時，就表示新的上升趨勢，也可作為買進信號
當%K線由上往下穿過%D線時，就表示新的下降趨勢，也可作為賣出信號
背馳訊號
背離形成為趨勢轉變訊號，當股價突破前波高點，但指標走勢低於前波高點時；或指標突破前波高點，但股價走勢卻一波波往下時，則為背離現象。前者為負背離，後者稱正背離。當負背離發生時為技術面轉弱的徵兆。
缺點
1、在長期上漲的趨勢時，KD指標經常會在超買區高檔徘徊，亦即當股價到達超買區時，可能還會向上再延伸一段行情。因此在大多頭行情時，買超數值可能需要向上調至95。
2、KD指針較敏感，買賣訊號出現較頻繁。
補救措施
買賣訊號出現頻繁，較適合短線操作。並可配合RSI指標使用。以補其指標易高檔鈍化的缺點。
台股 1440南紡 Stochastic Oscillator 例子，圖中箭頭表示上破20買入和下穿80賣出
台股 1440南紡 Stochastic Oscillator 例子，圖中箭頭表示%K上穿%D買入和%K下穿%D賣出
台股 1604聲寶 Stochastic Oscillator 背馳訊號例子
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