在迈向成功的道路上，爱因斯坦获得飞跃性的认识来源于对刚体转动圆盘的研究。在他1912年2月所发表的《光速和引力场的静力学》一文中，他认为，由于洛仑兹收缩，圆周与半径之比不再为π，这表明，惯性系的观察者得出沿圆周运动方向运动的尺有尺缩效应，而相对非惯性旋转系的观察者根据等效原理，会认为所在系是静止不动的，却存在着一个“离心的引力场”，由于圆周与半径之比不再为π，他自然会解释为，由于这一引力的存在，使欧几里德几何不再成立。将这一结论扩展到一切真实引力场，有引力的空间都将不再是欧几里德的。这就是爱因斯坦所解释的，“把等效原理和狭义相对论结合起来，很自然地得出，引力与非欧几何联系在一起”的结论。当时爱因斯坦对非欧几何所知甚少，仅在大学读书时从基塞(Geiser)教授那里学到一点微分几何的知识，正是其中有关高斯曲面理论使爱因斯坦受到启发。他曾回忆道，“直到1912年，当我偶然想到高斯的曲面理论可能就是解开这个奥秘的关键时，这个问题才获得了解释。我发现，高斯曲面坐标对于理解这个问题是十分有意义的。”①
德国数学家高斯(Gauss, Johann Karl Freidrich1777～1855）从大地测量中受到启发，创立了二维曲面的微分几何理论。他在曲面上引入曲线坐标u和v，并证明曲面上任意线元具有如下普遍形式
ds2=g11du2+g12dudv+g21dvdu+g22dv2
其中g11，g12，g21，g22均为变量u和v的函数，称之为度规，它们由曲面的物质所决定。根据高斯的曲线坐标和度规，不仅可以确定曲面上的测地线（即弯曲空间的“直线”），还可以找到曲面的曲率，并进一步证明曲面所在空间的非欧几里德性质。高斯曲面即为一种弯曲的二维空间结构，然而在其中一点的任意一个小的邻域上，它应近似为平面，在这个局域，欧氏几何仍将成立，并与局域的笛卡尔系相对应。
爱因斯坦把引力空间与高斯曲面理论做了类比思考，他发现，引力所在的空间具有类似高斯曲面的几何性质，特别是当他把闵可夫斯基对狭义相对论所做的解释与引力问题联系起来以后，就更认识到其中的重要含意，这些观念成为了广义相对论理论形成的重要因素。他曾说“没有这个观念，广义相对论恐怕无法成长”，因为闵可夫斯基的四维世界“与高斯曲面理论相结合，向人们展示，存在引力场时，空间是弯曲的，欧氏几何不再成立，这表面引力场中不存在全局性的或大范围的惯性系，但对每一时空点附近的一个小的局域而言，却是闵可夫斯基平直的，欧氏几何仍成立，同时也存在与之对应的‘局域惯性系’。”这实际就是“爱因斯坦升降机”的思想。爱因斯坦明确地指出，“高斯的曲面理论与广义相对论间最重要的接触点就在于度规的性质，这些性质是建立两种理论概念的重要基础。”在1912年3月，爱因斯坦在《静引力场理论》中又指出，“等效原理只能在局域中成立”，这一系列思想表明，爱因斯坦看到了引力与时空几何结构间的联系，这就是引力场影响着时空结构，乃至决定着它的度规的规律。
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广义相对论简介 授课教师： 范忠辉 fanzh@ynu.edu.cn 云南大学物理科学技术学院 “产生这个理论的基础是这样一种信仰，即相信惯性质量 同引力质量成正比是准确的自然规律，它应当在理论物理 的原理中找到它自身的反映。”——爱因斯坦 “广义协变原理的意义在于它关于引力效应的表述，即一 个物理方程如果在没有引力时是正确的，由于它的广义协 变，在有引力场时也是正确的。” ——温伯格 2010-4-24 广义相对论_数学基础 2 第二章 广义相对论的数学基础 第一节.广义协变原理的基本思想 第二节.张量分析 第三节.黎曼几何 2010-4-24 广义相对论_数学基础 3 一. 广义协变原理的基本思想 广义协变原理要求物理方程组对于坐标的任何代换都必须是协变的。 协变（covariant）：一个物理定律以某方程式表示时，若在不同的 坐标中，该方程式的形式一律不变，则称该方程式为协变。 那么怎样才能得到这种广义协变方程？ 广义协变原理的基本思想： 设对于任一坐标系，有某些东西（“张量”）是用一些叫做张量“分 量”的空间函数来定义的。如果这些分量对于原来的坐标系是已知的 ，而且联系原来的和新的坐标系之间的变换也是已知的，那么就存在 一些确定的规则，根据这些规则可算出关于新坐标系的分量。这些后 面称为张量的东西，由于它们的分量的变换方程都是线性的和齐次的 ，而进一步显示其特征。由此可知，如果全部分量在原来的坐标系中 都等于零，那么它们在新坐标系中也都全部等于零。所以，如果有一 自然规律，它是由一个张量的一切分量都等于零来表述的，那么它就 是广义协变的。 因此，通过对张量形成规则的考查，我们就得到了建立广义协变定律 的方法。 2010-4-24 广义相对论_数学基础 4 张量（tensor） 张量: 是几何与代数中的基本概念之一。 从代数角度讲， 它是向量的推广。向量可以看成一维的“表格”（即 分量按照顺序排成一排）， 矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位 置排列）， 那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。 张量的严格定 义是利用线性映射来描述的。 从几何角度讲， 它是一个真正的几何量，也就是说，它是一个不随参 照系的坐标变换而变化的东西。向量也具有这种特性。 有时候，人们直接在一个坐标系下，由若干个数（称为分量）来表示 张量，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则（如协变 规律，逆变规律），如矩阵、多变量线性形式等都满足这些规律。一 些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的能量动量等都需用张 量来表示。在微分几何的发展中，高斯、黎曼、克里斯托朵夫等人在 19世纪就导入了张量的概念，随后由里奇及其学生列维齐维塔发展成 张量分析，爱因斯坦在其广义相对论中广泛地利用了张量。 标量可以看作是0阶张量，矢量可以看作一阶张量。 张量中有许多特殊的形式，比如对称张量、反对称张量等等。 2010-4-24 广义相对论_数学基础 5 仿射空间 为何引入仿射空间？ 仿射空间是数学中的几何结构, 这种结构是欧式空间的仿射特性的推广。在仿 射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是 点与点之间不可以做加法。（维基百科） 向量空间的对象是向量。这里的关键在于，向量空间有一个原点，所以向量空 间中连点也可以看成一个向量（从原点出发指向该点的矢量）。 “在仿射空间里，点和向量是基本的概念，无需用逻辑方法再定义。当然，这 不是说点和向量没有实在的内容。例如向量就可理解为速度和力等。考察一个点和 向量的集合，它满足以下公理（1）至少存在一个点。（2）任意给定一对有顺序的 点A和B，对应一个且仅对应一个向量。通常记此向量为AB。... （略）” 可见，点在仿射空间中有独立的地位，即便是存在点和矢量的对应也得是两个 有序点。之所以是这样，是因为仿射空间里没有原点。 举个例子，某空间中有两个点，如果是在向量空间，则我们可以对两个点加减， 即两个点对应与原点相连的矢量按照平行四边形法则加减，从而得到第三个点。然 而在仿射空间中，两个点的加减是没有意义的，但两点之间的距离可以计算，距离 是个不变量，独立于坐标系。 引入仿射空间的原因是要对独立于坐标系的不变量进行描述，它实际上放宽了 向量空间的要求，从而促使人们在更一般的空间上研究某些不变的性质。这就像欧 氏空间的假设被放宽后使得我们开始研究更一般的非欧几何一样。仿射空间是张量 代数和张量分析的基础。 2010-4-24 广义相对论_数学基础 6 二. 张量分析 2.1 逆变和协变四元张量 . 逆变四元矢量 线元由四个“分量” 来定义的，这些分量的变换规则 这些 表示为 的线性齐次函数；因此把这些坐标微分看成是 一种“张量”的分量，这种张量称为逆变四元矢量。 凡是对于坐标系用四个量 来定义，并且以同样的规则 （2.1.1） 来变换的，称为逆变四元矢量。 2010-4-24 7 广义相对论_数学基础 2.1 逆变和协变四元张量 协变四元矢量 如果对于每个任意选取的逆变四元矢量 ，有四个量 ，使 不变量（标量） 则称 为一个协变四元矢量。 由上面的定义，可得出协变四元矢量的变换规则。 把下面的方程 右边的 代之以由方程（2.1.1）的反演变换，就得到 因为在上面方程中 是任意地自由选定的，由此得到变换规则 （2.1.2） 2010-4-24 广义相对论_数学基础 8 2.1 二阶和更高阶的张量 逆变张量：如果对两个逆变四元矢量的分量 个乘积 和 来构造所有16 （2.1.3） 那么，按照（2.1.3）和（2.1.1），得到变换规则 （2.1.4） 凡是对于任何参照系，用16个量（函数）来描述的，并且满足变换规 则（2.1.4）的，都称为二阶逆变张量。 注：不是每一个这种张量都是可以由两个四元矢量依照（2.1.3）式 来形成的。但任何二阶逆变张量都满足变换规则（2.1.4）。 协变张量：类似，可以构造二阶协变张量 （2.1.5） （2.1.6） 2010-4-24 广义相对论_数学基础 9 2.1 二阶和更高阶的张量 任意阶的张量：三阶或m阶的张量分别可用43或4m个分量来定义。 逆变四元矢量可看成一阶逆变张量；协变四元矢量为一阶协变张量。 标量（不变量）：可看成零阶的逆变张量或零阶的协变张量。 协变张量与逆变张量之间的区别在于变换规则：每一个指标的变换规 则与坐标微分的逆变换相一致。 指标的不同仅仅是为了符号上加以区分。 N维空间中的张量： 标量：n0个分量； 一阶张量：n1个分量； 二阶张量：n2个分量； 高（m）阶张量：nm个分量。 2010-4-24 广义相对论_数学基础 10 混合张量：既有逆变指标又有协变指标。最低阶的混合张量为二阶， 变换规则如下 一般讲，一个张量可有p个逆变指标，q个协变指标，即有形式 称它为（p,q）阶张量。 对称张量：一个二阶的或者更高阶的逆变张量或协变张量，如果由任 何两个指标相互对调而产生的两个分量都是相等的，那么就说它是对 称的。 反对称张量：分量都是反号等值的。 在16个分量 当中，有四个分量 等于零；其余的都一对对反 号等值，这样就只存在6个数值上不同的分量（六元矢量）。同样， 三阶的只有四个不同的分量，四阶的只有一个分量。在四维时空连续 区内，不存在高于四阶的反对称张量。 2010-4-24 广义相对论_数学基础 11 2.2 张量的运算 由于决定张量变换行为的矩阵是随不同点而不同的，所有必须在同一 点上的两个张量进行运算。 张量的加减法定义为相应分量的相加或相减。因此这两个张量必须同 阶。如 张量的乘法：张量的乘法叫外乘。如 混合张量的缩并（或“降阶”）：任何一个混合张量，当把它的一个 协变性的指标同一个逆变性的指标相当，并对这个指标累加起来，这 样就构成一个比原来的张量低两阶的张量。如 张量的内乘：外乘后再缩并。如 2010-4-24 广义相对论_数学基础 12 2.3 矢量的平移和仿射联络 若给定一张量场，对不同两点的张量进行加减是进行张量微分运算的 基础。而在曲线坐标系中张量的代数运算必须在同一点进行，对不同 点的张量如何进行加减运算？ 为使微分运算不破坏张量性质，引入一种新的操作，称张量的平移。 为实现张量平移所要的新概念就是仿射联络。 下面以协变矢量的平移来引入仿射联络： （2.3.1） 这里的比例系数 就叫做P点的仿射联络。要求 Q点具有协变矢量的性质，即 在 （2.3.2） 利用变换矩阵的微分关系 2010-4-24 广义相对论_数学基础 13 则（2.3.1）式可写作 把关系式 带入上式，略去坐标微分的二级小量，并注意所得的式子对任意的 和 适用，得到 即 （2.3.3） （2.3.3）式就是仿射联络的变换公式。 逆变矢量，有 （2.3.4） 2010-4-24 广义相对论_数学基础 14 仿射联络的性质 仿射联络的唯一限制是它必须满足变换式（2.3.3） 联络的对称组合 也是一种联络，它叫对称联络，即其下标是对称的。 联络的反称组合 是一个下标反称的张量，称为仿射空间的挠率张量。 若挠率张量为零，则联络是对称的。 一个非对称的联络总可表示为对称联络和挠率张量之和 2010-4-24 广义相对论_数学基础 15 2.4 张量的协变微商 在张量平移的基础上，对张量场定义一种新的微商，称为协变微商。 张量场求协变微商后，仍将具有张量的性质。 标量的微商： 上式表明标量的的普通微商自动具有张量的性质。 协变微商用 表示，则标量的协变微商 （2.4.1） 协变矢量的普通微商 显然不再是一个张量。 2010-4-24 广义相对论_数学基础 16 为使协变微商后仍是张量，利用平移操作，定义为 （2.4.2） 其中， 代入（2.4.2），则得到 （2.4.3） （2.4.3）式即为协变矢量的协变微商公式。 逆变矢量的协变微商公式： 把式 代入 得到， 为二阶协变张量。 （2.4.4） 协变微商满足与普通微商一样的乘法法则。 2010-4-24 广义相对论_数学基础 17 逆变矢量的协变微商公式的另一种推导： 逆变矢量 与任意协变矢量 可构成标量 协变微商公式（2.4.1），有 即： 对 考虑到 利用协变矢量的微商公式，则得 为任意矢量，于是有 ，利用标量的 高阶张量的协变微商： 类似上面的作法。如对二阶混合张量 可构成标量 。因此有 可导出： ，它与两个任意矢量 和 （2.4.5） 2010-4-24 广义相对论_数学基础 18 作业 推导书中p17中的 （1.4.9）、（1.4.10）、（1.4.11） （2.4.6） （2.4.7） 2010-4-24 广义相对论_数学基础 19 2.5 引力 等效原理说，在空－时的任一点，我们可以建立一个使物质满足狭义 相对论规律的局部惯性系。 前面提到，Gauss曾假设在曲面的任一点上，可建立一个使距离遵从 毕达哥拉斯定理的局部Descartes（笛卡尔）坐标系。 两者的深刻类比，我们可以预期引力定律和Riermann几何公式之间 存在相似。Gauss假设隐含着：一个曲面上的所有内在性质可以通过 把曲面上某个一般坐标系 变到局部Descartes坐标系 的变换 的 的函数 的偏导数 来描写。而等效原理告 诉我们：引力场的全部效应可以通过确定从“实验室”坐标系 到 局部惯性坐标系 的偏导数 来描写。 前面给出曲面上两点之间的距离为 简写为 几何上与偏导数有关的函数就是 2010-4-24 。引力场也是同样的方法描述。 20 广义相对论_数学基础 2.5 引力 （2.5.1） 考虑在纯粹引力作用下自由运动的一个粒子。由等效原理，存在一个 自由降落的坐标系 ，粒子在这个坐标系里的运动方程是空－时中 的一条直线，即 其中 是原时 （2.5.2） 现在假设采用任意别的坐标系 ，它可以是静止于实验室的 Descartes坐标系，也可以是曲线的、加速的、旋转的或我们想要的 任何其它的坐标系，自由降落坐标 是 的函数，（2.5.1)变为 2010-4-24 广义相对论_数学基础 21 2.5 乘以 就得到运动方程： 引力 （2.5.3） ，利用乘积规则： 其中， 是仿射联络，定义为 （2.5.4） 原时（2.5.2）也可以用任意的坐标系表示成 （2.5.5） 或 其中， （2.5.6） 是度规张量，定义为 （2.5.7） 22 2010-4-24 广义相对论_数学基础 2.5 引力 的值 在任意坐标系 里的一点X处的度规张量 和仿射联络 提供了足够的信息来确定在X点邻域的局部惯性坐标 。 首先，用 乘方程（2.5.4），并利用乘积规则 由此，得到 的微分方程 （2.5.8） 它的解是（泰勒展开） 其中 由（2.5.7），可知 2010-4-24 广义相对论_数学基础 23 2.5 引力 因此，给定X处的 和 ，局部惯性坐标 就被确定到 阶。 由于引力场不能在局部惯性坐标系里产生任何效应，因此可以发现引 力的所有效应均包含在 和 中。 物理意义： 决定引力的场是“仿射联络” 坐标距离无限小的两个事件之间的原时是由“度规张量” 后面将证明： 也是一个引力势，即它的导数决定场 来决定 粒子的运动方程（2.5.3）可表述为：在称为引力场的弯曲空－时中一 个自由降落的质点将沿着两点间最短（或最长）可能的路径运动，“ 长度”是由原时来度量的。这样的路径称为测地线。 2010-4-24 广义相对论_数学基础 24 2.6 曲率张量 联络是决定空间几何性质的重要量，但它不是张量。 挠率是由联络构成的重要张量。 联络可构造出另一重要张量，即曲率张量。 我们通过协变微商来引入曲率张量。（ 为二阶协变张量），利 用（2.4.7）式，任一协变矢量场 的二阶协变微商为 （2.6.1） 的表达式可由上式简单交换 和 而得到。因此，整理得到 （2.6.2） 其中， （2.6.3） 称为曲率张量。 2010-4-24 广义相对论_数学基础 25 曲率张量的性质： 1. 它完全由联络和联络的一阶微商所决定。 2. 它对下标 和 是反称的，即 曲率张量的缩并： 1. 2. （2.6.4） （2.6.5） （2.6.5） 曲率张量的几何意义： 定理一，在联络空间中平移与路径无关的充要条件是全部张量处处为零。 证明必要性： 若平移与路径无关，则矢量绕一环路平移后下述积分应为零。 则 必为全微分，即 2010-4-24 广义相对论_数学基础 26 或 （2.6.6） 中，得 代入等式 将（2.6.6）式代入，得 由 的任意性，即得 定理二，空间为平直的充要条件是曲率和挠率张量的所有分量为零。 曲率张量与挠率张量一起，构成了刻画空间弯曲情况的基本张量。 曲率和挠率张量是否都为零是空间是否平坦的标志。 2010-4-24 广义相对论_数学基础 27 三、 3.1 空间相邻两点的距离 黎曼几何 在仿射空间中引入度规场和不变距离，就构成了黎曼空间。 黎曼空间和度规空间 （3.1.1） （3.1.2） 其中 为度规张量。令 为对称张量，即 在仿射空间中确立了度规场后，空间任意两相邻点的距离有了意义这样 的空间就叫黎曼空间。 三维欧式空间是黎曼空间的特例。在欧氏空间采用笛卡尔坐标，相邻点 的距离公式为 即，度规张量为 （3.1.3） 这个张量的分量值与空间点无关。 03/12/09 广义相对论_数学基础 28 当在欧氏空间采用球坐标 ，则距离公式为 相应的度规张量为 （3.1.4） 注意，这个张量的分量是与点有关的。 另一特例：闵柯夫斯基空间。取坐标 则不变距离公式为 即度规张量为 （3.1.5） 对一个黎曼空间，如能选取适当坐标，使它的度规张量具有如下形式： 03/12/09 广义相对论_数学基础 29 （3.1.6） 则称它为平坦的黎曼空间。 线性代数中有一条定理：对常系数的二次型 若 则必能找到坐标变换，把这二次型化为坐标微分的平方 和（或差）。 推论：如果区域V内度规张量是常数，那么V内的空间是平坦的。 3.2 张量指标的升降 在黎曼空间中，某点上的逆变矢量看借助该点的度规张量来定义相应的 协变矢量， 其他有逆变指标的张量也可做同样的操作，如 这叫张量指标的下降。 03/12/09 广义相对论_数学基础 30 当 可定义逆变的度规张量 ，它满足 利用 ，就可以作张量指标上升的操作。如 总之，利用度规可把任一个张量形式的物理量或几何量表示成逆变的、 协变的或混合的形式。这是黎曼空间中的张量的新性质。 例一，任一矢量可借助度规而构成一个标量 这个标量称为矢量长度的平方。 例二，不变距离可写作 中间一式表明度规的混合张量形式是克龙涅克张量， 03/12/09 广义相对论_数学基础 31 3.3 克里斯朵夫联络 黎曼空间中要求平移操作保持矢量的长度不变。再加上采用对称 联络，那么联络完全由度规场决定。这种联络称为克里斯朵夫联络。 把P点的逆变矢量平移至邻点Q点， （2.3.1） 若平移不改变矢量长度，则有 （3.3.1） 由度规场的微分公式 （3.3.2） 把（2.3.1）和（3.3.2）代入（3.3.1），保留一级小量，得到 （3.3.3） 这就是保持长度的联络所必须满足的方程。 由于（3.3.3）式有三个独立指标，而对指标 和 上式只包含 个独立方程。而联络 有 2010-4-24 广义相对论_数学基础 是对称的，故 个独立分量。 32 而规定了对称联络，即限于讨论挠率为零的空间，则联络的独立分量也 是 个。因此，联络将完全由度规场确定，并可由（3.3.3） 式解出。 用指标的循环替换 ，（3.3.3）式可写成 （3.3.4） 及 （3.3.5） （3.3.3） 加（3.3.4），再减 （3.3.5），再利用对称联络和挠率为零， 可得 （3.3.6） 利用 ，上式可化为 （3.3.7） 因此：在黎曼空间中确定了度规，并采用对称联络，那联络完全由度规 和度规的普通微商决定。这样的联络称为克里斯朵夫联络，简写为 联络对称，因此有： 2010-4-24 广义相对论_数学基础 33 （3.3.3）式可利用协变微商的定义写成 再利用 推导： 和 即： 可得到 注意：度规张量的普通微商一般不为零。 定理：设空间为无挠空间，在坐标 下P点的联络为 的邻域内引入变换 则有 ，在P点 定理的含义：若P点的联络为零，则P点的邻域度规张量近似为常数。 结论：对采用对称联络的黎曼空间中的任一点P，总可以找到一组适当的 坐标，使得从这组坐标看来P点的邻域是近似平坦的。 这个结论正是广义相对论的等效原理的数学基础。在引力一节中， 在引力场中引入局部惯性系来消除引力场的动力学效应。在引力场（黎 曼空间）中任何一点可引入局部惯性系，即在小的时空范围内总是可以 通过一定的坐标变换把引力场的动力学效应消除掉。 2010-4-24 广义相对论_数学基础 34 作业 1. 平直时空中，采用球坐标 时空间隔的表示式为 ，相应的 证明：非零的 Christoffel（克里斯朵夫）符号是： 2010-4-24 广义相对论_数学基础 35 3.4 黎曼空间中的测地线 测地线是欧氏空间中直线概念的推广。 在前面通过引入仿射参量 ，得到测地线方程（1.5.10） 这里，通过黎曼空间中的度规张量引入这个仿射参量。 对任一条曲线可以引入一个标量积分 其中， 是曲线上相邻两点的不变距离。这s叫曲线上P0至P的固有长度。 它是曲线上的点的一个自然的标量性参量。 以s为参量，切矢量 定义为 这个切矢量总是单位矢量，即 对上式求协变微商，则有 2010-4-24 广义相对论_数学基础 ，即 36 把测地线方程写成 解得 由仿射参量的性质，就证明了s是仿射参量。相应的测地线方程为 比较前面“引力”一节中，在纯粹引力作用下自由运动的一个粒子的运 动方程 黎曼空间中的测地线的一个重要性质： 对空间任意两点A和B定义泛函 积分沿过A和B的任一曲线。L的几何意义是该曲线的固有长度。可证明， 过A和B的测地线使L取极值。因此测地线是欧氏空间中直线概念的推广。 2010-4-24 广义相对论_数学基础 37 3.5 黎曼空间的曲率张量 （2.6.3） 曲率张量是由联络和联络的一阶微商构成的张量。 采用克里斯朵夫的黎曼空间的曲率张量，即黎曼张量具有一些新的性质： 曲率张量的定义 当联络对称，即挠率张量为零， 即对下标 和 是反称的，所以有 根据联络对称，则有 （2.6.4） 所以有里契（Ricci）恒等式 （3.5.1） 2010-4-24 广义相对论_数学基础 38 利用度规张量，可由混合曲率张量得到（0, 4）阶的协变曲率张量 （3.5.2） 由曲率张量定义式（2.6.3）和 Christoffel 联络（3.3.7），可证明 （3.5.3） 由（3.5.2）和（3.5.3）可证明 如下的对称性和反对称性。 （上述的具体证明参见刘辽的书或温伯格的《相对论与宇宙学》） 2010-4-24 广义相对论_数学基础 39 具有如下的对称性： （1）对后两个指标反称， （2）对前两个指标反称， （3）对前后两对指标对称， （4）对后三个指标反称， 的独立分量个数： 注意，重复指标不求和。 （1）指标中仅两个相异的情形 利用曲率张量的对称性知， 。例如指标为1,2时，只给出 （3.5.4） （3.5.5） （3.5.6） （3.5.7） ，故这种组合只有一种独立排列 ， 2010-4-24 广义相对论_数学基础 40 故指标中仅有两个相异时，曲率张量的独立分量的个数为 （2）指标中仅三个相异的情形 从n个指标中取3个，共 种组合，而每种组合只有一种独立排列，因 指标重复可取三者中任一，故指标仅三个相异时，曲率张量的独立分量 个数为 例如，相异指标为1、2、3时，仅 为独立，而 等为零。 （3）四个指标均不同的情形 从n个指标中取4个共有 种组合，而每种组合有3种独立排列，但由里 契恒等式知，仅有两个是独立的。例如，取指标1、2、3、4时，独立分 量为 ，但它们三者之间存在里契恒等式，故仅有 两个是独立的。所以四个指标都不同时，曲率张量的独立分量个数为 2010-4-24 广义相对论_数学基础 41 所以，最后得到曲率张量的独立分量的总数为 n=4时（广义相对论所要的情形），N＝20。 黎曼张量的缩并： 由于曲率张量的前、后两对指标分别都为反对称，故前一对指标或后一 对指标的缩并必为零，即 故唯一非零的缩并为 这个张量称为里契张量。 由于 所以，里契张量是对称的，即 对里契张量上升一个指标后作缩并， 这R叫标量曲率。爱因斯坦引入一个组合， （3.5.8） （3.5.9） （3.5.10） 这个 2010-4-24 称为爱因斯坦张量。它是对称张量。 广义相对论_数学基础 42 空间平坦性的判据： 在2.6节（曲率张量）指出，曲率和挠率张量是否都为零是空间是否平坦 的标志。 由于现在采用了对称联络（即挠率张量为零），因此只有条件 （在V内） 就一定可以找到适当的坐标，使得 （在V内） 即 （在V内） 上式即说明在V内 是常数，根据3.1节，我们总可以把它化为（3.1.6） 的对角形式，即V内的空间是平坦的。 因此，黎曼空间的平坦性判据是黎曼张量等于零。 当空间是平坦的，我们总可以找到一组坐标，使得度规具有闵可夫斯度 规的形式。 （3.5.11） 2010-4-24 广义相对论_数学基础 43 作业 1. 一个半径为a的普通球面构成一个二维空间。采用坐标 其中 和 是这一球面上通常的极角和方位角。则球面上的距离是 Christoffel符号为 求出： 2010-4-24 广义相对论_数学基础 44 2. 半径为a的圆柱面构成一个二维空间。利用柱坐标 z 和 。则柱面上的距离为 ，且 以及 求出： 与一个二维平面相同吗？ 3. 证明： 的所有分量，以及 R。该圆柱面的几何 其中，g 是矩阵 行列式。 提示：微分此行列式给出： （即： 2010-4-24 广义相对论_数学基础 ） 45 4. 利用习题3的结果证明，一个矢量场的散度可以写成 5. 利用习题3的结果证明，二阶张量的协变散度可以写成 6. 利用习题5的结果证明，如果 是一个反对称张量场，则有 2010-4-24 广义相对论_数学基础 46 3.6 毕安基（Bianchi）恒等式 由黎曼张量的定义 （2.6.3） 可证明，它的一阶协变微商满足一个循环关系（毕安基恒等式） （3.6.1） 张量方程的成立与否与坐标选取无关。在无挠空间总可引进局部惯性系， 使全部联络为零。此时张量的协变微商与普通微商相同。因此， 由于（3.6.1）式左边是一个五阶张量，所以变换到任意别的坐标系仍为零。 2010-4-24 广义相对论_数学基础 47 对（3.6.1）式中的 和 缩并，注意黎曼张量对它的后两个下标为反称， （因为： ） 则有 以 遍乘上式各项，利用 ，得到 注意： 所以，有 即： 再遍乘以 ， 所以，有 上式表明爱因斯坦张量的协变散度恒等于零。 2010-4-24 广义相对论_数学基础 （3.6.2） 48 （3.6.2）式是由Bianchi恒等式缩并而得到的一个唯一的协变微分守恒律。 利用度规张量 ，我们可以把Einstein张量 变成逆变的、或混合形式： 所以Bianchi恒等式有如下形式： 2010-4-24 广义相对论_数学基础 49 Ｒiemann 几何中张量分析的一些公式 逆变矢量变换： 协变矢量变换： 平行移动： 逆变矢量变换的 协变导数： 协变矢量变换的 协变导数： 时空间隔： 逆度规张量： 2010-4-24 50 广义相对论_数学基础 Christoffel符号： 测地坐标（在一个 时空点）： 测地方程： Riemann张量： Ricci张量： 曲率标量： 导数的对易关系： 沿曲线的导数： 2010-4-24 广义相对论_数学基础 51 3.7 时空的等度规 Killing矢量 如果一个给定的时空几何的度规张量在坐标变换 下 保持不变，则此坐标变换称为是时空的一个对称或等度规。例如，平移、 三维转动以及Lorentz变换（任意速度方向）是平直空间的对称或等度规 ----度规张量 在每一个变换下保持不变。 一个广义坐标变换把度规张量 变成 ，它根据的是张量变换 公式 （3.7.1） 上式左边，坐标x’已经表示为x的函数，以强调方程的两边是在同一时空 点计算的。如果反演上式，则给出用 表示的 （3.7.2） 如果坐标变换是一个等度规，度规张量在这一坐标变换下必须是不变的， 这意味着，新度规张量必须是其自变量的与老度规同样的函数，即 2010-4-24 广义相对论_数学基础 52 和 这样，方程（3.7.2）变为 （3.7.3） 如果 是一个有限的坐标变换，上式很难或不可能求解。但是 如果考虑的是一个无限小的坐标变换的特殊情况，该方程就变得非常简 单，该坐标变换是 且 （3.7.4） 其中 是位置的函数，即 是一个矢量场。对于上面变换有 （3.7.5） 且方程（3.7.2）成为 2010-4-24 广义相对论_数学基础 53 （3.7.6） 上面略去了量级为 的项。注意，在式（3.7.6）右边最后两项中，把 换成了 。这是容许的，因为这两个张量之间的差的量级是 ； 由于已经包含了另一个 因子，因而这两项的差别可以忽略。为了把 所有的量都表示为 x 的显函数，用Taylor级数展开 （3.7.7） 利用此式，式（3.7.6）成为 （3.7.8） 于是，度规张量在无限小变换下的不变条件是 2010-4-24 广义相对论_数学基础 54 （3.7.9） 这一方程是式（3.7.3）的无限小形式。把它用协变分量 写成下面的形式 （3.7.10） 这里，度规张量的三个导数结合成一个Christoffel符号，因此 上式等同于 （3.7.11） 式（3.7.11）这个微分方程称为Killing方程。 2010-4-24 广义相对论_数学基础 55 Lie 导数 度规的无限小对称变换的条件可用Lie导数来表示。把式（3.7.8）写为 （3.7.12） 上式右边的 三项代表张量 以 ，称为 对于 在无限小变换下的变化。这一变化除 的Lie导数： （3.7.12） 一个任意二阶张量的Lie导数可以类似地定义。 利用Lie导数来表示，度规在无限小变换下的不变性条件是 Lie导数 为零，即 （3.7.13） 2010-4-24 广义相对论_数学基础 56 Killing矢量 Killing方程的解称为Killing矢量，它给出度规的无限小对称变换和有 限对称变换。 对任何有限的变换都存在一个无限小变换，因为有限变换 的Taylor级数展开，给出无限小变换 ，其中 是一 个表征变换的参数(例如，转动情况下的一个无限小的角度，或者Lorentz 变换下的一个无限小的速度)。 因此，矢量场 就是 。 反过来也对：给定一个无限小的变换，总是可以重新构造出有限的 变化。为此，引入一组新的坐标 ，使得* （3.7.14） （3.7.15） 这表明 坐标线在每一点都具有矢量 的方向。 ， 或 57 * 以下随意地选择 2010-4-24 作为优先坐标。也可以同样地选择其他坐标 广义相对论_数学基础 。 条件式（3.7.14）和（3.7.15）总是可以被满足的。根据通常的变 换方程 ，用 来表示 ，得到 （3.7.16） （3.7.17） 这是一组关于函数 程总是有解的。 如果用新的坐标 和（3.7.15），可得到 的线性微分方程，系数是 ；这组方 来写式（3.7.9），并代人表达式（3.7.14） （3.7.18） 这样， 与坐标 无关。 因此，这一坐标的任何一个有限的变换都是度规 这就证实来无限小对称变换产生出有限的对称变换。 2010-4-24 广义相对论_数学基础 的一个对称。 58 上面的论证也证实在适当的坐标选取下，任何的度规对称变换都可 以看作是坐标之一的平移，因而度规与这一坐标无关。 检查度规与某个坐标的无关性，这就是根据“观察”而发现对称性 的方法。例如，运用这个方法，由其与 的无关性，我们可看 出平直时空度规 的平移对称性。根据变换到球坐标或柱坐标后该 度规与极角 的无关性，就这个度规关于 z 轴的转动对称性。 虽然，原则上只要通过适当的坐标选取，度规所有的对称都可以由 其与坐标的无关性而辨别出来，但这并不是一个发现对称的便利方法， 因为这个“适当的”坐标选取并不总是显而易见的。 Killing方程给了我们一个寻找对称的直接而系统的方法。通过构造 这一微分方程的所有可能的解，我们就将找到所有的对称。 两个或多个Killing矢量 称为是线性相关的，如果存在一 组常数系数 ，使得 （3.7.19） 如果不存在这样的系数，则Killing矢量称为是线性无关的。每个线性无 关的Killing矢量，对应于时空的一个单独的对称。 2010-4-24 广义相对论_数学基础 59 对于四维时空，独立解的最大数目和对称的最大数目都是10。这与 平直空间的对称数目一致，它正好具有10个对称：四个独立的平移方向， 三个独立的转动方向，以及三个独立的Lorentz变换的速度方向。 弯曲时空对称的数目不大于平直时空相应的数目，因而弯曲时空具 有不多于10个的对称。 一个具有10个对称的时空称为最大对称的。除了平直时空之外，仅 有的最大对称的时空是de Sitter（德西特）时空。 对称导致守恒律。按照Noether（诺特）定理，一个物理系统的每 一个连续对称都对应一个守恒律。例如，在平直时空中，空间平移的对 称意味着动量守恒，时间平移的对称意味着能量守恒，转动的对称意味 着角动量守恒。 在一个一般的、弯曲的时空中，我们可以在Killing矢量的基础上， 用公式来表示一个粒子运动的守恒律。 证明：如果 是一个Killing矢量，则对于一个沿测地线运动的粒 子，此Killing矢量和粒子的动量 的标量积是一个常数 （3.7.20） 2010-4-24 广义相对论_数学基础 60 为证明上面这个守恒定律，计算 沿测地线的导数： （3.7.21） 但按照测地线方程和协变导数的定义，有 以及 把这些表达式代人式（3.7.20），包含Christoffel符号的两项相抵消，则 （3.7.22） 由于Killing方程，此式的结果为零。 2010-4-24 广义相对论_数学基础 61 注意，如果我们采用坐标 则 化为 的动量分量为零。 使得 并且 的其他分量为零， 。这表明，与坐标分量 共轭 如果时空几何与时间无关，即 不依赖于 ，则 是相应的Killing矢量，而且守恒定理式（3.7.20）告诉我们 变量。这就是能量守恒定律。 是个不 这个守恒定律也适用于在弯曲时空中运动的光子。如果时空几何是 与时间无关的，光子的“能量” 就是不变的。后面将看到，光子的 红移可以从这一守恒定律推断出来。 Killing矢量场的概念的作用是刻画时空结构的几何对称性质。 2010-4-24 广义相对论_数学基础 62
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