phymath999: 慣性座標系之間的伽利略變換. 絕對時間. 時空 ...
phymath999.blogspot.com/2015/01/blog-post_16.html
轉為繁體網頁
phymath999: tw01 white01 flavor symmetry 在座標軸旋轉 ...
phymath999.blogspot.com/.../tw01-white01-flavor-symme...
轉為繁體網頁
[PPT]u
phy.ntnu.edu.tw/.../PP-1-4-Relativity%20As%20An%20Example%20of...
标 题: 我所认识的狭义相对论（一） 发信站: 饮水思源 (2007年12月20日12:26:08 星期四), 站内信件 我所认识的狭义相对论（一） ------------------ 总说 这两天忙里偷闲，乘着math板高涨的人气，稍微说一下我所认识的狭义相对论。 从数学结构上来说，狭义相对论就是线性代数，或者确切一点，是四维伪欧氏空间（闵 可夫斯基空间）里的线性代数。 大家可能对这样的说法觉得新奇，线性代数这门课任何理工科的同学都接触过，不会很 陌生，如果稍微用功一点，对里面的各种概念也不会感到困惑；相比之下，狭义相对论 “似乎”就高深得多了。 原因是什么？因为学物理必须在大脑中有直观的映象，不巧的是狭义相对论的很多结论 与日常的直观（或者说高中物理）不一致，两者打架了就难以理解，即使理解了也会有 偏差，导致许多错误的结论。 这确实是个很难办的问题，日常的直观就这么一点，我们总不可能乘坐速度接近于光速 的火箭去感受正确的直观。一个变通方案是通过数学这座桥，以一个宏大的框架去“罩 住”整个物理结构，然后在这个框架内去讨论问题。这样做，数学本身固有的自洽性使 得思路不会走偏，并且我们可以沿着数学自身的逻辑结构，从结论往回走，一步步寻找 物理对应，以真正搞清楚发生了什么。 至于像爱因斯坦那样，不通过数学就能够抓住正确直观的人，那是天才。 --------------- 线性代数到底对应着狭义相对论里的什么 大家都知道狭义相对论有两条基本公理：1) 光速不变 2)惯性系平权 （任何怀疑这两条的就等于推翻了狭义相对论，这里不讨论了） 那这两条对应于线性代数的什么呢？答案是： 2) 惯性系平权 -> 线性空间里每一组标准正交基都是平权的（这是废话）。 1) 光速不变 -> 只有那些不改变内积的基变换才是物理上容许的。 在我们所熟知的n维欧氏空间里，满足1)的基变换就是正交变换，直观上，这种变换称作 “旋转”及“镜象”。而在闵可夫斯基空间里，内积的定义是二次型x^2 + y^2 + z^2 - c^2t^2，对应的变换就是洛仑兹变换，当然我们也可以称它为“旋转”变换，大家如 果对相对论的公式有印象，就会发现因子sqrt(1 - v^2/c^2)出现的次数很多，这个东西 像什么呢？如果令theta = arcsin(v / c)，那以上因子就是cos(theta)，像不像是坐标 系的旋转呢? PS. 为什么光速不变对应于二次型x^2 + y^2 + z^2 - c^2t^2？ 首先，给定一组基，任一点(x, y, z, t)只要满足x^2 + y^2 + z^2 -c^2t^2 = 0（ 称为零间隔点）,那么它在任意其它一组基上的坐标(x',y',z',t')也一定满足这个等式。 为了看清这一点，假设一束光从原点(0, 0, 0, 0)（这个坐标在任何基下都是不变的）出 发，在某组基下于t时到达(x,y,z,t)（它一定是能到的，因为光速永远是c），这个光传 播的事实在另一组基下也要成立。 这样，任何满足光速不变的基变换必须将零间隔点变换成零间隔点。也即是说 对任何四维向量x，x^T * M * x = 0，当且仅当x^T * Q^T * M * Q * x = 0，（条件*） 其中M = diag(1, 1, 1, -c)，Q是基变换。 洛伦兹变换则条件更强，它还保证x^T * M * x = x^T * Q^T * M * Q * x对任意x成立。 自然就能保证光速不变。 (我不太清楚由条件*是否能导出 M = a*Q^T*M*Q,a为实常数 的结论，如果行的话， 洛伦兹变换就和光速不变等价，最多差一个a（换度量单位）） --------------- 线性代数与相对论里的“相对”性 在相对论里很多本来不变的东西变了，像同时性，长度，质量之类，这看起来令人震惊 不已；然而换成线性代数的语言，就不足为奇，每个人都自然认为在不同的基下某点的 x或者y坐标是会变的，这就是相对性。 了解了这个，就不必像很多科普书里费无数口舌，设计繁复的光路实验以保证观察者“ 看到的”是什么。事实上狭义相对论的所有结论，只是在“坐标”上面成立，说它是坐 标上的游戏也行，和“看到”是无关的。 同时性->在某个基下坐标t = const的那些超平面，即是同时性平面，显然这会随不同基 的选择而变。 长度->首先要说明相对论里怎么算长度。闵可夫斯基空间可不是三维空间，随便选定两 个点就可以算的。一个自然的选择是这两个点必须“同时”（即t坐标是一样的），然后 按前三个坐标去算长度。 于是在基1下（即在惯性系1下）放在(0, 0, 0, t)至(1, 0, 0, t)的静止单位尺，是可 以取任意t值算得长度（这个叫作“固有长度”）； 但是到基2下，同时性不一样了，在基2上选的两个“同时”点到基1上看变得不同时，并 且基2是移动的！这样得到的长度不一样是很自然的了。 至于质量，这个已经涉及到动力学方面，狭义相对论里的“质量”个人觉得不如说是“ 惯性”更为恰当些，即被加速的难易程度，如果物体越来越难被加速，那么所谓“质量 ”就变大了。但是请注意“加速”这个动作虽然绝对，但“加速”程度本身是相对的（ 依基而变），因此惯性变大同坐标值的变化一样，只是一种效应而已。 （写得有点乱。。。大家有砖尽管扔，觉得有不详细的地方我抽空再补充） -- 。。。。。。 ※ 来源:·饮水思源 bbs.sjtu.edu.cn·[FROM: 202.120.40.76] ※ 修改内容:·tydsh 于 12月20日15:53:45 修改本文·[FROM: 202.120.40.76] ※ 修改内容:·tydsh 于 12月20日15:56:51 修改本文·[FROM: 202.120.40.76]
[回复本文][原帖] 发信人: kongzizhizi (Li Shiyang), 信区: math 标 题: Re: 我所认识的狭义相对论（一） 发信站: 饮水思源 (2007年12月21日04:27:03 星期五) 聊聊我的想法。 对于第一条对映，比较有问题。你说线性空间的各组基（首先，这里不一定要标准正 交吧）平权，这里的线性空间包括时间维吗？如果不包括，那么这个基的平权只能对应空 间旋转对称性，即空间各项同性，也即角动量守恒。因为不同的基，只造成一个旋转的结 果。而惯性系平权不是说的这个。惯性系平权照我理解，是说物理定律在空间、时间两者 以匀速方式耦合平移形式不变（如果对这一点，空间、时间在无耦合情况下各自平移不变 是必要的，那么也可说它蕴含了动量守恒和能量守恒）。三维空间基变换是个静态结果， 不体现时空耦合（即运动），而且基的线性变换对映的是旋转，而非平移。而如果认为线 性空间包括了时间维，也不对头，第二个假设是用来说明四维间的耦合关系的，第一个假 设没涉及到这个问题，我印象中第一个假设伽利略时代也是认可的（大概就是牛一律的扩 充电磁领域等等），所以你说的第一个对映我觉得问题比较大。 对于第二条对映，说实话不太明白你意思的关键。在闵可夫斯基空间下，我觉得不是 像的问题，洛仑兹变化似乎就是旋转变换。我不知道复向量的模和内积定义和实向量是否 相同，复正交阵（如果有这个东西），是不是和实正交阵一致。如果是，那么，把洛仑兹 变换中的t用闵可夫斯基空间第四维cit（这里写作T）代换掉，那么由（x,y,z,T)到（x', y',z',T'）的变换矩阵是个复矩阵，如果模、内积的计算法同实向量，那么，这个矩阵的 列向量内积两两为0，每列模为1。这和实正交阵是完全一样的。所以我说洛仑兹变换对于 闵可夫斯基空间根本就是个旋转变换。 为什么光速不变对映那个实二次型，我觉得关键是说明为什么在式子中c的位置上是个 常数，更进一步说明为什么二次规范型的系数是1、1、1、-c^2。那部分我不很理解你的意 图。 坐标变换变得只是坐标，当然不会改变二次型的值。条件（*）似乎只要Q是可逆阵就 可以满足啊……不知是不是我哪里想错了？你那个M最后一个坐标是不是应该是-c^2？关键 的约束不是变换前后二次型值不变（只要是可逆线性变换应该都不变），而是不能改变矩 阵的特征值（也就是说要是相似变换）（不能改变x、y、z对映的1、1、1似乎就是说明各 向同性，不能改变t对映的-c^2就是光速不变，至于为什么是c……似乎只能说麦克斯韦方 程组显示：上帝规定它是那么大），所以在三维空间里必须是正交变换。对于对角阵M，不 能改变特征值就是不能改变它本身，所以必须有QT*M*Q=M，这样的变换阵只有一个，就是 单位阵E，换句话说，没这样的变换。于是放弃以（x,y,z,t）空间的正交变换满足那个二 次型系数不变的想法，将-c^2开方纳入变换阵，或者，先将t变成T。这时，M就变成了E， 而E就有个好处，任何正交阵都能使QT*E*Q=E，于是就允许存在很多这样的Q了。前面说了 ，洛仑兹变换其实就是纳入ci的变换阵，或者，先将t变成T，那么洛仑兹变换就是对（x, y,z,T）的复正交变换。 我就学过点儿工程数学线性代数，有些东西说得比较想当然，请多多指教呀！ 【 在 tydsh 的大作中提到: 】 : 我所认识的狭义相对论（一） : ------------------ : 总说 : 这两天忙里偷闲，乘着math板高涨的人气，稍微说一下我所认识的狭义相对论。 : 从数学结构上来说，狭义相对论就是线性代数，或者确切一点，是四维伪欧氏空间（闵 : 可夫斯基空间）里的线性代数。 : 大家可能对这样的说法觉得新奇，线性代数这门课任何理工科的同学都接触过，不会很 : 陌生，如果稍微用功一点，对里面的各种概念也不会感到困惑；相比之下，狭义相对论 : “似乎”就高深得多了。 : 原因是什么？因为学物理必须在大脑中有直观的映象，不巧的是狭义相对论的很多结论 : 与日常的直观（或者说高中物理）不一致，两者打架了就难以理解，即使理解了也会有 : 偏差，导致许多错误的结论。 : 这确实是个很难办的问题，日常的直观就这么一点，我们总不可能乘坐速度接近于光速 : 的火箭去感受正确的直观。一个变通方案是通过数学这座桥，以一个宏大的框架去“罩 : 住”整个物理结构，然后在这个框架内去讨论问题。这样做，数学本身固有的自洽性使 : 得思路不会走偏，并且我们可以沿着数学自身的逻辑结构，从结论往回走，一步步寻找 : 物理对应，以真正搞清楚发生了什么。 : 至于像爱因斯坦那样，不通过数学就能够抓住正确直观的人，那是天才。 : --------------- : 线性代数到底对应着狭义相对论里的什么 : (以下引言省略...) -- ※ 来源:·饮水思源 bbs.sjtu.edu.cn·[FROM: 59.78.48.92] |
[回复本文][原帖] 发信人: tydsh (To unknown future...forge on), 信区: math 标 题: Re: 我所认识的狭义相对论（一） 发信站: 饮水思源 (2007年12月21日11:11:39 星期五), 转信 好，终于有人有实质性回贴了，太感动了~~ 第一条对应显然是包括时间维的，整个四维闵可夫斯基空间上的基。这样就包括了惯性 系之间的各种变换，空间旋转也好，有相对速度也好，都在基变换的范围之内。 还有，第一个假设（光速不变）是由麦克斯韦方程导出，但与伽利略时代的第二个假设 （惯性系平权）矛盾。照麦克斯韦方程，光速为c必须在任何惯性系里都成立，但是伽利 略变换不能保证这一点。 时空各向同性确实也是狭义相对论的隐含假设，不然就没办法使用线性代数这个全局上 线性的工具了。这一条我漏掉了。 关于第二条（内积不变），不能说洛伦兹变换就是旋转变换。换成ict是常用的简便方案 ，但是关键是复内积不是和实内积一样定义的，复内积关于第二个参数是共轭线性的。 如果把ct换成ict，两者内积变为 Innerproduct[(x_1, y_1, z_1, ict_1), (x_2, y_2, z_2, ict_2)] = x_1*x_2 + y_1*y_2 + z_1*z_2 + c^2t_1t_2 注意上面还是四项全加，没有减号。 另一方面，从线性代数里我们可以知道，内积都是 二次型，而二次型是有“指标”的。闵可夫斯基空间里的内积的指标是3+1-，而普通四 维欧氏空间里的指标是4+。指标是个基变换不变量，因此这两个空间的结构是不一样的 。 还有一种更简单的想法，闵可夫斯基空间里存在模长为0的非零向量（零间隔），而R^4 里没有。拓扑上是不一致的。 M最后一个坐标确实应该是-c^2，是我写错了:( 条件(*)不是只要可逆阵就能满足的，条件(*)是把零间隔集变成零间隔集。举个例子， 考虑二维的闵氏空间，M=diag(1, -c^2)，这里面零间隔集是两条直线x=+ct和x=-ct，如 果取Q为普通二维空间的旋转变换，Q是可逆的，但Q把这两条直线绕原点旋转了一个角 度，直线上的点对到了非零间隔集上去了。 为什么光速不变（物理）对应于不能改变矩阵的特征值（数学）？为什么空间各向同性 意味着x,y,z的项必然是1？ 对前者，必须要有一个物理过程进行两者转换，不说明这个物理过程就无法对应。我在第 二段里写的就是这个物理过程。 对后者，我想你没有明白什么是空间各向同性。x,y,z的坐标可以换成任何其它量纲使得 diag上的三个数彼此都不同，但是这还是满足空间各向同性的，因为它是说“任何物理 规律在空间的各个点上都是一样的”，也即是说表现物理规律的等式里的常数/阶次/运 算等等不是空间坐标的函数。把diag上的三个数换掉仅仅相当于把物理规律公式里的某 些常数在所有空间点上统一地换掉，结果还是空间各向同性的。 还有M=Q^T*M*Q这个的解绝不只是E自己，不要想当然哦:) 在二维上简单推一下就知道了，你马上会得到二维闵氏空间上的洛伦兹变换。 把-c^2纳入Q同样是不行的，在复空间里上述等式是M=Q^H*M*Q，H是共轭转置。 --------------------------------------- PS. 为什么复内积要那样定义。原因是必须保证向量模长|v|^2 = <v,v> 是实数。 复空间的所有其它地方T换成H的原因是必须和内积定义自洽。 当然我们可以不保证向量模长是实数，从而发展出一个新的（更复杂的）数学分支。 不过对于狭义相对论而言，（复）线性代数就足够了。 在 kongzizhizi (Li Shiyang) 的大作中提到: 】 : 聊聊我的想法。 : 对于第一条对映，比较有问题。你说线性空间的各组基（首先，这里不一定要标准正 : 交吧）平权，这里的线性空间包括时间维吗？如果不包括，那么这个基的平权只能对应空 : 间旋转对称性，即空间各项同性，也即角动量守恒。因为不同的基，只造成一个旋转的结 : 果。而惯性系平权不是说的这个。惯性系平权照我理解，是说物理定律在空间、时间两者 : 以匀速方式耦合平移形式不变（如果对这一点，空间、时间在无耦合情况下各自平移不变 : 是必要的，那么也可说它蕴含了动量守恒和能量守恒）。三维空间基变换是个静态结果， : 不体现时空耦合（即运动），而且基的线性变换对映的是旋转，而非平移。而如果认为线 : 性空间包括了时间维，也不对头，第二个假设是用来说明四维间的耦合关系的，第一个假 : 设没涉及到这个问题，我印象中第一个假设伽利略时代也是认可的（大概就是牛一律的扩 : 充电磁领域等等），所以你说的第一个对映我觉得问题比较大。 : 对于第二条对映，说实话不太明白你意思的关键。在闵可夫斯基空间下，我觉得不是 : 像的问题，洛仑兹变化似乎就是旋转变换。我不知道复向量的模和内积定义和实向量是否 : 相同，复正交阵（如果有这个东西），是不是和实正交阵一致。如果是，那么，把洛仑兹 : 变换中的t用闵可夫斯基空间第四维cit（这里写作T）代换掉，那么由（x,y,z,T)到（x', : y',z',T'）的变换矩阵是个复矩阵，如果模、内积的计算法同实向量，那么，这个矩阵的 : 列向量内积两两为0，每列模为1。这和实正交阵是完全一样的。所以我说洛仑兹变换对于 : 闵可夫斯基空间根本就是个旋转变换。 : 为什么光速不变对映那个实二次型，我觉得关键是说明为什么在式子中c的位置上是个 : 常数，更进一步说明为什么二次规范型的系数是1、1、1、-c^2。那部分我不很理解你的意 : 图。 : 坐标变换变得只是坐标，当然不会改变二次型的值。条件（*）似乎只要Q是可逆阵就 : 可以满足啊……不知是不是我哪里想错了？你那个M最后一个坐标是不是应该是-c^2？关键 : 的约束不是变换前后二次型值不变（只要是可逆线性变换应该都不变），而是不能改变矩 : 阵的特征值（也就是说要是相似变换）（不能改变x、y、z对映的1、1、1似乎就是说明各 : 向同性，不能改变t对映的-c^2就是光速不变，至于为什么是c……似乎只能说麦克斯韦方 : 程组显示：上帝规定它是那么大），所以在三维空间里必须是正交变换。对于对角阵M，不 : 能改变特征值就是不能改变它本身，所以必须有QT*M*Q=M，这样的变换阵只有一个，就是 : 单位阵E，换句话说，没这样的变换。于是放弃以（x,y,z,t）空间的正交变换满足那个二 : 次型系数不变的想法，将-c^2开方纳入变换阵，或者，先将t变成T。这时，M就变成了E， : 而E就有个好处，任何正交阵都能使QT*E*Q=E，于是就允许存在很多这样的Q了。前面说了 : ，洛仑兹变换其实就是纳入ci的变换阵，或者，先将t变成T，那么洛仑兹变换就是对（x, : y,z,T）的复正交变换。 : 我就学过点儿工程数学线性代数，有些东西说得比较想当然，请多多指教呀！ : 【 在 tydsh 的大作中提到: 】 : : 我所认识的狭义相对论（一） : : ------------------ : : 总说 : : 这两天忙里偷闲，乘着math板高涨的人气，稍微说一下我所认识的狭义相对论。 : : 从数学结构上来说，狭义相对论就是线性代数，或者确切一点，是四维伪欧氏空间（闵 : : 可夫斯基空间）里的线性代数。 : : 大家可能对这样的说法觉得新奇，线性代数这门课任何理工科的同学都接触过，不会很 : : 陌生，如果稍微用功一点，对里面的各种概念也不会感到困惑；相比之下，狭义相对论 : : “似乎”就高深得多了。 : : 原因是什么？因为学物理必须在大脑中有直观的映象，不巧的是狭义相对论的很多结论 : : 与日常的直观（或者说高中物理）不一致，两者打架了就难以理解，即使理解了也会有 : : 偏差，导致许多错误的结论。 : : 这确实是个很难办的问题，日常的直观就这么一点，我们总不可能乘坐速度接近于光速 : : 的火箭去感受正确的直观。一个变通方案是通过数学这座桥，以一个宏大的框架去“罩 : : 住”整个物理结构，然后在这个框架内去讨论问题。这样做，数学本身固有的自洽性使 : : 得思路不会走偏，并且我们可以沿着数学自身的逻辑结构，从结论往回走，一步步寻找 : : 物理对应，以真正搞清楚发生了什么。 : : 至于像爱因斯坦那样，不通过数学就能够抓住正确直观的人，那是天才。 : : --------------- : : 线性代数到底对应着狭义相对论里的什么 : : (以下引言省略...) -- 。。。。。。 ※ 来源:·饮水思源 bbs.sjtu.edu.cn·[FROM: 58.196.151.18] ※ 修改内容:·tydsh 于 12月21日11:25:50 修改本文·[FROM: 58.196.151.18] ※ 修改内容:·tydsh 于 12月21日11:27:04 修改本文·[FROM: 58.196.151.18] |
[回复本文][原帖] 发信人: kongzizhizi (Li Shiyang), 信区: math 标 题: Re: 我所认识的狭义相对论（一） 发信站: 饮水思源 (2007年12月21日15:00:53 星期五) 看得我晕乎~~~~外行。 按我的想法，相对论的一个突破就是把t和另外三维联合起来看作一个整体的四维空间 ，因此有了时空耦合（相对性），伽利略时代的惯性系平权大概就是因为没有考虑t维和前 三位的平等关系，所以惯性系之间的t是绝对的。在那样的理解下，惯性系间的差别是以匀 速耦合的时空平移，而不是一个包括t在内的四维空间的基变换。 第二个问题，看了你的扫盲，明白了一些东西，不明白的以后慢慢学吧。我就奇怪当 时为什么明明看到两个复坐标的平方和是1但用matlab算那个复向量的模不是1，原来有个 共轭线性的问题。大概因为这里比较特殊，洛仑兹变换阵（至少在我试验的x、cit二维下 ），每个元不是实数就是纯虚数，所以恰好没有你说的按实数的定义方法会出现模不是实 数的情况，相反刚好和实数范围的定义吻合。 关于空间各向同性那段完全赞同，是我乱说的。 M=Q^T*M*Q的解的问题纯属头昏，当时我通过手解M特征向量来构造Q，发现带着c做施 密特正交化相当繁，用matlab直接就求了一个E给我，想想也对，就忘了这个阵其实不是唯 一的，按施密特正交化的得到的那个阵应该就不是E，被旋转过的。 【 在 tydsh 的大作中提到: 】 : 好，终于有人有实质性回贴了，太感动了~~ : 第一条对应显然是包括时间维的，整个四维闵可夫斯基空间上的基。这样就包括了惯性 : 系之间的各种变换，空间旋转也好，有相对速度也好，都在基变换的范围之内。 : 还有，第一个假设（光速不变）是由麦克斯韦方程导出，但与伽利略时代的第二个假设 : （惯性系平权）矛盾。照麦克斯韦方程，光速为c必须在任何惯性系里都成立，但是�.. : 略变换不能保证这一点。 : 时空各向同性确实也是狭义相对论的隐含假设，不然就没办法使用线性代数这个全局上 : 线性的工具了。这一条我漏掉了。 : 关于第二条（内积不变），不能说洛伦兹变换就是旋转变换。换成ict是常用的简便�.. : ，但是关键是复内积不是和实内积一样定义的，复内积关于第二个参数是共轭线性的。 : 如果把ct换成ict，两者内积变为 : Innerproduct[(x_1, y_1, z_1, ict_1), (x_2, y_2, z_2, ict_2)] : = x_1*x_2 + y_1*y_2 + z_1*z_2 + c^2t_1t_2 : 注意上面还是四项全加，没有减号。 另一方面，从线性代数里我们可以知道，内积�.. : 二次型，而二次型是有“指标”的。闵可夫斯基空间里的内积的指标是3+1-，而普通四 : 维欧氏空间里的指标是4+。指标是个基变换不变量，因此这两个空间的结构是不一样的 : 。 : 还有一种更简单的想法，闵可夫斯基空间里存在模长为0的非零向量（零间隔），而R^4 : 里没有。拓扑上是不一致的。 : M最后一个坐标确实应该是-c^2，是我写错了:( : (以下引言省略...) |
No comments:
Post a Comment