为了比较空间两点上两根矢量,需要把它们移到同一点上比较,这就需要平行移动.为比较相邻两点矢量需要联结两点的联络,这联络决定于空间的曲率

纤维丛空间的几何操作———矢量平
行移动
从上节看到我们已经建立起初步的结构概念,在纤维丛、范场和金融市场三个方面有了对应的联系.我们以曲面上的矢量平行移动为例,说明纤维丛有曲率的空间中矢量的平行移动的几何性质,用它代表金融市场的相应的运作.
矢量在一曲面上沿曲面上一条曲线移动(如图6),在移动过程中,矢量相对于曲面的法线没有转动.矢量的根端沿曲线上一点,这称为矢量无局域转动.但如曲线是一闭合路线,矢量回到原来起始位置时,它的方向相对于起点处法线有了一转角,这称为整体的改变.无局域改变而有整体改变,矢量的移动为平行移动.为了比较空间两点上两根矢量,需要把它们移到同一点上比较,这就需要平行移动.为比较相邻两点矢量需要联结两点的联络,这联络决定于空间的曲率.


规范场理论和金融市场模型
李 华 钟
(中山大学高等学术研究中心 广州 510275)
摘 要  文章介绍近年理论物理在金融学市场建模中的应用的一个新方向,与一般的数学建模不同,它是应用几何结构的模型,建立在规范场的物理思想和纤维丛的几何结构的基础上.文章介绍了规范场的物理概念思想原则,也介绍纤维丛数学概念和几何结构,然后说明规范场理论与纤维丛理论的相结合,成为与金融市场概念和运作相匹配的市场模型,举出这一模型成功引导出金融市场产品定价的Black-Scholes方程和公式.文章对象以物理学者为主,对于理论经济学、金融理论和系统科学的读者来说可略去数学推导.关键词  金融资产定价,规范对称,纤维丛应用
Gaugetheoryandfinancialmarketmodel
LIHua2Zhong
(AdvancedResearchCenter,Zhongshan(Su-Yat-Sen)University,Guangzhou510275,China)
Abstract  Anintroductiontomodellingofthefinancialmarketbyapplyingthegaugetheoryofmoderntheoreti2calphysicsispresented.Therelationshipsbetweenphysicsconceptsandfinancialconceptsarefirstdescribed,followedbyanexplanationoftheideasingaugetheoryandfibrebundlemathematics.Wedemonstratehowthecombinedstructureofgaugetheoryandfibrebundlesprovidesaframeworkforfinancialmarketmodels.AsimplemodeloftheforeigncurrencymarketandtheBlack-Schalesequationaredescribedasinterestingexamplesofthegaugemodel.
Keywords  financialassetspricing,gaugesymmetry,fibrebundleapplication
2005-12-12收到,2006-03-08修回
本文部分内容源自“非均衡金融定价规范建模研讨会”上的应邀专题报告,2005年11月,上海
1 导言
近年来在金融学的理论研究中,运用理论物理的
思维方式和方法,建立金融市场的模型,金融资产价值的定价和市场演进的预测等,把传统均衡的模型发展为动态的模型,以至极端状态的市场出现的可能预测,应用统计物理学方法例如随机行走,临界动力学指标分析,混沌机制,分形,分岔等;近年来还有应用规范场理论建立金融市场运作的模型和规律.本文只是在物理概念和金融市场的概念和原则作平行展开的类比,不涉及概率论、博奕论、随机微分方程等数学工具的运用和推演.同时,我们只是表达学院式的理论研究也不涉及金融实践家的成败经验.金融实践家———如银行家股票炒家和金融玩家
的立场观点和方法不是我们要谈论的话题,可以说
我们是纸上谈兵,脱离实际,书生之见,不过近十多年来不只是经济学界的学术圈子,华尔街和瑞士银行的大亨们对这些空论却感到兴趣.
在金融资本市场,市场交易者通过市场运作,卖出买入金融资产,籍以获得利润.在这领域,金融学的主要课题是:研究金融资产及其衍生资产的定价,投资组合技术,获利策略,公司金融政策,风险规避,进而对金融市场中演进短期预测.其中资产定价是市场运作的起点,这是经济数学应用最主要的领域,富有争议的市场预测也是数学应用的重要领域.
19世纪到20世纪之初,旧金融学运用的工具
・
047・评述






 35卷(2006年)9期             http:ΠΠwww.wuli.ac.cn
是会计学和统计,资料是市场公司的财政报表,数据分析,作出市场的短期预测.
20世纪中期到现在,现代金融经济学运用数学建立市场模型,资产定价公式,不独运用数学建立数学模型,并且引入物理理论,建立模型和资产定价.这就开始形成了现时称为金融物理,金融工程,金融数学等新学科.“资产定价”、“市场预测”是目前物理理论进入金融学的切入点.理论物理应用到金融理论中的现状,已经有一般性的和较为专业性的导介文章.本文不打算重复它们已介绍过的内容,有兴趣了解金融物理一般前沿状态的读者请参考文献[1—3].本文只是从规范场理论这一角度来看金融市场,这也是金融物理这个方向最近的前沿视角之一.
在参考文献[3]和[4]中我们已经讨论过金融市场作为物理系统的可能性,作为大数目自由度系统具有共通的要素,正是由于这些共同性,统计数学的模型和方法既可用于工程建模也可用于经济建模.对市场中的不确定性和物理系统的不确定性,我们没有必要也不可能去追究它们的来源是自然界的或社会的,是物理的还是心理的,都只是用随机方法处理.自然界的动物群体和社会的群性,即使有近代阶段之巨大差异和本质变异,但群体共性仍然存在.市场建模并不只专注于市场的参与者的个别行为,模型代表的是市场整体行为,物理模型有个体行为也有整体行为,整体行为建立在互动的个体行为的基础上,有个体所没有的整体表现.概率论的应用隐含假设在相同条件下可以重复大数目多次的实验操作,即物理学称之为统计系综的方法的基础.统计力学就建筑在包含大数目的系统的系综上.市场本来就是不可以在相同条件下重复实验,因而运用概率论方法只能是人为修饰的近似.在这一点上数学建模方法同物理建模方法是同样的近似逼近.事实上,现时经济学的许多数学模型,实际上也是物理模型,只不过是表述时采用数学语言,或是物理语言的形式概括力不同而已.例如随机行走模型既可以看成一种数学模型,同时也可看成物理学的布朗运动模型,人们能接受经济学的数学模型,就同样应该可以接受物理模型.随机行走在物理上看是一个无记忆的醉汉漫步,少数者胜的博奕模型也是两人博奕约定的物理模型,只不过这些模型的数字意义是一般常识可以接受的,物理的解释也是显而易见,亦为一般常识所接受.我们在以后会谈到金融市场的规范场模型,纤维丛模型.这些模型就与已往熟悉的数学模型不同了,它超出了一般常识认可的范畴,以致有
的金融学者经济学者,甚至经济数学家视之为怪异.
金融市场的规范场模型,其实同时也是一种数学模型,就是纤维丛模型,这一模型和现在流行的经济数学模型有特别不同之处:(1)它不是数量上的数学,它是几何结构的形态的数学,这是经济数学模型所稀见的更复杂的模型,这就不易为一向熟悉数量数学的学者们所接受.一般来说熟悉的是概率论、随机微分方程等,对于微分几何、拓扑学在经济领域的应用比较陌生.(2)纤维丛所描述的物理是规范场论,它主要地不是局域的描述,它统辖大范围性质,物理系统的整体性视野,这也是与一般熟悉局域的描述接触作用近邻逐点传播的局域观念有很大不同.(3)作为模型的具体演绎推算,运用理论物理学的标准方法规程,更使人有一种印象:用物理方法去解决金融问题,显然,这好像有人会运用经济方法去解决物理问题同等的荒谬.
2 简史
应用规范场理论去构建金融市场模型的研究,始于1997年俄罗斯科学院圣彼得堡Steklov数学研究所的数学物理学博士K.Ilinski.他在取得博士学位后,赴英国伯明翰大学从事研究工作五年,在伯明翰认识了金融市场方面的友人,从中了解了市场的运作.Ilinski认为规范理论可以应用到金融建模工作上.
1997年,Ilinski和合作者发表了一系列科学论
文和研究报告[5—8]
,阐述了他创立的金融物理,套利的规范理论,准有效金融市场的电动力学模型,以套利规范理论导出Black-Scholes方程等.这一新的
金融市场理论模型引起了回应讨论[9—12]
,自此开辟了用物理理论研究金融市场的一条新途径.当然,物理理论用于研究金融不是从规范场开始,早在1900年已有一开端,那是应用到随机行走数学的布朗运动[3],1985年后有很大的发展[2]
,规范理论的应用到金融市场,也反映了21世纪物理学向社会科学渗透的趋势.
3 市场作为物理系统
要理解为什么规范理论可以用到金融市场,需要先回答两个问题:一是从一个理论物理的观点来看,金融市场能否作为一个物理系统来处理?二是从金融市场的角度来看,规范场理论框架能否容纳
・
147・评述




http:ΠΠwww.wuli.ac.cn                    物理
金融市场包含的基本元素、概念和运作?这是一件事情的两个侧面,或者说物理系统与金融市场是否有共通之道,两者能否恰好匹配.
把市场作为一个物理系统用物理理论方法处理是否成立,这是一个仍在讨论和争论中的问题.经济学者金融学者会认为这是一个假命题,理由一般来说是:第一,经济问题和物理问题是两种对象、性质和方式都不同的问题,不可以用物理方法去解决经济问题,犹如不可能用解决经济问题的办法去解决物理问题;第二,经济市场是人群所参与实践的,人是有个人意志的参与者,其参与过程中有策略、决策等理性的因素和心理等非理性因素,这些都不是物理方法所能涉及的;第三,经济市场不但受自然环境的影响还受政治的影响甚至支配,这些影响和支配作用在性质上不是物理的,也不可以量化的.基于以上三点考虑,对于目前所谓“金融物理”,有一部分学者并不认同.
对于金融市场物理模型支持者来说,他们的理由之一是认为市场具有对称性,如同物理系统一样,因而能够探索市场的对称原则并根据这些原则推演一定的规律,本文所介绍的规范建模就是一项最近的发展,下一节我们先说物理对称性原理如何支配物理系统的行为.
4 对称原理支配系统行为
20世纪物理学基础理论的最主要成就之一,就
是对于物理世界对称性的认识,它始于20世纪之初爱因斯坦的狭义相对论,物理规律都必须遵从一定的时空对称,亦即是相对性原理,它表现为在均匀四维时空中的洛伦兹变换不变,这个相对论对称性限制了可能的可供选择的如哈密顿量,拉格朗日量必须满足相对论时空对称性,从这点出发再加入最小作用量原理的要求下,导出了系统的运动方程,从而建立力学系统的完整理论体系,但是应该注意到对称性原理给出了对可供物理系统应用的模型限制,但并未做到决定唯一的选择.20世纪中叶(1954年),杨振宁-米尔斯的非亚贝尔规范理论发展定域对称性原理唯一地确定了非亚贝尔互作用[13,14]
.1967年这个理论成为统一电磁和弱相互作用的框架,回头再看其实电磁场里相互作用本身就是由相对论对称性和定域规范对称决定的一种物质相互作用.关于这个例子的详细演绎请参看本文附录:“对称原理支配系统行为的一个例子:定域规范不变和
相对论洛伦兹不变决定电子电磁作用”.
金融市场如果可以作一个物理系统来看,它是一个很大自由度的系统,在这种系统中即使微观看来,单个的参与者有“自由意志”的行动,但就宏观整体来看,除非受到环境力场的统一指挥,这些行动表现也是随机性的,因而正像物理的统计力学系统,可以类似地处理,这种系统在一定时段或长或短会达到一定程度和时间的平衡和具有某些守恒量和守恒律,这些守恒量就反映了某些对称性.正是在这个意义上对称起了支配作用,市场作为一个大数目自由度的系统在平衡或动力状态下的变化趋势和互相作用互动行动受到对称规律的支配.本文所介绍的“规范建模”就是从这个观点出发,从规范对称的原则去演绎市场的行为.作为物理学系统的一个范例就是电子与电磁场系统的相互作用,这在“附录”中看到电子作为系统行为的参与者,规范场中电磁场作为信息传递者,他们间的互动互作用被定域规范对称所支配决定.在第8节将会举出一个简单例子,外汇市场的规范对称来解说上述的理念.
5 规范场的基本要素
从附录所举这个例子看到规范场理论的基本要素:
(1)系统有两种相互独立、但又处于相互关连的空间,即外空间,它就是通常的四维时空;内空间(内禀空间),它是系统本身固有的物理量构成;外空间(四维空间)的每一处都联结着一个内空间.
(2)每空间都有在它上面操作的对称变换,外空间存在着洛伦兹变换,内空间存在着规范变换.物理上要求物理系统对于这些变换具有对称性,用作用量表达系统的力学结构,对称性原理就是作用量对于对称变换不变.
(3)外空间各点上缔结的内空间对称变换是各自独立的,称为定域化内对称变换或内对称定域规范变换,内外空间的变换各自构成群,内对称变换群称为规范群(参看图1)
(4)物理现象对以上变换不变,这个要求决定系统的动力学,内部互作用———对称性决定互作用,规范场就是内对称不变,所必须引入的媒介场(也
叫“补偿场”、“相位场”
)在外空间相邻两点间联络传递信息.
(5)上面所讲电磁场例子是亚贝尔规范场,它的规范群是U(1)一维可交易群,导致的理论是线性的.一般的有不可易的规范群,非亚贝尔规范群,
・
247・评述




 35卷(2006年)9期             http:ΠΠwww.wuli.ac.cn
这种情形下的规范场有非线性的自作用.
图1 在外空间球面上每一点都缔合一个三维标架定域内空间
从这里,我们可以设想规范场模型比较以往的数量经济学的模型主要不同在于,它包含不独是单一市场平台,它可以包含市场的互相独立同时又互相牵连的两个平台.这种关系使描述的工具不单是数量,同时也运用几何的(形态的,结构的)工具.因此当我们对于金融市场使用“规范场”这一词的时候,应当在比物理学更为广泛的意义上去了解.不应该严格依照物理理论所规定的定义,在这个方面参考文献[15—17]提供了一些想法.
规范场理论的数学结构是数学微分几何和拓朴学的一个分支———纤维丛.下面简单介绍纤维丛的概念.纤维丛是一种几何结构,简化地来说它的一个最简单的非平庸结构的形象就是通常所谓Mobius带,如图2所示,它是图2(a)的带状图形经过一个扭转操作,对边反贴成环状,图2(b)所示,带状无扭转成环状是一个平庸的结构,但经过扭转操的环,就是非平庸结构.如图3所示,纤维丛的数学概念严格来说相当复杂,我们简化地介绍,它至少包含三个要素,这就是底空间、纤维、丛空间,简单的示意形象如图4,从纤维丛的结构性质,我们可以利用它的几何概念赋予物理的解释,如平庸与非平庸,定域与整体,平移,连通,曲面的指标,不变量等等.这些数学概念和规范场物理理论概念恰恰完全有对应.以下本文阐说这种对应关系套用到金融市场去建立模型.
图2 Moebius带(最简单的非平庸结构是Mobius带,将长条纸带扭转180°后,将对顶点A点与D点、B点与C点粘结形成)
图3 (a)平庸拓扑;(b)非平庸拓扑
图4 (a)平庸的纤维丛是两空间的直乘;(b)纤维从由底空间M,纤维F和从空间E构成
图5 纤维丛示意图
6 纤维丛的基本要素和规范场匹配的
描述
[18—21]
纤维丛是数学中一种几何的结构,它的构成主
要因素从严格的数学观点来定义可以包括十几个条件之多,但我们从一个物理学者的应用观点来看它的结构最主要的是几个构件.
(1)底空间———纤维丛整体几何结构建筑在一个多维连续流形之上,底空间记为M(basespace).
(2)纤维———在底空间的每一点上固连一个线性空间,它称为纤维F(fibre).最简单的纤维是一维向量空间,底空间和在其上的纤维全体构成了丛空
・
347・评述




http:ΠΠwww.wuli.ac.cn                    物理
表1 规范场、纤维丛和金融市场的已知构成量的对应关系
物理术语数学(几何学)术语规范理论术语金融学术语物质物资场资产电流源场流货币流正电荷场源(正源)现金负电荷场阱(真源)
债务
电磁势联络的分量规范势(场)价格,贴现,利率,汇率电磁场曲率张量规范场强套利,超额收益运动方程矢量平行移动
平行移动净产值,贴现过程波函数截面定域规范场变换货币单位汇率的变换
波函数相位变换矢量方向改变
定域规范变换量子起伏,不定值
量子起伏,不定值
价格,利率,汇率等的不定
纯电磁场纯规范场
均衡市场标度变换Weyl标度规范
外汇市场电动力学
有场流场源的规范场
动态市场
(电子电磁场互作用)
(有资金流)
间,可以形象地说,在底空间每一点上粘上了一支纤
维.这构成了丛空间B(bundlespace).
(3)丛空间与底空间的点存在对应的连续映射
关系p∶B→M称为投射(projection),这一投射关系规定了丛空间与底空间的关系,构造了一个整体的几何结构.
参考文献[21]中列举了纤维丛的结构因子达10项之多,对于我们一般地以上三项的理解也就可
以了,但是为了与规范场理论配合,还需在上列因素之外加入:
(4)在纤维上操作的群,群的元素作用在纤维上,称为结构群G.
几何学讲形态和结构,这是整体的视野,纤维丛是整体性的数学,非平庸的纤维丛是不可以由单纯的局部直乘直和或简单粘贴而成,不可以简单因子化而不介入另外的操作.
物理学的规范场恰当的数学描述是纤维丛.规范场的要素中包括两种空间,内外空间,在外空间每一点上缔合一内空间,这正好与纤维丛的底空间上粘合纤维相对应,纤维上的结构群就对应着内空间上的规范群.
纤维丛数学是S.S.Chern(陈省身)于1944年引入,现代的规范场理论是1954年C.N.Yang(杨振宁)和R.L.Mills引入,数学和物理两学科两项创意重要贡献原来是互不相通的,二十余年后,才悟到两者竟可以是一回事的各自表述.规范场的纤维丛表述是杨振宁和吴大峻(T.T.Wu)于1975年阐明
的,而规范场与纤维丛的对应关系也在同时为陆启铿所认识
[22]
.我们在本文表1中列举了规范场理论
的物理量与纤维丛数学中的几何量对应关系.
纤维丛是其包含的多个要素按照一定法则构造成的几何结构体,它的重要在于它的整体性,这个几何结构的整体用于描述物理现象时,它可以表述一些较为复杂的现象,例如非亚贝尔规范场,即杨-米尔斯场.现在有人试图把它用于描述金融市场,初看起来有点匪夷所思,但是我们知道金融市场的复杂性和整体性需要一种数学描述超出了以往常规的应用数学.例如外汇市场,它包含了几个外汇货币区,每一个货币区就有它本身各种货币的兑换率,而金融资产对于各种货币变换,虽则表面价格改变,资产价值不变.由于某地区兑换率的改变,使总体的市场失去均衡,出现了套利的机会,就会引起资金的流动,市场交易者得以从中获利,这种活动的结果市场又再达到新的平衡.这样的机制看来适合于纤维丛的语言去描述,因为它包含两种金融活动,货币区的货币流通和货币兑换活动,货币区的全体构成底空间,货币兑换构成纤维,兑换率表徵了结构群,由于某个货币区兑换率的改变使资金从一个货币区到另一不同兑换率货币区的流动.这一活动由丛空间投射到底空间,套利活动就成为底空间的一条闭合路径:这些考虑,使我们觉得以纤维丛代表金融外汇市场有它的合理思维.
建立金融外汇市场的纤维丛模型还需考虑市场的动态演化,这就需要引入物理思维,纤维丛同样是
・
447・评述