纤维丛空间的几何操作———矢量平
行移动
从上节看到我们已经建立起初步的结构概念,在纤维丛、范场和金融市场三个方面有了对应的联系.我们以曲面上的矢量平行移动为例,说明纤维丛有曲率的空间中矢量的平行移动的几何性质,用它代表金融市场的相应的运作.
矢量在一曲面上沿曲面上一条曲线移动(如图6),在移动过程中,矢量相对于曲面的法线没有转动.矢量的根端沿曲线上一点,这称为矢量无局域转动.但如曲线是一闭合路线,矢量回到原来起始位置时,它的方向相对于起点处法线有了一转角,这称为整体的改变.无局域改变而有整体改变,矢量的移动为平行移动.为了比较空间两点上两根矢量,需要把它们移到同一点上比较,这就需要平行移动.为比较相邻两点矢量需要联结两点的联络,这联络决定于空间的曲率.
图6 (a)矢量沿曲面上曲线的平行移动;(b)矢量在球面上的平行移动
金融市场规范建模中应用几何概念平行移动的例子如下.
(1)计算资产净现值(NPV)方法
由于不同时间资产值不同,需要比较不同时间的价值而求得资产的净现时价值,不同时间价值通过贴现(discounting)过程出现,这比较就应用矢量平行移动.为此,用曲面上的连络时间分量表示贴现率.
(2)外汇市场的套利(arbitrage)
套利———利润从无中生有,一顿免费午餐,无风险超额获利大于银行无风险存款利息,为比较这两者收益,以平行移动过程中曲面的曲率,张量表达这收益差额.
地确定了非亚贝尔互作用
[
13,
14
]
.
1967
年这个理论成为统一电磁和弱相互作用的框
架
,
回头再看其实电磁场里相互作用本身就是由相
对论对称性和定域规范对称决定的一种物质相互作
用
.
关于这个例子的详细演绎请参看本文附录
:
“
对
称原理支配系统行为的一个例子
:
定域规范不变和
相对论洛伦兹不变决定电子电磁作用
”
.
金融市场如果可以作一个物理系统来看
,
它是
一个很大自由度的系统
,
在这种系统中即使微观看
来
,
单个的参与者有“
自由意志
”
的行动
,
但就宏观
整体来看
,
除非受到环境力场的统一指挥
,
这些行动
表现也是随机性的
,
因而正像物理的统计力学系统
,
可以类似地处理
,
这种系统在一定时段或长或短会
达到一定程度和时间的平衡和具有某些守恒量和守
恒律
,
这些守恒量就反映了某些对称性
.
正是在这个
意义上对称起了支配作用
,
市场作为一个大数目自
由度的系统在平衡或动力状态下的变化趋势和互相
作用互动行动受到对称规律的支配
.
本文所介绍的
“
规范建模
”
就是从这个观点出发
,
从规范对称的原
则去演绎市场的行为
.
作为物理学系统的一个范例
就是电子与电磁场系统的相互作用
,
这在“
附录
”
中
看到电子作为系统行为的参与者
,
规范场中电磁场
作为信息传递者
,
他们间的互动互作用被定域规范
对称所支配决定
.
在第
8
节将会举出一个简单例子
,
外汇市场的规范对称来解说上述的理念
.
5
规范场的基本要素
从附录所举这个例子看到规范场理论的基本要素
:
(
1
)
系统有两种相互独立
、
但又处于相互关连
的空间
,
即外空间
,
它就是通常的四维时空
;
内空间
(
内禀空间
)
,
它是系统本身固有的物理量构成
;
外
空间
(
四维空间
)
的每一处都联结着一个内空间
.
(
2
)
每空间都有在它上面操作的对称变换
,
外
空间存在着洛伦兹变换
,
内空间存在着规范变换
.
物
理上要求物理系统对于这些变换具有对称性
,
用作
用量表达系统的力学结构
,
对称性原理就是作用量
对于对称变换不变
.
(
3
)
外空间各点上缔结的内空间对称变换是各
自独立的
,
称为定域化内对称变换或内对称定域规
范变换
,
内外空间的变换各自构成群
,
内对称变换群
称为规范群
(
参看图
1
)
(
4
)
物理现象对以上变换不变
,
这个要求决定
系统的动力学
,
内部互作用
—
—
—
对称性决定互作用
,
规范场就是内对称不变
,
所必须引入的媒介场
(
也
叫
“
补偿场
”
、
“
相位场
”
)
在外空间相邻两点间联络
传递信息
.
(
5
)
上面所讲电磁场例子是亚贝尔规范场
,
它
的规范群是
U
(
1
)
一维可交易群
,
导致的理论是线
性的
.
一般的有不可易的规范群
,
非亚贝尔规范群
,
・
2
4
7
・
评述
35
卷
(
2006
年
)
9
期
htt
p:
Π
Π
www
.
wuli
.
ac
.
cn
这种情形下的规范场有非线性的自作用
.
图
1
在外空间球面上每一点都缔合一个三维标架定域内空间
从这里
,
我们可以设想规范场模型比较以往的
数量经济学的模型主要不同在于
,
它包含不独是单
一市场平台
,
它可以包含市场的互相独立同时又互
相牵连的两个平台
.
这种关系使描述的工具不单是
数量
,
同时也运用几何的
(
形态的
,
结构的
)
工具
.
因
此当我们对于金融市场使用“
规范场
”
这一词的时
候
,
应当在比物理学更为广泛的意义上去了解
.
不应
该严格依照物理理论所规定的定义
,
在这个方面参
考文献
[
15
—
17
]
提供了一些想法
.
规范场理论的数学结构是数学微分几何和拓朴
学的一个分支
—
—
—
纤维丛
.
下面简单介绍纤维丛的概
念
.
纤维丛是一种几何结构
,
简化地来说它的一个最
简单的非平庸结构的形象就是通常所谓
Mobius
带
,
如图
2
所示
,
它是图
2
(
a
)
的带状图形经过一个扭转
操作
,
对边反贴成环状
,
图
2
(
b
)
所示
,
带状无扭转成
环状是一个平庸的结构
,
但经过扭转操的环
,
就是非
平庸结构
.
如图
3
所示
,
纤维丛的数学概念严格来说
相当复杂
,
我们简化地介绍
,
它至少包含三个要素
,
这
就是底空间、
纤维、
丛空间
,
简单的示意形象如图
4,
从
纤维丛的结构性质
,
我们可以利用它的几何概念赋予
物理的解释
,
如平庸与非平庸
,
定域与整体
,
平移
,
连
通
,
曲面的指标
,
不变量等等
.
这些数学概念和规范场
物理理论概念恰恰完全有对应
.
以下本文阐说这种对
应关系套用到金融市场去建立模型
.
图
2
Moebius
带
(
最简单的非平庸结构是
Mobius
带
,
将长条纸带
扭转
180
°
后
,
将对顶点
A
点与
D
点、
B
点与
C
点粘结形成
)
图
3
(
a
)
平庸拓扑
;
(
b
)
非平庸拓扑
图
4
(
a
)
平庸的纤维丛是两空间的直乘
;
(
b
)
纤维从由底空间
M
,
纤
维
F
和从空间
E
构成
图
5
纤维丛示意图
6
纤维丛的基本要素和规范场匹配的
描述
[
18
—
21
]
纤维丛是数学中一种几何的结构
,
它的构成主
要因素从严格的数学观点来定义可以包括十几个条
件之多
,
但我们从一个物理学者的应用观点来看它
的结构最主要的是几个构件
.
(
1
)
底空间
—
—
—
纤维丛整体几何结构建筑在一
个多维连续流形之上
,
底空间记为
M
(
base
s
pace
)
.
(
2
)
纤维
—
—
—
在底空间的每一点上固连一个线
性空间
,
它称为纤维
F
(
fibre
)
.
最简单的纤维是一维
向量空间
,
底空间和在其上的纤维全体构成了丛空
・
3
4
7
・
评述
htt
p:
Π
Π
www
.
wuli
.
ac
.
cn
物理
表
1
规范场、
纤维丛和金融市场的已知构成量的对应关系
物理术语
数学
(
几何学
)
术语
规范理论术语
金融学术语
物质
物资场
资产
电流
源场流
货币流
正电荷
场源
(
正源
)
现金
负电荷
场阱
(
真源
)
债务
电磁势
联络的分量
规范势
(
场
)
价格
,
贴现
,
利率
,
汇率
电磁场
曲率张量
规范场强
套利
,
超额收益
运动方程
矢量平行移动
平行移动
净产值
,
贴现过程
波函数
截面
定域规范场变换
货币单位汇率的变换
波函数相位变换
矢量方向改变
定域规范变换
量子起伏
,
不定值
量子起伏
,
不定值
价格
,
利率
,
汇率等的不定
纯电磁场
纯规范场
均衡市场
标度变换
W
eyl
标度规范
外汇市场
电动力学
有场流场源的规范场
动态市场
(
电子电磁场互作用
)
(
有资金流
)
间
,
可以形象地说
,
在底空间每一点上粘上了一支纤
维
.
这构成了丛空间
B
(
bundle
s
pace
)
.
(
3
)
丛空间与底空间的点存在对应的连续映射
关系
p
∶
B
→
M
称为投射
(
p
r
ojecti
on
)
,
这一投射关系
规定了丛空间与底空间的关系
,
构造了一个整体的
几何结构
.
参考文献
[
21
]
中列举了纤维丛的结构因子达
10
项之多
,
对于我们一般地以上三项的理解也就可
以了
,
但是为了与规范场理论配合
,
还需在上列因素
之外加入
:
(
4
)
在纤维上操作的群
,
群的元素作用在纤维
上
,
称为结构群
G
.
几何学讲形态和结构
,
这是整体的视野
,
纤维丛
是整体性的数学
,
非平庸的纤维丛是不可以由单纯
的局部直乘直和或简单粘贴而成
,
不可以简单因子
化而不介入另外的操作
.
物理学的规范场恰当的数学描述是纤维丛
.
规
范场的要素中包括两种空间
,
内外空间
,
在外空间每
一点上缔合一内空间
,
这正好与纤维丛的底空间上
粘合纤维相对应
,
纤维上的结构群就对应着内空间
上的规范群
.
纤维丛数学是
S
.
S
.
Chern
(
陈省身
)
于
1944
年
引入
,
现代的规范场理论是
1954
年
C
.
N.
Yang
(
杨
振宁
)
和
R.
L.
M
ills
引入
,
数学和物理两学科两项创
意重要贡献原来是互不相通的
,
二十余年后
,
才悟到
两者竟可以是一回事的各自表述
.
规范场的纤维丛
表述是杨振宁和吴大峻
(
T
.
T
.
W
u
)
于
1975
年阐明
的
,
而规范场与纤维丛的对应关系也在同时为陆启
铿所认识
[
22
]
.
我们在本文表
1
中列举了规范场理论
的物理量与纤维丛数学中的几何量对应关系
.
纤维丛是其包含的多个要素按照一定法则构造
成的几何结构体
,
它的重要在于它的整体性
,
这个几
何结构的整体用于描述物理现象时
,
它可以表述一
些较为复杂的现象
,
例如非亚贝尔规范场
,
即杨
-
米
尔斯场
.
现在有人试图把它用于描述金融市场
,
初看
起来有点匪夷所思
,
但是我们知道金融市场的复杂
性和整体性需要一种数学描述超出了以往常规的应
用数学
.
例如外汇市场
,
它包含了几个外汇货币区
,
每一个货币区就有它本身各种货币的兑换率
,
而金
融资产对于各种货币变换
,
虽则表面价格改变
,
资产
价值不变
.
由于某地区兑换率的改变
,
使总体的市场
失去均衡
,
出现了套利的机会
,
就会引起资金的流
动
,
市场交易者得以从中获利
,
这种活动的结果市场
又再达到新的平衡
.
这样的机制看来适合于纤维丛
的语言去描述
,
因为它包含两种金融活动
,
货币区的
货币流通和货币兑换活动
,
货币区的全体构成底空
间
,
货币兑换构成纤维
,
兑换率表徵了结构群
,
由于
某个货币区兑换率的改变使资金从一个货币区到另
一不同兑换率货币区的流动
.
这一活动由丛空间投
射到底空间
,
套利活动就成为底空间的一条闭合路
径
:
这些考虑
,
使我们觉得以纤维丛代表金融外汇市
场有它的合理思维
.
建立金融外汇市场的纤维丛模型还需考虑市场
的动态演化
,
这就需要引入物理思维
,
纤维丛同样是
・
4
4
7
・
评述
金融市场规范建模中应用几何概念平行移动的
例子如下
.
(
1
)
计算资产净现值
(
NP
V
)
方法
由于不同时间资产值不同
,
需要比较不同时间的
价值而求得资产的净现时价值
,
不同时间价值通过贴
现
(
discounting
)
过程出现
,
这比较就应用矢量平行移
动
.
为此
,
用曲面上的连络时间分量表示贴现率
.
(
2
)
外汇市场的套利
(
arbitrage
)
套利
—
—
—
利润从无中生有
,
一顿免费午餐
,
无风
险超额获利大于银行无风险存款利息
,
为比较这两
者收益
,
以平行移动过程中曲面的曲率
,
张量表达这
收益差额
.
矢曲面上曲线的平行
;
(
b
矢量在球面上的平行移
)
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