引力场表现为时空的几何。因而引力的量子效应就是时空的量子效应，引力场的量子涨落就是时空自身的量子涨落。量子涨落如同热涨落，在观测者看来有如无法祛除的噪声，时空的量子涨落也不例外。关于这一点，量子场论给予我们的图景是，引力、或时空自身的量子效应在10的19次方GeV的尺度（对应于10的负35次方米）会变得显著。结合广义相对论，人们推测量子涨落将这个尺度上的时空变得像沸腾的开水。只不过涌动于其中的不是气泡，而是黑洞或者虫洞之类的东西。
【引力笔记之四】人造黑洞 - [引力笔记]
(题图：LHC上产生黑洞的计算模拟。)
在上一篇笔记[1] 中，我们看到，如何从自旋2、零质量的引力子出发，一路走到广义相对论。我们也提到，将这条路倒过来走，就得到广义相对论在微扰量子场论中的表述。出于意料的是，竟然有同学对微扰引力的计算感兴趣。所以也许可以就此再写一篇笔记。不过，我之前已经保证在这篇日志中谈谈额外维模型，所以只得将关于微扰计算的部分放在下一篇。好在这个系列本就是信手而写，并不追求严密的逻辑与连贯性。
关于额外维，尤其是Kaluza-Klein模型的基本想法，我在此前的一篇日志[2] 中已经谈过一些，这里不再赘述。简言之，Kaluza提出用第五维时空解释电磁相互作用，从而将其与万有引力统一描述；Klein巧妙地将这个额外维通过紧化的方式隐藏起来，使得这个模型不至于与我们的日常经验相冲突。这个想法是如此美妙，以至于向来喜好吹毛求疵的Pauli对它也颇为赞赏。
不过Kaluza-Klein模型既不是第一个额外维模型，也不是最后一个。在它之前的1914年，Nordstroem就曾试图将电磁相互作用延伸到第四维空间，使电磁势矢量获得一个额外的标量自由度，并用后者解释万有引力。（那时广义相对论尚未正式发表！）当然，无论是Nordstroem模型，还是Kaluza-Klein模型，在今天都已进入历史了。
额外维模型作为靠谱的现象学模型重新回到人们的视野中，已经是20世纪末的事情。此时，它的目标不再是雄心勃勃的大统一，而是要解决一个具体的问题，人称等级问题（hierarchy problem），即：万有引力为何如此之弱。对于这个问题，等价的提法是，为何Planck尺度（1019 GeV）远大于电弱对称性破缺的尺度（103 GeV）？或者，Newton引力常数为何远小于弱作用中的Fermi常数？
1998年，伊朗帅哥泥马（Nima Arkani-Hamed）与合作者提出了一个解决方案[3] ，人称ADD模型。其基本想法是，万有引力之所以如此弱，是因为它被一个很大的额外维空间稀释了。在他们的模型中，δ个额外维（δ可以大于1）如同Kaluza-Klein模型那样被紧化在体积为Vδ =(2πr)δ 的δ维轮胎面上，其中r衡量额外维的大小。除了万有引力之外的所有相互作用、以及所有物质粒子，都被限制在未紧化的4维时空中，唯独引力可以穿越到额外维去。
你也许会问，凭什么只有引力才能感受到这个额外维，这是否过于人为？其实在今天的物理学家看来，这种设置绝非斧凿之痕，因为弦论家们早就发明了将规范场自然地限制在低维子空间的装置，即D膜。当然，这并不意味着ADD模型的成立必须以弦论为基础。只能说，弦论提供了一个自然地实现ADD模型的背景。
好了，现在让我们仔细地瞧瞧，万有引力是如何被额外维“稀释”的。为此，我们首先写出妇孺皆知的Hilbert作用量[4] ：
S=(1/2)MD 2+δ ∫d4 xdδ y (-g)1/2 R。
需要注意的是，这个作用量是在D=4+δ维中写出的，gμν 、R、以及约化 Planck质量MD 都在D维定义。在ADD模型中，D维度规gμν 满足1) 可分性假设（factorization hypothesis），即，D维度规在4维子空间上诱导的度规不依赖于额外维坐标，亦即，不依赖于4维膜在D维空间中的位置；2) 额外维是平坦的（紧化与平坦并不矛盾：想想圆柱面）。由这两个假设，我们可以从上面的作用量中积掉额外维，得到，
S=(1/2)MD 2+δ Vδ ∫d4 x (-g(4) )1/2 R(4) ，
其中Vδ =(2πr)δ 是紧化额外维的体积。如所预期，此式具有4维Hilbert作用量的形式，且带有如下的4维约化Planck质量MPl ：
MPl 2 =MD 2+δ (2πr)δ 。
此式可以部分地回答上面提出的等级问题。为看清这一点，让我们做简单的估计：取4维的Planck质量MPl =1019 GeV，而D维的Planck质量取作电弱破缺的尺度，MD =103 GeV。如果设考额外的维数δ=2，那么我们立即发现，只要紧化半径r ~ 10-4 eV，上式就得以满足。注意到，这个紧化半径的尺度恰对应于1mm的量级。在粒子物理的概念中，这个肉眼可辨的尺度足以称得上巨大。这意味着，ADD模型对等级问题的回答依赖于一个巨大的额外维，大到毫米级别。
直觉上，这样大的额外维似乎有悖于我们的生活经验，但实则不然。记得我们在前文提到，只有引力才能感受到额外维，而其它物质，包括光线，都只能在3+1维子空间中运行。可是到目前为止，人们还没有在0.1毫米量级之下对万有引力的牛顿定律做过任何实验检验。因此毫米大的额外维暂时不成问题，虽然它最终还是会带来麻烦。我们将在稍后回到这一点。
另外，之所以说以上分析只提供了对等级问题的“部分”回答，是因为，ADD模型对巨大的能量尺度MPl 的解释，需要以引入巨大的空间尺度r为代价。因此毋宁说，等级问题在此被转移，而不是被解决。除非，我们找到了一种将时空流形的额外维部分稳定在毫米尺度的办法。不过，让我们姑且离开这个难题，因为等级问题本身也未见得是意义明确的物理问题。作为引力笔记的一篇，我们不妨关注ADD模型中与引力有关的、且可供检验的现象学后果。
我们记得，引力子场即为时空度规在经典背景上的微扰。在D维时空中，它是具有D(D+1)/2个独立分量的对称二阶张量，每个分量都是D维时空坐标的函数。而为了描述4维的物理，我们希望将这个引力子场“降解”到4维。这降解的过程，对于了解Kaluza-Klein模型的同学是熟知的。它分为两步：首先，将这个D维的对称二阶张量按照它在4维子空间中Lorentz变换的性质分解为一个4维的对称二阶张量，加上若干4维矢量与标量场。此时，这些场的各分量仍然是D维时空坐标的函数。接下来，将以上所得的各场量，作为额外维空间坐标的函数，作Fourier分解。由于额外维是紧化的，作此分解将导致一个质量等间距的粒子谱，人称Kaluza-Klein塔（KK tower），对以上的每种场量皆然。这里我们并不关心细节，而只需要记住，KK tower的间距与额外维的尺度同量级：Δm~1/r。
由于引力子的质量为零，同时，由于ADD模型中的额外维尺度可以大到毫米量级，以上分析告诉我们，零质量的引力子之上将长出一大串KK激发态。这些激发态与引力子具有完全相同的量子数，它们的质量从零开始按照~10-4 eV的间距递增。我们不妨称之为KK引力子。
让我们来想想看，如何才能找到这些KK引力子：它们很轻，与任何物质有且仅有引力作用。这意味着直接“看到”它们完全是天方夜谭。这一点与中微子颇为相似，除了引力比弱作用还要弱得多。不过按照我们的经验，引力在大尺度上将变得明显。因此目前对ADD模型最强的限制其实来自天文观测。比如，来自超新星的gamma线可以辐射出KK引力子；KK引力子可能弥散在宇宙中；超新星辐射出的KK引力子可以在引力的作用下聚集成暗晕；KK引力子还可以衰变到光子。天文观测对这些过程的限制大体上已经将D维的Planck质量推到了几十、甚至几百TeV以上[5] 。
让我们回到粒子物理实验。在对撞机上，一切粒子都可以辐射出KK引力子，只是后者带走的能量在粒子能量远小于MD 的情形下总可以忽略不计。但是，一旦粒子被加速到可与MD比拟的量级，它所感受到的引力就是额外维的引力，按照前文的推导，这个引力的强度与弱相互作用相当。因此其它粒子辐射出的KK引力子就可以带走可观的能量。这就是在对撞机上检验ADD模型的第一种方法：探测末态粒子能量的丢失。
也许你已经注意到了，LHC所能达到的最大能量不过14TeV，而天文观测对MD 的限制已经高达上百TeV。这意味着ADD模型的1.0版根本无法在LHC上检验。不过，理论家总有对策。我们注意到：对天文观测有影响的物理往往来自于理论的红外部分，在ADD模型中，这对应于那些极轻的KK引力子。如果我们能想办法要求最轻的KK引力子不轻于100MeV，则来自天文观测的限制就不复存在。
那些冲着标题的同学肯定早就不耐烦了：这一切与“人造黑洞”何干？为了避免沦为纯粹的标题党，让我用这个问题来结束本文。
对于黑洞，有一个经典的无毛定理。它说，完全刻画一个经典黑洞仅用三个量即可：质量，角动量，与任意内部对称性的荷。如果将黑洞认同为一种天体，那么这个定理的确令人吃惊；但如果将黑洞看成是一种质量超重的粒子，那这一切就再自然不过了。事实上，我们在这里完全可以将黑洞定义为一个质量远大于MD 的粒子，它的质量是如此大，以至于它的Schwarzschild半径已经超过了它的Compton波长。此时，可以用广义相对论，而不是量子场论，作为处理它的近似理论。如此一来，设若MD 真的在1TeV附近，那么LHC的14TeV虽然称不上远大于MD ，也勉强可以创造出一个类似经典黑洞的东西，它将以Hawking辐射的方式衰变出一个不带任何信息的热谱——这将是一个明显地信号。当然，由于14TeV离1TeV并不远，因而量子引力对此预言的修正有可能相当大。只是，我们真的不知道，量子引力究竟是什么东西。
到此为止，我们只是讨论了ADD模型中最基本的内容。我想这篇日志已经足够长了，因此不打算继续讨论它的更多现象学后果，况且这也超出了引力笔记的主题。另外，值得指出的是，目前流行的额外维模型，除了ADD之外，还有一种也许是更热门的Randall-Sundrum模型[6] ，并以“膜世界”的名字在圈子以外著称。限于篇幅，这里也不多作介绍了。
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[1] 【引力笔记之三】一步登天 。
[2] 精神病院隔壁的n次元世界 。
[3] N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos, G. Dvali, Phys. Lett. B, 429, 263 (1998).
[4] “妇孺皆知”纯属杜撰。对Hilbert作用量不熟悉的同学可参考A.Zee, Quantum field theory in a nutshell, Chapter I.6, Princeton University Press, 2003. 那里的推导只用到了牛顿定律。
[5] Particle Data Group: Review of Particle Physics 2010.
[6] L. Randall and R. Sundrum, Phys. Rev. Lett. 83, 3370 (1999).
2011-12-15
【引力笔记之三】一步登天 - [引力笔记]
(题图：在google图片中搜索“graviton”出现频率最高的形象。谁能告诉我这是神马？貌似Wiki对此还有专门的词条graviton？)
从我贴出上一篇引力笔记到现在已经过去了很久。这一方面是由于我此前忙于别的问题，另一方面，则是由于我没有想清楚如何将这个系列写下去。因为按照原计划，我希望写写在传统量子场论的框架下对引力的理解。如所周知，这条路已被证明是无法走通的，至少在最简单的情形下。同时，其中涉及到的计算又相当繁琐。研究这个问题的前辈中的代表人物M. Veltman和B. DeWitt等等都是不畏繁冗计算的大师。因此将这个故事的来龙去脉写出来实在是无趣的事情。在我看来，有时候，无趣比错误还可怕。因此不如不写。
最近关于LHC的不少新闻使我意识到，也许可以写写在对撞机上寻找引力效应的问题。这类问题大多只需要用到经典的广义相对论与初步的量子场论，不涉及量子引力的细节，因此作为“引力场论化”系列的第一步，应当是合适的。同时，它应当也能引起非专业读者的兴趣，因为这往往使人联想到“人造黑洞”。的确，这不仅是科幻的题材、科普的噱头，在职业物理学家的工作中，它也是被严肃对待的话题。
因此，我们将以不进入、或稍稍进入细节的方式介绍用传统量子场论处理引力的一般方法，并将它应用于目前流行的两个额外维模型，并简要介绍它们对实验的主要预言。为避免篇幅过长，我将分两次陈述这些内容。
本文的目标，就是构造引力子所满足的运动方程。让我将其表述得更诱人一些：我们将从笔记一的结论，即，引力子是自旋为2、无质量、有相互作用的粒子这几乎唯一的事实出发，推导出广义相对论中的Einstein场方程。这也就是标题所谓的“一步登天”。
按照此前的讨论，引力子是自旋为2的无质量粒子，因而与之对应的场算子必须包含自旋为2的极化。对此最简单的实现，就是对称的二阶张量。我们记之为hμν，并在下文中称之为引力子场[1]。为了寻找这个引力子所满足的运动方程，我们采取场论中惯用的伎俩：构造hμν所满足的Lagrangian。对于无质量的自由场来说，这相当于找出一个合理的动能项。如同一般的Bose场，我们期望这个动能项应当是hμν的二次型，同时包含两阶偏导数。在相差分部积分的意义下，这样的项只有如下四种：
h∂2h； hμν∂2hμν； hμλ∂μ∂νhνλ； h∂μ∂νhμν .
（其中h=hμμ）然而它们并不能以任意地方式组合。因为，在自旋大于或等于1的情形，场的独立极化的个数与粒子的自旋分量的不吻合将导致规范对称性的出现。在此处，规范对称性表现为，当我们对引力子场hμν作如下变换时：
hμν → hμν + ∂μεν + ∂νεμ ,
作用量应当保持不变。在相差一个整体因子的意义下，满足此要求的以上四项的线性组合是唯一的。而这个整体的系数可以通过引力子场自身的归一化确定。由是，我们得到了如下的动能项：
(1/4)*[h∂2h - hμν∂2hμν + 2hμλ∂μ∂νhνλ - 2h∂μ∂νhμν ].
将其对引力子场变分，即得场方程。显然，这个方程并不是Einstein场方程。这是由于以上的所有讨论都将引力子处理成了无相互作用的自由粒子，因而由之而来的场方程只能是线性的方程。我们不妨称之为线性化的Einstein场方程。以下我们将会看出这样称呼的理由。将以上结果与电动力学作一类比，则可更清晰地认识到我们的处境。在后者，光子是自旋1、无质量、无自相互作用的粒子，描写它的作用量也具有局域的Abel规范对称性。这里的唯一差别就是自旋。它提示我们，将以上的线性引力子场方程作非线性化的推广，就类似于Yang-Mills当年将电动力学中的Abel规范场推广到非Abel规范场。然而这并不是一件简单的工作。熟悉历史的同学大概知道，Yang-Mills在作此推广的时候颇费了一番工夫。而我们面临的问题只会比他们的更加复杂，因为，与Yang-Mills场方程相比，Einstein场方程呈现出更多的非线性。
好在，将Abel规范对称性推广到非Abel的情形，在场论中已经有一套系统的方法，人称Noether方法。然而我更愿意在这里把它叫做“摸石头过河法”。这种方法要解决的问题是，当给定一种场的对称性变换后，如何构造在此变换下保持不变的作用量。让我们用SU(2) Yang-Mills场为例对其作简要说明。在这种情形，我们事先知道的是（与Abel的情形类似的）SU(2)规范势 Aμa的线性化Lagrangian，即
L(0) = (-1/4)fμνafμνa，其中 fμνa = ∂μAνa - ∂νAμa，
以及Aμa的规范变换：
δ(0)Aμa(x) = iεabcθb(x)Aμc(x) .
Noether方法的第一步是，让我们从自由场的Lagrangian L(0) 出发，对其作规范变换δ(0)。一般来说，L(0)在此变换下会发生改变。但此改变一定正比于∂μθa，因为L(0)具有整体的SU(2)规范对称性。于是，我们可以写，
ΔL = jμa∂μθa。
Noether方法的第二步是，定义一个新的Lagrangian，
L(1)=L(0) - (1/2)g jμaAμa，
则L(1)在准到g的一次项上，在如下“新的”规范变换下保持不变：
δ(1)Aμa =(1/g) ∂μθa+iεabcθb Aμc
接下去的步骤，就是我所谓的“摸石头过河”：为了得到准到g的平方阶的δ(2)规范不变的Lagrangian L(2)，我们对L(1)重复以上两步，如此递推下去，直至找到一个在g的任意阶下规范不变的Lagrangian。SU(2) Yang-Mills理论的简单之处就在于，到L(2)这一步，我们就已大功告成：L(2)具有严格的局域规范不变性，准到g的任意阶。它就是Yang和Mills当年为SU(2)规范场找到的作用量。回到引力子的情形，我们可以如法炮制。为此，需要确定引力场的规范变换。由于Coleman-Mandula定理的限制（参见笔记一），这里的规范变换必为广义坐标变换（即微分同胚）。与之对应的整体变换即为坐标的平移。我们都知道，时空坐标平移对引力子场的作用可以表达为：δ(0)hμν=ελ∂λhμν。联合我们在本文一开始给出的自由引力子场的规范变换，并从其Lagrangian出发，原则上我们就可一路算下去，找到一个微分同胚不变的作用量。也许你已经猜到结果了：没错，它就是Hilbert作用量：
LH=(√g)R，
其中度规gμν=ημν+κhμν，κ是引力耦合常数，而R是由度规gμν给出的标量曲率。后面的步骤就是熟知的了：对Hilbert作用量做变分，我们就得到了无源的Einstein场方程。读者也可以自行将此结果推广到含有物质场的情形。
引力的复杂之处在于，当使用Noether方法时，需要将上文描述的递推过程无穷地做下去。从而，最终结果，即Hilbert作用量，包含引力子场的任意高的幂次。作为对比，在Yang-Mills场的情形，这一步骤终止于规范场的4次方阶。
引力的这种表面的复杂性有着更深刻的根源。这个根源，简言之，就是其耦合常数κ的量纲[2]。在自然单位制下，κ的质量量纲为-1。这意味着，简单地对引力子场进行量子化将导致一个不可重整的理论；这意味着，这一理论在一个特定的尺度，即Planck长度κ-1下将失效；这意味着，在场论的框架内，我们对Planck尺度的物理还没有任何清晰的理解。这些断言的背后是无数繁杂的计算，自然，我不打算在此深入下去。即使如此，这篇日志似乎也过于技术化了。
幸运的是，或者遗憾的是，实验也远不能触及这个尺度（~1.2×1019GeV）。可是在逻辑上，这并不能推出，我们在TeV量级的对撞机上一定看不到任何引力的效应。心急的理论家已经提出了种种一石二鸟之策，在将Planck尺度拖到TeV尺度的同时，去解决电弱对称性破缺的问题（这个问题在科普文本中常以“质量的起源”的字眼出现）。这将是下一篇笔记的内容。
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[1] 注意与通常的引力场gμν（即度规张量）相区别。此刻，我们处于平坦的Minkowski空间。以下的公式都使用(+,-,-,-)度规。
[2] 读者可以通过量纲分析来理解为什么Yang-Mills Lagrangian的Noether构造必然终止于规范势的四次方阶。
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