[轉]想知何為流形與纖維叢... 
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窮人的微分幾何6 流形與纖維叢
2007/08/25 11:10
流形(manifold)跟歐氏空間的關係可以用地球跟世界地圖的關係來比喻。我們知道一張世界地圖無法完全的描繪出地球的面貌，明顯的因為平面跟球面本身在拓擈上就有先天的差別。通常的世界地圖把北極畫成了一條線而不是一個點。對要飛航過北極的飛機而言，解決這個問題的最簡單的方法，就是帶很多張地圖，有的以台灣為中心區域，有的以北極為中心區域，每個地圖可適用於地球的某一部份，各地圖間則有一些地帶可以互相對照連接。這種用一組歐氏空間來描述的某個彎曲空間，就被稱為流形。通常我們希望地圖與地圖之間的變換函數能夠被微分，則稱為可微分流形。
纖維叢(fiber bundle)則是流形與乘積空間的推廣。所謂空間的乘法，實數線X乘上實數線Y就是二維實數(X，Y)平面，而實數平面再乘上實數線Z，就變成了三維xyz空間。如果將流形上的每一點都乘上某個空間(這個空間就被叫作纖維)，則這個乘積的結果就成了一個纖維叢。一如二維平面上我們可以對每一個x定出一個y形成一個函數，在纖維叢裡也可對流形上每一個定出纖維上的一個值，這樣定出來的結構稱為此纖維叢之截面(section)。微分幾何裡有二個纖維叢比較常被提及，一個是把流形任何一點上的所有切向量組成切向量空間，把這個切向量空間當成這點的纖維，形成所謂的切叢。切向量空間裡可以選用各種座標，各座標可以用座標變換運算互換，所有這些座標變換的運算本身也形成一個空間，通常是一個李氏群。以座標變換群為纖維所形成的纖維叢被稱為主叢(principal bundle)。
1 如果在主叢上定出一個section，則這個section將流形上各點間的不同座標變換相關連起來。如果我們規定這二點上被section所連接的不同座標是平行的，則主叢的section事實上就是connection的定義。
2 把整個主叢當成一個流形，再取這個section的切向量，這個切向量是這個主叢切向量空間裡的一個子空間，被稱為水平切空間H。選定了H，就是選定connection。
3 對主叢的切向量T，我們可以唯一把它分解成T=H+V -> V，V是一個李群的微分，也就是說，我們有一個微分形式，它會作用在T上，而得到李代數g的值。定義了這個g-值微分形式，也就等於定義了connection。可以証明，以上三個方法，都可以當成connection的定義，它們之間是互等的。利用這種方法，我們可以脫離了原來的平行直覺，而定義出在廣義空間裡的connection。
在回應中提到了 Atiyah-Singer index theorem ,此連結給有志深究的人看看
窮人的微分幾何6 流形與纖維叢
2007/08/25 11:10
流形(manifold)跟歐氏空間的關係可以用地球跟世界地圖的關係來比喻。我們知道一張世界地圖無法完全的描繪出地球的面貌，明顯的因為平面跟球面本身在拓擈上就有先天的差別。通常的世界地圖把北極畫成了一條線而不是一個點。對要飛航過北極的飛機而言，解決這個問題的最簡單的方法，就是帶很多張地圖，有的以台灣為中心區域，有的以北極為中心區域，每個地圖可適用於地球的某一部份，各地圖間則有一些地帶可以互相對照連接。這種用一組歐氏空間來描述的某個彎曲空間，就被稱為流形。通常我們希望地圖與地圖之間的變換函數能夠被微分，則稱為可微分流形。
纖維叢(fiber bundle)則是流形與乘積空間的推廣。所謂空間的乘法，實數線X乘上實數線Y就是二維實數(X，Y)平面，而實數平面再乘上實數線Z，就變成了三維xyz空間。如果將流形上的每一點都乘上某個空間(這個空間就被叫作纖維)，則這個乘積的結果就成了一個纖維叢。一如二維平面上我們可以對每一個x定出一個y形成一個函數，在纖維叢裡也可對流形上每一個定出纖維上的一個值，這樣定出來的結構稱為此纖維叢之截面(section)。微分幾何裡有二個纖維叢比較常被提及，一個是把流形任何一點上的所有切向量組成切向量空間，把這個切向量空間當成這點的纖維，形成所謂的切叢。切向量空間裡可以選用各種座標，各座標可以用座標變換運算互換，所有這些座標變換的運算本身也形成一個空間，通常是一個李氏群。以座標變換群為纖維所形成的纖維叢被稱為主叢(principal bundle)。
1 如果在主叢上定出一個section，則這個section將流形上各點間的不同座標變換相關連起來。如果我們規定這二點上被section所連接的不同座標是平行的，則主叢的section事實上就是connection的定義。
2 把整個主叢當成一個流形，再取這個section的切向量，這個切向量是這個主叢切向量空間裡的一個子空間，被稱為水平切空間H。選定了H，就是選定connection。
3 對主叢的切向量T，我們可以唯一把它分解成T=H+V -> V，V是一個李群的微分，也就是說，我們有一個微分形式，它會作用在T上，而得到李代數g的值。定義了這個g-值微分形式，也就等於定義了connection。可以証明，以上三個方法，都可以當成connection的定義，它們之間是互等的。利用這種方法，我們可以脫離了原來的平行直覺，而定義出在廣義空間裡的connection。
在回應中提到了 Atiyah-Singer index theorem ,此連結給有志深究的人看看
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