窮人的微分幾何8 Gauss-Bonnet定理 因為曲率微分形式是2維的，在高維曲面上就不能直接對曲率積分，而是要積它的多項式

窮人的微分幾何8 Gauss-Bonnet定理

44讀書心得

曲率跟拓擈的關係，從一維的曲線就開始了。對一個封閉曲線，從一點開始出發，它的切向量會繞著曲線轉360度的倍數再回到原點。。切向量的旋轉角度可以用曲線的曲率來計算，曲線的曲率k=密切圓的半徑r的倒數，延著曲線前進一小段，切向量旋轉dt角，曲線長度則為ds=rdt。所以如果沿著曲線積分
Skds=S 1/r rdt=Sdt=t
正好是切向量的旋轉角度。所以我們得到
 
S 曲率 ds = 2 pi * 繞圈數
 
式子中，左邊是曲率，右邊是拓擈特性。
我們要問二維曲面也有類似的情況嗎？從上個式子的推測，就是把曲率張量對面積作積分。曲率張量的由來是
 
Ddei=Wijej
 
從上式可以推出
 
S Wijej dA = S ddei dA =S dei ds=S wijej ds
 
其中從第二式到第三式，用了Stoke定理的方法，把面積積分變成在它的邊界曲線上積分。
所以曲率張量在面積上的積分，等於wij在邊界上的積分。但是wij是量測ei在ej方向的變化量，也就是旋轉角度的積分，最後我們得到
 
S 曲率 dA = S 旋轉角 ds =切向量沿著曲線平移一圈後，回來與原向量的交角
 
如果曲面是裝在三維空間裡的，我們可以取ei是法向量，則wij量測的是法向量旋轉後所包含的立體角。這個式子的意涵不如一維空間那麼的直覺，我個人想到的一個說明如上圖所示，假設有一個球，它上面法向量所張的立體角為4pi，則不管我們怎麼亂壓這個球，擠壓會產生正曲率，但也同時產生負曲率(如圖上的綠箭頭)，它們互相對消，所以最後那些法向量所張的立體角總和仍會保持4pi，除非我們把球壓出一個洞來。從下圖可以看出，一個洞的產生，等於二個負曲率的半圓相消，所以應該會減少4pi的立體角。這就是所謂的Gauss-Bonnet定理：
 
S 曲率 dA = 4pi*(1-洞數)

 
同樣的，我們要問Gauss-Bonnet定理可不可以再往高維空間推廣？往高維推廣的一個主要障礙是因為曲率微分形式是2維的，在高維曲面上就不能直接對曲率積分，而是要積它的多項式。數學家從規範不變的理論下找到了這些多項式，它可以由對Det(tI+iW/2pi)展開後，求各階t的係數而得。這各階的曲率形式的多項式被稱為其纖維叢的特徵類。我所知的特徵類推導都是從代數拓擈方面而來，所以沒法在這裡用三言二語說明白，所以先暫時打住。

在高維曲面上就不能直接對曲率積分，而是要積它的多項式。


窮人的微分幾何8 Gauss-Bonnet定理

44讀書心得

曲率跟拓擈的關係，從一維的曲線就開始了。對一個封閉曲線，從一點開始出發，它的切向量會繞著曲線轉360度的倍數再回到原點。。切向量的旋轉角度可以用曲線的曲率來計算，曲線的曲率k=密切圓的半徑r的倒數，延著曲線前進一小段，切向量旋轉dt角，曲線長度則為ds=rdt。所以如果沿著曲線積分
Skds=S 1/r rdt=Sdt=t
正好是切向量的旋轉角度。所以我們得到
 
S 曲率 ds = 2 pi * 繞圈數
 
式子中，左邊是曲率，右邊是拓擈特性。
我們要問二維曲面也有類似的情況嗎？從上個式子的推測，就是把曲率張量對面積作積分。曲率張量的由來是
 
Ddei=Wijej
 
從上式可以推出
 
S Wijej dA = S ddei dA =S dei ds=S wijej ds
 
其中從第二式到第三式，用了Stoke定理的方法，把面積積分變成在它的邊界曲線上積分。
所以曲率張量在面積上的積分，等於wij在邊界上的積分。但是wij是量測ei在ej方向的變化量，也就是旋轉角度的積分，最後我們得到
 
S 曲率 dA = S 旋轉角 ds =切向量沿著曲線平移一圈後，回來與原向量的交角
 
如果曲面是裝在三維空間裡的，我們可以取ei是法向量，則wij量測的是法向量旋轉後所包含的立體角。這個式子的意涵不如一維空間那麼的直覺，我個人想到的一個說明如上圖所示，假設有一個球，它上面法向量所張的立體角為4pi，則不管我們怎麼亂壓這個球，擠壓會產生正曲率，但也同時產生負曲率(如圖上的綠箭頭)，它們互相對消，所以最後那些法向量所張的立體角總和仍會保持4pi，除非我們把球壓出一個洞來。從下圖可以看出，一個洞的產生，等於二個負曲率的半圓相消，所以應該會減少4pi的立體角。這就是所謂的Gauss-Bonnet定理：
 
S 曲率 dA = 4pi*(1-洞數)

 
同樣的，我們要問Gauss-Bonnet定理可不可以再往高維空間推廣？往高維推廣的一個主要障礙是因為曲率微分形式是2維的，在高維曲面上就不能直接對曲率積分，而是要積它的多項式。數學家從規範不變的理論下找到了這些多項式，它可以由對Det(tI+iW/2pi)展開後，求各階t的係數而得。這各階的曲率形式的多項式被稱為其纖維叢的特徵類。我所知的特徵類推導都是從代數拓擈方面而來，所以沒法在這裡用三言二語說明白，所以先暫時打住。