从拓扑学到几何学的长征
来自: 唐狼(见贤思齐) 2012-08-02 12:41:27
从拓扑学到几何学的长征zz
我想大众没有能够真正理解Poincare猜想的意义。可以毫不夸张的说Poincare猜想在流形拓扑学中的地位犹如Fermat大定理在代数数论中的地位。自Poincare创立代数拓扑以来，拓扑的“使命”就很清晰地摆在人们面前：将诸维拓扑流形作完全的同胚分类。最直观的看Poincare猜想就是，它要人们去辨识最简单的紧流形--球面。如果我们连球面都辨别不了，何谈拓扑学的终极“使命”！
拓扑流形分类, 1维情形是trival, 紧的话就是圆周S^1, 非紧的话就是实直线R^1. 维数大于等于2时，非紧流形M总是可以紧化的。这时会有两种情况发生，一是紧化的流形同胚于带边的紧流形，此时称M具有有限拓扑型，对M结构的研究就转化成带“洞”的紧流形的研究了；二是流形紧化后会成为Wild空间。 Wild空间往往是非常奇怪的，比如Alexader的horned sphere和Whitehead构造的Poincare猜想在开流形情形下的反例。Wild空间似乎从来没有人系统地研究过。由于任一不可定向的紧致流形总有一个可定向的二重覆盖空间（比如射影空间的二重覆盖是球面），因而讨论紧流形的分类问题可从可定向的情形出发了。当然对于二维紧致流形定向与不可定向都已搞明白了，就是紧致曲面的同胚分类定理。
Poincare从1892年起陆续发表了Analysis situs(位置分析)及其五篇补充论文。他在论文中定义了高维流形，同胚，基本群，Betti数，同调关系等概念，并计算了一些代数曲面的拓扑不变量。结合前人，如Riemann, Jordan, Mobius, 我们可以看到到Poincare时，二维紧致流形的同胚分类问题已经完成。紧致曲面的同胚分类定理的证明要建立在triangulation(三角剖分)观念的基础上的，只是直到1925年Rado才严格证明每个紧致曲面可以单纯剖分（即三角剖分）。现在任何一本基础拓扑学的书中都会讲如何利用Rado的定理，经由手术将曲面展开，化为标准形，并通过计算其基本群或同调群来实现二维紧致流形的同胚分类。在Analysis situs的第五篇补充论文中，Poincare提出了著名的猜想：是否可能存在流形V，其基本群可约化为恒等代换，但V不是球面？他还指出与球面同调群相同（即Betti数和挠系数均等于1）但不与球面同胚的反例。这就是著名的Poincare猜想最最原始的表述。
有鉴于triangulation的重要性，Steinitz与Tietze于1908年提出了Hauptvermutung，即主猜想（main conjecture）。由单纯逼近定理知两个多面体(polyhedra)之间的连续映射必同伦于一个PL映射。main conjecture是说polyhedra之间的同胚必同伦于一个PL同胚。main conjecture意义重大，它的成立与否涉及到类比曲面分类的“triangulation--标准型”方法对高维拓扑流形分类的可行性。然而这个猜想一般而言不成立，反例是Milnor于1961年找到的。“祸不单行”，不仅如此，连组合三角剖分猜想（combinatorial triangulation conjecture，即CTC）也是错的。所谓CTC是说每个紧致的拓扑流形PL同胚于一个PL流形。CTC比三角剖分猜想要强，三角剖分猜想是说每个紧致的拓扑流形同胚于一个组合流形。
这两个猜想的否定使人们一方面清醒地看到研究拓扑学确实需要小心谨慎，一些看似直观和合理的假设却也很有可能是错的；另一方面，很明显，高维拓扑流形的结构极端复杂。正如Godel证明了不完全定理以后，数理逻辑分裂为公理集论、模型论、证明论和递归论一样，我想这个时候，拓扑学才真正地延多种道路发展起来，它与微分几何、PDE的交融，以及它在代数几何、非线性泛函分析等最核心数学分支的应用，表明拓扑学已然是20C最为波澜壮阔的数学分支。
1 经典思路
既然两大猜想一般情况下都是错的，人们不仅要问
问题a 什么样的流形可以三角剖分？
问题b 对于什么样的流形，main conjecture成立？甚至要问
问题c 三角剖分猜想和main conjecture成立的充要条件。
1951年Moise证明了任一3维流形都可以三角剖分，且在组合等价的意义下剖分是唯一的，即主猜想也成立。由此人们可以惊呼：3-D流形的同胚分类本质上就是一个组合学问题。可是至少我目前为止没有看到有人认真地类比2维分类情形的分类方法来做3-D流形的同胚分类问题。我想这很大程度上是因为拓扑学家还不能够驾御类似于2维情形中组合学方法的复杂性。不管怎么说，组合学方法还是产生了一些有意思的结果的。特别地例如组合群论的产生以及伴随组合学而来的算法视角的研究方法。说到这里不能不提及Markov于1958年证明的一个著名否定性结论：维数大于等于4时，拓扑流形的分类是算法不可解的。因此3-D流形的完全分类是人类的last chance! 除非我们研制出量子计算机代替当前的Turing机，给算法带来全新的概念或革命。
问题a,b的回答的程度取决于问题c研究的深度。要回答问题c，需要精深的代数拓扑学的理论。
当然了从初等方法的角度，拓扑学家细入研究了3-D流形的拓扑性质。得到很多基本而又重要的命题。比如Kneser和Milnor证明了任一3-D流形都有唯一的prime decomposition。大神Papakyriakopoulos（简称Papa，大神是我给封的，因为他至死都在惦记着Poincare猜想的证明）在1957年一口气给出Dehn引理、loop定理和sphere定理的证明。sphere定理在不可定向的类比是Epstein的射影平面定理。此外还知道每个3-D流形都可以作Heegaard分解，故可将3-D流形用Heegaard diagram表示出来，进而可以定义3-D流形的Heegaard亏格。Reidemeister于1935年成功地将Heegaard亏格为1的3-D流形作了完全分类，它们是著名的透镜空间类和S1上的不可定向的S2丛。用初等方法（纯几何拓扑方法）研究Heegaard亏格较高的3-D流形的分类是极为艰巨的一件事。
2 代数拓扑
代数拓扑实在是博大精深的数学，我觉得凭我一人之力今天让大家即使管窥一斑都很困难。自Poincare而后，20世纪20年代，de Rham 证明了Elie Cartan（20世纪最伟大的几何学家，长征到几何学部分时，我还要大讲特讲。）关于微分形式的Rham定理。Morse建立起拓扑学中的变分方法，即Morse理论。30年代Hurewicz定义了一般维数的同伦群。Pontryagin引入了配边问题，即什么代数拓扑条件能使得一个闭流形成为某个带边流形的边界？Thom发展了横截性概念与Pontryagin方法，将配边问题转化为Thom空间的同伦群的计算问题。之后Kolmogorov与Alexander定义了上同调群，最后Whitney, Stiefel,Pontryagin与陈省身先生先后发现了各种版本的示性类理论。接着四、五十年代便开始了对拓扑不变量的艰难计算。其中有趣的是Hirezebruch, 他将Rokhlin发现的一个定向的配边不变量，即所谓“符号差”，用Pontryagin数表示出来，因而证明了代数几何中一般的Riemann-Roch定理。之后, Milnor与Kervaire发展了h-配边理论。Smale证明了维数大于等于6时，每个单连通的h-配边都是平凡的，而且组成边界的两部分是微分同胚的。进而他借助h-配边理论和Morse理论与Stalling, Wallace独立地证明了广义Poincare猜想：一个维数大于等于5的流形若与球面的伦型相同，则必PL同胚于球面。因此Smale拿了Fields奖。
我们说一门理论是否真的的强大，拿一个重要猜想来做试金石试一试就行了。明显地，Poincare猜想起到作为配边理论和Morse理论的试金石的作用，奠定了两者在拓扑学中的地位。基于拓扑学最初的使命是分类流形的事实。拓扑学的理论大多亦不会离使命太远。Poincare猜想的重要性在于它要人们去识别最简单的流形--球面。因而一个真正强大的拓扑学理论不去找Poincare猜想作为试金石又去找谁呢？
话说Poincare猜想经过几代拓扑学家与几何学家的努力已经升级为一个系列猜想。至少有拓扑版本、PL版本和DIFF版本三个变种。拓扑版本是说一个同伦球必为一个拓扑球。Newmann在1966年证明了维数大于4的情形，Freedman于1982年证明了维数为4的情形（Fields奖，Freedman是又一个建立了以Poincare猜想为试金石的数学家）。Peleman在Thurston的几何化假设的框架下，建立在Hamilton的Ricci流理论的基础上，于2003年到2004年证明了维数为3的情形（Fields奖）。PL版本有强弱个子版本的分别。弱PL版本是说一个PL同伦球必为一个拓扑球。当然拓扑版本蕴涵弱PL版本。强PL版本是说PL同伦球必为一个PL球。刚刚说过了，1962年Smale证明了维数大于等于5的情形（Fields奖）。维数为4时至今（2011年2月3日，呵呵，今天是大年初一啊，祝大家新年身体健康，万事如意。）仍是open problem! 维数为3的情形当然还是Peleman的工作。DIFF版本仍有强弱两个子版本，同样弱DIFF版只是拓扑版本的推论。强DIFF版本，一般情形（维数大于等于7时）于1958年被Milnor的怪球反例否定了（Fields奖），并由此诞生了微分拓扑学。实际上，Hamilton-Peleman对Thurston的几何化假设的证明蕴涵了3维强DIFF版的的Poincare猜想。现在（2011年2月3日凌晨3点）仅有的两个公开情形是强PL版本和强DIFF版本在4维的情形，而且已知这最后的两个情形是等价的。
代数拓扑到了20世纪60，70年代，一方面回答了问题c 三角剖分猜想和main conjecture成立的充要条件；另一方面，在人们的惊讶声中诞生了微分拓扑学和绚丽无比的纤维丛理论。
六、七十年代之后拓扑学倾向于代数的部分或有其他背景的部分如同调代数、K理论远在我的认知和理解范围之外了，因此我只能避而不谈，希望有高人将来给补充。
1956年，Milnor发现同胚于标准球面的光滑球面未必能微分同胚之，因而否定了强DIFF版本的Poincare猜想。（Fields奖）一般而言，光滑流形上若有微分结构也未必是唯一的。至此人们已经认识到，拓扑学的分类问题应该是将拓扑流形作同胚分类，将PL流形作PL同胚分类（即将同胚的PL流形上所能允许的所有PL结构都构造出来），将微分流形作微分同胚分类（即将同胚的或PL同胚的光滑流形上所能允许的所有微分结构都构造出来）。当然，除了这三个范畴外，还有一些次要的范畴，并且对于这三个范畴的拓扑学问题，人们已经掌握了如下的事实：
d 组合三角剖分猜想是说拓扑流形上总有一个PL结构，Main conjecture是说PL流形上的PL结构是唯一的，当然上面说过了，对于一般的流形这两个猜想都是错误的。对于3维流形，它们都是正确的。
e Milnor发现维数大于等于7时，PL流形上未必有唯一的光滑结构，Kervaire发现存在PL流形（例如那个著名的E8）没有任何的微分结构。
f Whitehead证明光滑流形总是可以被三角剖分的，且具有唯一的PL结构。
g 维数小于等于3时，拓扑流形总是可以三角剖分的。维数为4时，Casson于1985年构造了一个拓扑流形M^4不能三角剖分。维数大于等于5时，拓扑流形是否可以三角剖分至今（2011年1月）仍是公开问题。
1958到1965年间，Thom, Munkres, Hirsch等人定义了障碍群，Cairns, Whitehead, Hirsch, Milnor, Munkres, Lashof, Mazur等人的工作弄清楚了PL流形上光滑结构所成的分类空间PL/O的结构。他们证明了π_n(PL/O)=θ_n, n>=7;π_n(PL/O)=0, n<=6, 其中θ_n是怪球的有限Kervaire-Milnor群。这是事实e的定量刻画。根据这些数学家的工作，我们可以知道，维数大于等于5时，一紧致拓扑流形上若有微分结构，则微分结构在微分同胚的意义下只有有限多个。
接着1969年Kirby-Siebenmann得到分类空间TOP/PL的重要性质：TOP/PL同胚于Eilenberg-Maclane空间K（Z/2, 3），因而π_n(TOP/PL)=Z_2, n=3; π_n(TOP/PL)=0, n不为3。这样就定量描述了事实d。并且Kirby-Siebenmann还具体构造了PL结构的障碍群K(M)。n>=5时， 拓扑流形M上有一个PL结构，当且仅当K(M)=0。Kirby和Siebenmann还证明了维数大于等于5时，一紧致拓扑流形若有PL结构，则其PL结构在PL同胚的意义下只有有限多个。
1976年，Calewski-Stern, Matumoto分别构造了拓扑流形可以三角剖分的障碍群δ_k(M)。维数n>=5时，拓扑流形M可以三角剖分当且仅当δ_k(M)=0。这样理论上描述了事实g。但维数n>=5时，是否总有δ_k(M)=0，还是公开问题。
1983年左右，Donaldson利用理论物理上的工具（ Yang-Mills方程的瞬子解），得到一大类4维拓扑流形，它们不允许任何的微分结构，例如那个著名的E8。而且由Donaldson的工作知，存在4维拓扑流形M，其上有无穷多种微分结构，例如2010年, Akhmedov和Park证明了S^2×S^2上就有无穷多种微分结构。 另外Donaldson还出人意料地证明了4维Euclid空间R^4上存在不可数多种微分结构。而已知对于其他维数的Euclid空间却只有一种微分结构。在拓扑学上，维数为4时，会发生很多非常奇怪的事。也有些看似简单却没有办法解决的难题，如现在（2011年1月）还不知道4维球面S^4上是否有无限多还是有限多（甚至是唯一的）的微分结构。
我想大众没有能够真正理解Poincare猜想的意义。可以毫不夸张的说Poincare猜想在流形拓扑学中的地位犹如Fermat大定理在代数数论中的地位。自Poincare创立代数拓扑以来，拓扑的“使命”就很清晰地摆在人们面前：将诸维拓扑流形作完全的同胚分类。最直观的看Poincare猜想就是，它要人们去辨识最简单的紧流形--球面。如果我们连球面都辨别不了，何谈拓扑学的终极“使命”！
拓扑流形分类, 1维情形是trival, 紧的话就是圆周S^1, 非紧的话就是实直线R^1. 维数大于等于2时，非紧流形M总是可以紧化的。这时会有两种情况发生，一是紧化的流形同胚于带边的紧流形，此时称M具有有限拓扑型，对M结构的研究就转化成带“洞”的紧流形的研究了；二是流形紧化后会成为Wild空间。 Wild空间往往是非常奇怪的，比如Alexader的horned sphere和Whitehead构造的Poincare猜想在开流形情形下的反例。Wild空间似乎从来没有人系统地研究过。由于任一不可定向的紧致流形总有一个可定向的二重覆盖空间（比如射影空间的二重覆盖是球面），因而讨论紧流形的分类问题可从可定向的情形出发了。当然对于二维紧致流形定向与不可定向都已搞明白了，就是紧致曲面的同胚分类定理。
Poincare从1892年起陆续发表了Analysis situs(位置分析)及其五篇补充论文。他在论文中定义了高维流形，同胚，基本群，Betti数，同调关系等概念，并计算了一些代数曲面的拓扑不变量。结合前人，如Riemann, Jordan, Mobius, 我们可以看到到Poincare时，二维紧致流形的同胚分类问题已经完成。紧致曲面的同胚分类定理的证明要建立在triangulation(三角剖分)观念的基础上的，只是直到1925年Rado才严格证明每个紧致曲面可以单纯剖分（即三角剖分）。现在任何一本基础拓扑学的书中都会讲如何利用Rado的定理，经由手术将曲面展开，化为标准形，并通过计算其基本群或同调群来实现二维紧致流形的同胚分类。在Analysis situs的第五篇补充论文中，Poincare提出了著名的猜想：是否可能存在流形V，其基本群可约化为恒等代换，但V不是球面？他还指出与球面同调群相同（即Betti数和挠系数均等于1）但不与球面同胚的反例。这就是著名的Poincare猜想最最原始的表述。
有鉴于triangulation的重要性，Steinitz与Tietze于1908年提出了Hauptvermutung，即主猜想（main conjecture）。由单纯逼近定理知两个多面体(polyhedra)之间的连续映射必同伦于一个PL映射。main conjecture是说polyhedra之间的同胚必同伦于一个PL同胚。main conjecture意义重大，它的成立与否涉及到类比曲面分类的“triangulation--标准型”方法对高维拓扑流形分类的可行性。然而这个猜想一般而言不成立，反例是Milnor于1961年找到的。“祸不单行”，不仅如此，连组合三角剖分猜想（combinatorial triangulation conjecture，即CTC）也是错的。所谓CTC是说每个紧致的拓扑流形PL同胚于一个PL流形。CTC比三角剖分猜想要强，三角剖分猜想是说每个紧致的拓扑流形同胚于一个组合流形。
这两个猜想的否定使人们一方面清醒地看到研究拓扑学确实需要小心谨慎，一些看似直观和合理的假设却也很有可能是错的；另一方面，很明显，高维拓扑流形的结构极端复杂。正如Godel证明了不完全定理以后，数理逻辑分裂为公理集论、模型论、证明论和递归论一样，我想这个时候，拓扑学才真正地延多种道路发展起来，它与微分几何、PDE的交融，以及它在代数几何、非线性泛函分析等最核心数学分支的应用，表明拓扑学已然是20C最为波澜壮阔的数学分支。
1 经典思路
既然两大猜想一般情况下都是错的，人们不仅要问
问题a 什么样的流形可以三角剖分？
问题b 对于什么样的流形，main conjecture成立？甚至要问
问题c 三角剖分猜想和main conjecture成立的充要条件。
1951年Moise证明了任一3维流形都可以三角剖分，且在组合等价的意义下剖分是唯一的，即主猜想也成立。由此人们可以惊呼：3-D流形的同胚分类本质上就是一个组合学问题。可是至少我目前为止没有看到有人认真地类比2维分类情形的分类方法来做3-D流形的同胚分类问题。我想这很大程度上是因为拓扑学家还不能够驾御类似于2维情形中组合学方法的复杂性。不管怎么说，组合学方法还是产生了一些有意思的结果的。特别地例如组合群论的产生以及伴随组合学而来的算法视角的研究方法。说到这里不能不提及Markov于1958年证明的一个著名否定性结论：维数大于等于4时，拓扑流形的分类是算法不可解的。因此3-D流形的完全分类是人类的last chance! 除非我们研制出量子计算机代替当前的Turing机，给算法带来全新的概念或革命。
问题a,b的回答的程度取决于问题c研究的深度。要回答问题c，需要精深的代数拓扑学的理论。
当然了从初等方法的角度，拓扑学家细入研究了3-D流形的拓扑性质。得到很多基本而又重要的命题。比如Kneser和Milnor证明了任一3-D流形都有唯一的prime decomposition。大神Papakyriakopoulos（简称Papa，大神是我给封的，因为他至死都在惦记着Poincare猜想的证明）在1957年一口气给出Dehn引理、loop定理和sphere定理的证明。sphere定理在不可定向的类比是Epstein的射影平面定理。此外还知道每个3-D流形都可以作Heegaard分解，故可将3-D流形用Heegaard diagram表示出来，进而可以定义3-D流形的Heegaard亏格。Reidemeister于1935年成功地将Heegaard亏格为1的3-D流形作了完全分类，它们是著名的透镜空间类和S1上的不可定向的S2丛。用初等方法（纯几何拓扑方法）研究Heegaard亏格较高的3-D流形的分类是极为艰巨的一件事。
2 代数拓扑
代数拓扑实在是博大精深的数学，我觉得凭我一人之力今天让大家即使管窥一斑都很困难。自Poincare而后，20世纪20年代，de Rham 证明了Elie Cartan（20世纪最伟大的几何学家，长征到几何学部分时，我还要大讲特讲。）关于微分形式的Rham定理。Morse建立起拓扑学中的变分方法，即Morse理论。30年代Hurewicz定义了一般维数的同伦群。Pontryagin引入了配边问题，即什么代数拓扑条件能使得一个闭流形成为某个带边流形的边界？Thom发展了横截性概念与Pontryagin方法，将配边问题转化为Thom空间的同伦群的计算问题。之后Kolmogorov与Alexander定义了上同调群，最后Whitney, Stiefel,Pontryagin与陈省身先生先后发现了各种版本的示性类理论。接着四、五十年代便开始了对拓扑不变量的艰难计算。其中有趣的是Hirezebruch, 他将Rokhlin发现的一个定向的配边不变量，即所谓“符号差”，用Pontryagin数表示出来，因而证明了代数几何中一般的Riemann-Roch定理。之后, Milnor与Kervaire发展了h-配边理论。Smale证明了维数大于等于6时，每个单连通的h-配边都是平凡的，而且组成边界的两部分是微分同胚的。进而他借助h-配边理论和Morse理论与Stalling, Wallace独立地证明了广义Poincare猜想：一个维数大于等于5的流形若与球面的伦型相同，则必PL同胚于球面。因此Smale拿了Fields奖。
我们说一门理论是否真的的强大，拿一个重要猜想来做试金石试一试就行了。明显地，Poincare猜想起到作为配边理论和Morse理论的试金石的作用，奠定了两者在拓扑学中的地位。基于拓扑学最初的使命是分类流形的事实。拓扑学的理论大多亦不会离使命太远。Poincare猜想的重要性在于它要人们去识别最简单的流形--球面。因而一个真正强大的拓扑学理论不去找Poincare猜想作为试金石又去找谁呢？
话说Poincare猜想经过几代拓扑学家与几何学家的努力已经升级为一个系列猜想。至少有拓扑版本、PL版本和DIFF版本三个变种。拓扑版本是说一个同伦球必为一个拓扑球。Newmann在1966年证明了维数大于4的情形，Freedman于1982年证明了维数为4的情形（Fields奖，Freedman是又一个建立了以Poincare猜想为试金石的数学家）。Peleman在Thurston的几何化假设的框架下，建立在Hamilton的Ricci流理论的基础上，于2003年到2004年证明了维数为3的情形（Fields奖）。PL版本有强弱个子版本的分别。弱PL版本是说一个PL同伦球必为一个拓扑球。当然拓扑版本蕴涵弱PL版本。强PL版本是说PL同伦球必为一个PL球。刚刚说过了，1962年Smale证明了维数大于等于5的情形（Fields奖）。维数为4时至今（2011年2月3日，呵呵，今天是大年初一啊，祝大家新年身体健康，万事如意。）仍是open problem! 维数为3的情形当然还是Peleman的工作。DIFF版本仍有强弱两个子版本，同样弱DIFF版只是拓扑版本的推论。强DIFF版本，一般情形（维数大于等于7时）于1958年被Milnor的怪球反例否定了（Fields奖），并由此诞生了微分拓扑学。实际上，Hamilton-Peleman对Thurston的几何化假设的证明蕴涵了3维强DIFF版的的Poincare猜想。现在（2011年2月3日凌晨3点）仅有的两个公开情形是强PL版本和强DIFF版本在4维的情形，而且已知这最后的两个情形是等价的。
代数拓扑到了20世纪60，70年代，一方面回答了问题c 三角剖分猜想和main conjecture成立的充要条件；另一方面，在人们的惊讶声中诞生了微分拓扑学和绚丽无比的纤维丛理论。
六、七十年代之后拓扑学倾向于代数的部分或有其他背景的部分如同调代数、K理论远在我的认知和理解范围之外了，因此我只能避而不谈，希望有高人将来给补充。
1956年，Milnor发现同胚于标准球面的光滑球面未必能微分同胚之，因而否定了强DIFF版本的Poincare猜想。（Fields奖）一般而言，光滑流形上若有微分结构也未必是唯一的。至此人们已经认识到，拓扑学的分类问题应该是将拓扑流形作同胚分类，将PL流形作PL同胚分类（即将同胚的PL流形上所能允许的所有PL结构都构造出来），将微分流形作微分同胚分类（即将同胚的或PL同胚的光滑流形上所能允许的所有微分结构都构造出来）。当然，除了这三个范畴外，还有一些次要的范畴，并且对于这三个范畴的拓扑学问题，人们已经掌握了如下的事实：
d 组合三角剖分猜想是说拓扑流形上总有一个PL结构，Main conjecture是说PL流形上的PL结构是唯一的，当然上面说过了，对于一般的流形这两个猜想都是错误的。对于3维流形，它们都是正确的。
e Milnor发现维数大于等于7时，PL流形上未必有唯一的光滑结构，Kervaire发现存在PL流形（例如那个著名的E8）没有任何的微分结构。
f Whitehead证明光滑流形总是可以被三角剖分的，且具有唯一的PL结构。
g 维数小于等于3时，拓扑流形总是可以三角剖分的。维数为4时，Casson于1985年构造了一个拓扑流形M^4不能三角剖分。维数大于等于5时，拓扑流形是否可以三角剖分至今（2011年1月）仍是公开问题。
1958到1965年间，Thom, Munkres, Hirsch等人定义了障碍群，Cairns, Whitehead, Hirsch, Milnor, Munkres, Lashof, Mazur等人的工作弄清楚了PL流形上光滑结构所成的分类空间PL/O的结构。他们证明了π_n(PL/O)=θ_n, n>=7;π_n(PL/O)=0, n<=6, 其中θ_n是怪球的有限Kervaire-Milnor群。这是事实e的定量刻画。根据这些数学家的工作，我们可以知道，维数大于等于5时，一紧致拓扑流形上若有微分结构，则微分结构在微分同胚的意义下只有有限多个。
接着1969年Kirby-Siebenmann得到分类空间TOP/PL的重要性质：TOP/PL同胚于Eilenberg-Maclane空间K（Z/2, 3），因而π_n(TOP/PL)=Z_2, n=3; π_n(TOP/PL)=0, n不为3。这样就定量描述了事实d。并且Kirby-Siebenmann还具体构造了PL结构的障碍群K(M)。n>=5时， 拓扑流形M上有一个PL结构，当且仅当K(M)=0。Kirby和Siebenmann还证明了维数大于等于5时，一紧致拓扑流形若有PL结构，则其PL结构在PL同胚的意义下只有有限多个。
1976年，Calewski-Stern, Matumoto分别构造了拓扑流形可以三角剖分的障碍群δ_k(M)。维数n>=5时，拓扑流形M可以三角剖分当且仅当δ_k(M)=0。这样理论上描述了事实g。但维数n>=5时，是否总有δ_k(M)=0，还是公开问题。
1983年左右，Donaldson利用理论物理上的工具（ Yang-Mills方程的瞬子解），得到一大类4维拓扑流形，它们不允许任何的微分结构，例如那个著名的E8。而且由Donaldson的工作知，存在4维拓扑流形M，其上有无穷多种微分结构，例如2010年, Akhmedov和Park证明了S^2×S^2上就有无穷多种微分结构。 另外Donaldson还出人意料地证明了4维Euclid空间R^4上存在不可数多种微分结构。而已知对于其他维数的Euclid空间却只有一种微分结构。在拓扑学上，维数为4时，会发生很多非常奇怪的事。也有些看似简单却没有办法解决的难题，如现在（2011年1月）还不知道4维球面S^4上是否有无限多还是有限多（甚至是唯一的）的微分结构。
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