十一月2

最明白的 微分流形

什么是流形？（写流形的书很多，很多人看了很多关于流形的书，最后问流形到底是什么…）流形 就是一些有着特殊性质的抽象点的集合，所谓抽象点 意思是 可以是香蕉 橘子 苹果 或者 火车 汽车 飞机 任东西都可以不一定是数字。所谓特殊性质就是：这个集合上总会有某些函数们 能够把这些抽象点 一一映射到我们小学就开始学的 欧几里得坐标 上（注意 说欧几里得空间 就是一个抽象空间 是由符合 特殊性质的 密布的抽象点构成的 而 欧几里得坐标 则是我们的 直角坐标系 空间每一点不是 所谓抽象点 而是 坐标值(x,y,z,..) 。
本节我们复习点集拓扑的概念，给出流形的严谨定义，通过例子给出微分流形的一些重要性质

Step1:拓扑

复习 拓扑：注意流形 抽象点的概念完全是继承于拓扑学的。拓扑学动机 很简单 因为 集合 里可以装任何东西 （香蕉 橘子 苹果 或者 火车 汽车 飞机  或者 火车 汽车 飞机 香蕉 橘子 苹果 ） ，而仅仅一个集合没什么用，我们要加一些数学构造才能有使用价值也就是– 拓扑学 。不难看出我们说拓扑 一定是什么集合上 的拓扑 （其实学者就是喜欢高大上的名字其实 完全就是一个集合的延伸。）
定义1：假设有一个n个元素的集合X \equiv {x^1,..,x^n}和 它的子集合 们 {X_i}_{(i =1 ,..,2^n)}所谓  X的拓扑T 就是一个有着以下性质的点的集合：
a.空集\phi 和 X自己 属于T
b.T中元素任意的 联合 属于T自身
c.T中的任意 有限交集 属于T自身
我们来说这个定义的意图：一个 集合的拓扑T 根据我们的动机，在对它进行集合运算后 不会有新的元素出现–意味着T关于集合操作是 闭（closed） 的。 换句话说 想一下 如果没有这个性质 会怎么样~~
定义2：定义一个 拓扑空间 （X，T）其中T是集合X的拓扑
定义3：拓扑T的元素 被称为 开集合
例子 ：（就拿苹果公司开刀了。）如果一个集合X = \{ipad,iphone5,iphone5s, iphone6\}那么它的任意几个拓扑就是：
T_1 = \{\phi, X, ipad\}
T_2 = \{\phi, X, ipad, iphone5,\{ipad, iphone5\}\}
而M \equiv \{\phi, X, ipad, iphone5,\{ipad, iphone5\},\{ ipad,iphone6 \}\}不是拓扑
因为\{ipad, iphone5\} \cup \{ipad,iphone6\} = \{ipad,iphone6, iphone5\} \not\in M
定义4：Hausdorff空间 ：一个拓扑空间 （X，T）是Hausdorff的 就是 （X，T）上的所有两个不重合的点 存在两个不相交的邻里。
这个定义的主要是 Hausdorff空间中数列的极限收敛的一致性（也就是 数列有且只有一个极限）

Step2:微分流形

有了集合的拓扑，我们可以随心所欲的操作我们的集合了，而不用担心操作后的元素跑出集合了。下面我们在这个拓扑T上加上一些更高级的数学构造。
定义5：M是一个维度为m的流形（Manifold）：
a.M是一个拓扑空间（X，T）
b.M有一个 二元数组(U_i, \phi_i)（一般称之为 Chart（图表）） 其中开集合U_i（一般称之为 坐标近旁）的集合覆盖整个M，而\phi_i（一般称之为 coordinate function 坐标函数）是从 U_i到欧几里得坐标R^m 一个homeomorphism （同胚）。这里 二元数组(U_i, \phi_i) 的 集合 \{(U_i, \phi_i)\} 被称为 atlas（图集）
b的动机是给拓扑空间加上坐标。怎么加呢？在一组抽象点上加坐标系统 — Atlas，怎么加都行！其中\{U_i\}就是一组加坐标的方法（而U_i意思是 M上一个点的开近旁– 坐标近旁 ）。理所当然，谁也阻止不了我加另一组坐标系统\{(V_i,\psi_i )\}。注意这里的记号\phi_i : M \rightarrow R^m, \phi_i(p) \equiv (\phi_i^1(p),..,\phi_i^m(p))看到\phi_i大脑里的印象应该是一个 映射集合 而不是 一个映射
如果 是 微分流形 的话我们加一条定义
c.给出M的一个图集 \{(U_i, \phi_i)\}。考虑流形上一点p的任意两个交集不为空的坐标近旁U_i,U_j。其 坐标函数 的合成映射\psi_ij \equiv \phi_i\cdot\phi_j^{-1}(p) 是无限可微的函数也就是C^\infty光滑函数。如果是C^k光滑函数就称 这个流形 是 k次可微流形。
这里的合成映射实际上就是一次 局域坐标变换！（我们没有换图集！只是先把 图表i生成的坐标拉回到M的p点上，然后在通过图表j映射出去–完全是局域变换！）
看过 局域坐标变换 不难想象 图集(Atlas) 也有类似于坐标变换什么的吧。是的，只是一般用在两张流形之间。如果两个Atlas的并集 仍然是一个Atlas 那么 可以说 两个Atlas“长得一样”–可以定义一个等价类。至于是什么意思，下篇见。
（等价类 wiki）
 

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Posted 十一月 2, 2014 by guo.yansong.ngy@gmail.com in category 拓扑学（Topology），流形（Manifold）, 数学-教程