微分以後再對y 偏微分。同理， fyx 就是先對f 偏微分以後再對x 偏微分。
有沒有注意到@2 f
@y@x
和@2 f
@x@y
剛好相等呢？那不是剛好，這兩個在某些
條件下就會相等。
講得更一般點，只要滿足某些條件，偏微分的順序不會影響結果。譬如
說
@4 f
@y3@x =
@4 f
@y@x@y2
同樣是四階偏導函數，也同樣是對y 三次、對x 一次。改變偏微分的順
序，結果相等。
矩陣導數| 線代啟示錄
https://ccjou.wordpress.com/2013/05/31/矩陣導數/
2013年5月31日 - 另一方面，如果 f 是二階可導函數，我們可以計算 \partial f/\partial\mathbf{x} ... 本文將介紹一般性的矩陣導數(matrix calculus)，區分為下列數種類型：.
[PDF]1 偏導數
calculus.yuyumagic424.net/wp-content/uploads/2013/01/偏導數.pdf
1 偏導數. 考試成績可能是個多變函數，我們將之表為. 成績= f(天資, 資源,付出時間). 我們可能想知道，在 ... 但我們可以改用另一個方法，直接對f(x, y) 作偏微分，得到另一兩變. 數函數fx(x, y)，然後再 .... 一階偏導函數的偏導函數，便是二階偏導函數 fxx(x
被開方數中含有字母的根式叫做無理式。它是代數式的一種。含有無理式的方程叫根式方程。任何無理方程都可以通過分母有理化轉化成有理方程來求解，也可以通過換元法、根式代換法或者三角代換法來求解。求解無理方程會產生增根的問題，所得結果必須驗根，並討論所適用的定義域。
注意，如果一個數的n（n是正整數）次方根不是有理數，那麼這個數的n次方根也是無理式。
1函數編輯
極限：數列的極限（特殊）——函數的極限（一般）
極限的本質是通過已知某一個量（自變量）的變化趨勢，去研究和探索另外一個量（因變量）的變化趨勢
由極限可以推得的一些性質：局部有界性、局部保號性……應當注意到，由極限所得到的性質通常都是隻在局部範圍內成立
極限的本質是通過已知某一個量（自變量）的變化趨勢，去研究和探索另外一個量（因變量）的變化趨勢
由極限可以推得的一些性質：局部有界性、局部保號性……應當注意到，由極限所得到的性質通常都是隻在局部範圍內成立
在提出極限概念的時候並未涉及到函數在該點的具體情況，所以函數在某點的極限與函數在該點的取值並無必然聯係
連續：函數在某點的極限 等於 函數在該點的取值
連續的本質：自變量無限接近，因變量無限接近
連續：函數在某點的極限 等於 函數在該點的取值
連續的本質：自變量無限接近，因變量無限接近
2導數的概念編輯
本質是函數增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近於零時的極限，更簡單的說法是變化率
微分的概念：函數增量的線性主要部分，這個說法有兩層意思，一、微分是一個線性近似，二、這個線性近似帶來的誤差是足夠小的，實際上任何函數的增量我們都可以線性關係去近似它，但是當誤差不夠小時，近似的程度就不夠好，這時就不能說該函數可微分了
3不定積分編輯
不定積分：導數的逆運算
什麼樣的函數有不定積分
什麼樣的函數有不定積分
定積分：由具體例子引出，本質是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規則的整體劃作規則的許多個小的部分，然後再綜合，最後求極限，當極限存在時，近似成為精確
什麼樣的函數有定積分
什麼樣的函數有定積分
求不定積分（定積分）的若幹典型方法：換元、分部，分部積分中考慮放到積分號後麵的部分，不同類型的函數有不同的優先級別，按反對冪三指的順序來記憶
定積分的幾何應用和物理應用
高等數學裏最重要的數學思想方法：微元法
微分和導數的應用：判斷函數的單調性和凹凸性
微分中值定理，可從幾何意義去加深理解
泰勒定理：本質是用多項式來逼近連續函數。要學好這部分內容，需要考慮兩個問題：一、這些多項式的係數如何求？二、即使求出了這些多項式的係數，如何去評估這個多項式逼近連續函數的精確程度，即還需要求出誤差（餘項），當餘項隨著項數的增多趨向於零時，這種近似的精確度就是足夠好的
多元函數的微積分：將上冊的一元函數微積分的概念拓展到多元函數
最典型的是二元函數
極限：二元函數與一元函數要注意的區別，二元函數中兩點無限接近的方式有無限多種（一元函數隻能沿直線接近），所以二元函數存在的要求更高，即自變量無論以任何方式接近於一定點，函數值都要有確定的變化趨勢
連續：二元函數和一元函數一樣，同樣是考慮在某點的極限和在某點的函數值是否相等
導數：上冊中已經說過，導數反映的是函數在某點處的變化率（變化情況），在二元函數中，一點處函數的變化情況與從該點出發所選擇的方向有關，有可能沿不同方向會有不同的變化率，這樣引出方向導數的概念
沿坐標軸方向的導數若存在，稱之為偏導數
通過研究發現，方向導數與偏導數存在一定關係，可用偏導數和所選定的方向來表示，即二元函數的兩個偏導數已經足夠表示清楚該函數在一點沿任意方向的變化情況
高階偏導數若連續，則求導次序可交換
微分：微分是函數增量的線性主要部分，這一本質對一元函數或多元函數來說都一樣。隻不過若是二元函數，所選取的線性近似部分應該是兩個方向自變量增量的線性組合，然後再考慮誤差是否是自變量增量的高階無窮小，若是，則微分存在
僅僅有偏導數存在，不能推出用線性關係近似表示函數增量後帶來的誤差足夠小，即偏導數存在不一定有微分存在
若偏導數存在，且連續，則微分一定存在
極限、連續、偏導數和可微的關係在多元函數情形裏比一元函數更為複雜
極值：若函數在一點取極值，且在該點導數（偏導數）存在，則此導數（偏導數）必為零
所以，函數在某點的極值情況，即函數在該點附近的函數增量的符號，由二階微分的符號判斷。對一元函數來說，二階微分的符號就是二階導數的符號，對二元函數來說，二階微分的符號可由相應的二次型的正定或負定性判斷。
級數斂散性的判別思路：首先看通項是否趨於零，若不趨於零則發散。若通項趨於零，看是否正項級數。若是正項級數，首先看能否利用比較判別法，注意等比級數和調和級數是常用來作比較的級數，若通項是連乘形式，考慮用比值判別法，若通項是乘方形式，考慮用根值判別法。若不是正項級數，取絕對值，考慮其是否絕對收斂，絕對收斂則必收斂。若絕對值不收斂，考察一般項，看是否交錯級數，用萊布尼茲準則判斷。若不是交錯級數，隻能通過最根本的方法判斷，即看其前n項和是否有極限，具體問題具體分析。
比較判別法是充分必要條件，比值和根值法隻是充分條件，不是必要條件。
函數項級數情況複雜，一般隻研究冪級數。阿貝爾定理揭示了冪級數的重要性質：收斂區域存在一個收斂半徑。所以對冪級數，關鍵在於求出收斂半徑，而這可利用根值判別法解決。
逐項求導和逐項積分不改變冪級數除端點外的區域的斂散性，端點情況複雜，需具體分析。
一個函數能展開成冪級數的條件是：存在任意階導數。展開後的冪級數能收斂於原來函數的條件是：餘項（誤差）要隨著項數的增加趨於零。這與泰勒展開中的結論一致。
微分方程：不同種類的方程有不同的常見解法，但理解上並無難處。
定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲麵積分都可以概率為一種類型的積分，從物理意義上來理解是某個空間區域（直線段、平麵區域、立體區域、曲線段、曲麵區域）的質量，其中被積元可看作區域的微小單元，被積函數則是該微小單元的密度
這些積分最終都是轉化成定積分來計算
第二類曲線積分的物理意義是變力做功（或速度環量），第二類曲麵積分的物理意義是流量
在研究上述七類積分的過程中，發現其實被積函數都是空間位置點的函數，於是把這種以空間位置作為自變量的函數稱為場函數
場函數有標量場和向量場，一個向量場相當於三個標量場
場函數在一點的變化情況由方向導數給出，而方向導數最大的方向，稱為梯度方向。梯度是一個向量，任何方向的方向導數，都是梯度在這個方向上的投影，所以梯度的模是方向導數的最大值
梯度方向是函數變化最快的方向，等位麵方向是函數無變化的方向，這兩者垂直
梯度實際上一個場函數不均勻性的量度
梯度運算把一個標量場變成向量場
一條空間曲線在某點的切向量，便是該點處的曲線微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲線積分與第二類曲線積分的聯係
一張空間曲麵在某點的法向量，便是該點處的曲麵微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲麵積分和第二類曲麵積分的聯係
物體在一點處的相對體積變化率由該點處的速度場決定，其值為速度場的散度
散度運算把向量場變成標量場
散度為零的場稱為無源場
高斯定理的物理意義：對散度在空間區域進行體積分，結果應該是這個空間區域的體積變化率，同時這種體積變化也可看成是在邊界上的流量造成的，故兩者應該相等。即高斯定理把一個速度場在邊界上的積分與速度場的散度在該邊界所圍的閉區域上的體積分聯係起來
無源場的體積變化為零，這是容易理解的，相當於既無損失又無補充
物體在一點處的旋轉情況由該點處的速度場決定，其值為速度場的旋度
旋度運算把向量場變成向量場
旋度為零的場稱為無旋場
斯托克斯定理的物理意義：對旋度在空間曲麵進行第二類曲麵積分，結果應該表示的是這個曲麵的旋轉快慢程度，同時這種旋轉也可看成是邊界上的速度環量造成的，故兩者應該相等。即斯托克斯定理把一個速度場在邊界上形成的環量與該邊界所圍的曲麵的第二類曲麵積分聯係起來。該解釋是從速度環量的角度出發得到的，比高斯定理要難，不強求掌握。
無旋場的速度環量為零，這相當於一個區域沒有旋轉效應，這是容易理解的
格林定理是斯托克斯定理的平麵情形
進一步考察無旋場的性質
旋度為零，相當於對旋度作的第二類曲麵積分為零——即等號後邊的第二類曲線積分為零，相當於該力場圍繞一閉合空間曲線作做的功為零——即從該閉合曲線上任選一點出發，積分與路徑無關——相當於所得到的曲線積分結果隻於終點的選擇有關，與路徑無關，可看成終點的函數，這是一個場函數（空間位置的函數），稱為勢函數——所得的勢函數的梯度正好就是原來的力場——因為力場函數是連續的，所以勢函數有全微分
簡單的概括起來就是：無旋場——積分與路徑無關——梯度場——有勢場——全微分
要注意以上這些說法之間的等價性
三定理（Gauss Stokes Green）的向量形式和分量形式都要熟悉
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