Friday, April 3, 2015

gr 如果对度规求变分，得到的就是爱因斯坦的引力场方程, 跟度规相契合的那个联络, GR 里面有个 Palatini 形式，是对联络做变分的，大部分情况下跟 GR 的度规变分形式等价

"度規求导数"


愛因斯坦-希爾伯特作用量- 維基百科，自由的百科全書

zh.wikipedia.org/zh-hk/爱因斯坦-希尔伯特作用量

在廣義相對論中，作用量一般都被認為是度規（以及物質場）的一個泛函，而其聯絡是 ... 在第二行中我們使用了上面得到的里奇張量的變分結果以及協變導數對度規的 ...

  • [PDF]第五章引力场方程

    astronomy.nju.edu.cn/~tyhuang/jiaoxue/chapter5.pdf

    轉為繁體網頁
    偏导数的线性组合，可以猜测度规gµν 相当于牛顿力学中的引力势. 广义相对论的 ..... 边对度规求变分时，非齐次项不复存在，说明克氏符号的变分是张量. 这样，只需将 ...

  • [PDF]度规的意义

    www.paper.edu.cn/download/downPaper/200609-27 - 轉為繁體網頁
    由 王小舟 著作 - ‎被引用 3 次 - ‎相關文章
    关键词：度规；度规积分；度规导数；变度规实数轴；度规度量 ... 我们承认实数轴的存在，并认为实数轴是对直线度量的结果。 ... 公式（2）是已知向量求度规的问题，.

  • sr01 gr01 诱导度规是轨迹的函数非线性的问题，它对轨迹有 ...

    phymath999.blogspot.com/.../sr01-gr01-killing-motion.ht...

    轉為繁體網頁
    2014年12月12日 - sr01 gr01 诱导度规是轨迹的函数非线性的问题，它对轨迹有没有动力学反馈; 整个度规求导是Killing motion, 与轨迹切向正交的子空间上的诱导度 ...

  • 求问，有关微分几何_相对论吧_百度贴吧

    tieba.baidu.com/p/2453906058 - 轉為繁體網頁
    至于联络是为了在微分流形上对矢量场求导而出现的，它先验地跟度规并没有关系。 ... 而我们往往只对跟度规相契合的那个联络感兴趣（因为我们希望导数为0有几何 ...

  • 度规的意义_百度文库

    wenku.baidu.com/view/528ffc1da300a6c30c229fec.html

    轉為繁體網頁
    2011年3月24日 - 关键词：度规；度规积分；度规导数；变度规实数轴；度规度量中图分类 ... 公式（1）是已知度规求向量的问题，我们称作常度规实数轴的积分问题。

  • 科学网—大理石和木头- 王雄的博文 - 科学网—博客

    blog.sciencenet.cn/blog-439941-716575.html

    轉為繁體網頁
    2013年8月13日 - 作用量原理告诉我们这个作用量对度规 g^{.mu.nu}., ... 由于这个方程要求对所有变分 .delta g^{.mu.nu} ... 根据对行列式进行求导的雅可比公式.

  • [DOC]度规的意义 - 教育数学会

    www.emath.cn/ytdg.doc

    轉為繁體網頁
    公式（1）是已知度规求向量的问题，我们称作常度规实数轴的积分问题。 .... 时，由公式（3）和公式（3′）可知＝，度规导数与导数等价，以后可以把度规导数称作导数。

  • 【揭秘】从爱因斯坦场方程说起/ databit / 第6页-[天涯] - 贴库网

    www.tieku001.com › 天涯 › 煮酒论史

    轉為繁體網頁
    对坐标求导能求出质量量纲来？我确实是没常识，不但没常识，恐怕连理解这个观点的智商都没有，所以我请教下对度规的二次求导怎么变出质量量纲的，望不吝赐教。

  • 对谁做变分[误] - 豆瓣

    www.douban.com/group/topic/29311922/

    轉為繁體網頁
    2012年5月1日 - ... 矢量场，t 是个张量场，metric 是度规, 省略号表示这些量的高阶导数项。 ... 如果对度规求变分，得到的就是爱因斯坦的引力场方程，或者其他的引力 ...

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    对谁做变分[误]


    编程的章鱼喵

    来自: 编程的章鱼喵(=L=~=M=) 2012-05-01 13:08:30

    2人 喜欢
    • 荊陽青龍公

      荊陽青龍公 (公丘子) 2012-05-02 01:23:25

      这个……这跟你要求的方程有关。

      如果对度规求变分，得到的就是爱因斯坦的引力场方程，或者其他的引力场方程。

      如果对某个非度规场求变分，得到的是场的动力学方程，也就是欧拉-拉格朗日方程。

      对于那个Palatini 形式，我只在Sean Carroll 一道习题上见过，只是用它来证明，联络是对称的。其他的，就不知道了。
    • 荊陽青龍公

      荊陽青龍公 (公丘子) 2012-05-02 10:35:36

      你可以看看那本书191页。说，如果只对度规求变分，得到的就是爱因斯坦场方程。对联络求变分，就可以得到一个对称的联络。
    • 编程的章鱼喵

      编程的章鱼喵 (=L=~=M=) 2012-05-02 12:41:02

      你可以看看那本书191页。说，如果只对度规求变分，得到的就是爱因斯坦场方程。对联络求变分，就 你可以看看那本书191页。说，如果只对度规求变分，得到的就是爱因斯坦场方程。对联络求变分，就可以得到一个对称的联络。 ... 荊陽青龍公
      Palatini形式我知道的，有部分修改引力理论就是在这个基础上做的。这个方法有时候比度规方法简单，所以常用来证明。

      上面你说的那个应该对的，对谁做变分就是谁的动力学方程。
      我有一个问题，如果一个场A不是基本场，而是由其他的基本场组成的，我们是不是应该对基本场左做变分，得到基本场的动力学方程？如果对A做变分，得到一个A的动力学方程，这两个在物理上等价么？基本场的动力学方程给出的综合效果是A的动力学么？
    • 荊陽青龍公

      荊陽青龍公 (公丘子) 2012-05-03 04:21:49

      呃，很難想象。等我考完試再來查查相關資料。
    • 荊陽青龍公

      荊陽青龍公 (公丘子) 2012-05-03 08:05:08

      Palatini形式我知道的，有部分修改引力理论就是在这个基础上做的。这个方法有时候比度规方法简单 Palatini形式我知道的，有部分修改引力理论就是在这个基础上做的。这个方法有时候比度规方法简单，所以常用来证明。 上面你说的那个应该对的，对谁做变分就是谁的动力学方程。 我有一个问题，如果一个场A不是基本场，而是由其他的基本场组成的，我们是不是应该对基本场左做变分，得到基本场的动力学方程？如果对A做变分，得到一个A的动力学方程，这两个在物理上等价么？基本场的动力学方程给出的综合效果是A的动力学么？ ... 编程的章鱼喵
      從Palatini 形式就可以看出一個例子。

      里奇標量依賴于度槼，聯絡也依賴于度槼。但是，僅對聯絡做變分，得到的就不是引力場方程。

      至少從這個例子可以得出，對基本場和A求變分得到的結果可能差別巨大，幾乎沒有物理關係。
    • 编程的章鱼喵

      编程的章鱼喵 (=L=~=M=) 2012-05-03 10:01:16


      那么，我们用变分原理是在冒险？如何确定这个场即是一个基本场？场论里面还容易理解，但是广相里面就有点麻烦了。为什么对度规做变分？
    • 荊陽青龍公

      荊陽青龍公 (公丘子) 2012-05-03 11:23:37

      那么，我们用变分原理是在冒险？如何确定这个场即是一个基本场？场论里面还容易理解，但是广相 那么，我们用变分原理是在冒险？如何确定这个场即是一个基本场？场论里面还容易理解，但是广相里面就有点麻烦了。为什么对度规做变分？ ... 编程的章鱼喵
      可能是因爲度槼是決定時空性質的唯一物理量，所以，應該對度槼求變分。再者，愛因斯坦方程就是關於度槼的二階方程。

      我遇到過這種情況。給出電磁場張量和對應的拉氏量，用變分法求出麥克斯韋方程組。如果對協變的四矢求變分，非常好算且能得到麥克斯韋方程。但是，若是對逆變四矢求變分，非常複雜；我沒認真算，但是，我估計得不到麥克斯韋方程。

      考完試我再算算。
    • 编程的章鱼喵

      编程的章鱼喵 (=L=~=M=) 2012-05-03 15:25:14

      那么假设度规不是基本场，不能表达所有的引力的性质，我们就可以得到对广相的修正，选择合适的度规函数，可以跟观测对比，取得合理的形式。对不对？
    • 荊陽青龍公

      荊陽青龍公 (公丘子) 2012-05-03 23:15:04

      那么假设度规不是基本场，不能表达所有的引力的性质，我们就可以得到对广相的修正，选择合适的度 那么假设度规不是基本场，不能表达所有的引力的性质，我们就可以得到对广相的修正，选择合适的度规函数，可以跟观测对比，取得合理的形式。对不对？ ... 编程的章鱼喵
      道理應該是這樣的
    • 编程的章鱼喵

      编程的章鱼喵 (=L=~=M=) 2012-05-04 01:14:35

      好～
      这是别人的idea，我来看一下你们的想法～
    • 荊陽青龍公

      荊陽青龍公 (公丘子) 2012-05-11 23:27:47

      好～ 这是别人的idea，我来看一下你们的想法～ 好～ 这是别人的idea，我来看一下你们的想法～ 编程的章鱼喵
      我前面說錯了。

      “我遇到過這種情況。給出電磁場張量和對應的拉氏量，用變分法求出麥克斯韋方程組。如果對協變的四矢求變分，非常好算且能得到麥克斯韋方程。但是，若是對逆變四矢求變分，非常複雜；我沒認真算，但是，我估計得不到麥克斯韋方程。 ”

      正確的是：麥克斯韋方程組是一樣的，能動量張量可能不一樣。繼續驗証中。。。
    • 编程的章鱼喵

      编程的章鱼喵 (=L=~=M=) 2012-05-16 00:30:06

      我原来理解的变分原理有问题。重新读了相关文献之后，这个问题变得没意义了。


      不过有个新的问题：

      http://books.google.com.hk/books?id=QagG_KI7Ll8C

      此书65页，Hawking和Ellis把哈氏原理表述成整个单参族u上，都要回归到原来的场。
      我的问题是，这样引入单参族还有个什么意义是，这就完全变成微分了啊。

      其他的书里面关于哈氏原理的描述两头固定好。但是对于高于一阶的张量场，可能会出现只有场量变分的导数这样的情况，也就是这样的边界项不能消掉。于是大家就手摆了一个边界项到作用量里面。


      那么这两种方法虽然都达到了目的，但是我不能理解Hawking和Ellis的这种处理，那还能叫变分原理么～
    • 荊陽青龍公

      荊陽青龍公 (公丘子) 2012-05-17 05:42:57

      我原来理解的变分原理有问题。重新读了相关文献之后，这个问题变得没意义了。 不过有个新的 我原来理解的变分原理有问题。重新读了相关文献之后，这个问题变得没意义了。 不过有个新的问题： http://books.google.com.hk/books?id=QagG_KI7Ll8C 此书65页，Hawking和Ellis把哈氏原理表述成整个单参族u上，都要回归到原来的场。 我的问题是，这样引入单参族还有个什么意义是，这就完全变成微分了啊。 其他的书里面关于哈氏原理的描述两头固定好。但是对于高于一阶的张量场，可能会出现只有场量变分的导数这样的情况，也就是这样的边界项不能消掉。于是大家就手摆了一个边界项到作用量里面。 那么这两种方法虽然都达到了目的，但是我不能理解Hawking和Ellis的这种处理，那还能叫变分原理么～ ... 编程的章鱼喵
      关于Hawking 那本书的处理。感觉单参族只是用来描述度规如何变的，所以，还是变分吧。这样描述的话，就能看出来度规相对于u的变化快慢（当然，没太大意义）。这里还是确定了边界条件的，就是65页开头部分的（i）（ii）。

      关于“可能会出现只有场量变分的导数这样的情况”，在我算电磁场的能动量张量时也出现了。如果按你说的，手动加入一个边界项消掉该项，那么，还剩一项是四矢的一阶导数项。那一項可以这么处理，就是你参看下杰克逊电动力学608页B部分的内容。
    • 编程的章鱼喵

      编程的章鱼喵 (=L=~=M=) 2012-05-17 10:42:38

      但是Hawking那个描述的话单参族没什么意义了，单参族上处处回归到原值，根本就不能代表整个场位形。


      哦，原来那一项是手动消掉的。我记一下。
    • 荊陽青龍公

      荊陽青龍公 (公丘子) 2012-05-17 11:46:23

      但是Hawking那个描述的话单参族没什么意义了，单参族上处处回归到原值，根本就不能代表整个场位 但是Hawking那个描述的话单参族没什么意义了，单参族上处处回归到原值，根本就不能代表整个场位形。 哦，原来那一项是手动消掉的。我记一下。 ... 编程的章鱼喵
      什麽叫“单参族上处处回归到原值”？

      你原來沒暗指“手動消除”？

      那我提供那個小木蟲裏那個蟲子給的一個解釋，爲啥要先把電磁場張量寫成協變四矢的形式：

      1. 第一个基本4-矢量是dx^\mu, 第二个基本4-矢量是\nabla_\mu, 这是定义。
      2. 最基本的4-标量是d\tau (固有时)和粒子的静止质量m。当然，4-标量都是度规无关的。
      3. 坐标变换下，与dx^\mu变换法则相同的是逆变4-矢量。显然4-速度U^\mu=dx^\mu/d\tau, 4-动量p^\mu=mU^\mu都是不依赖于度规的逆变矢量，都是基本的。
      4. 设\phi是一个4-标量，则\nabla_\mu \phi = \partial_\mu \phi与度规无关，因此也是基本的4-矢量，虽然它是协变4-矢量。

      此人叫raccon01，從此4條得出的結論是：A_\mu 不依賴度槼，是基本的；A^\mu是度槼依賴的。因此，要用協變四矢定義電磁場張量。
    • 编程的章鱼喵

      编程的章鱼喵 (=L=~=M=) 2012-05-17 12:19:34

      就是数学上的总可以定义切矢，但是法矢却需要度规来做？



      小木虫这么好？怎么没看到有相关的版面？我还以为小木虫全是做第一性的呢。
    • 荊陽青龍公

      荊陽青龍公 (公丘子) 2012-05-17 20:53:26

      就是数学上的总可以定义切矢，但是法矢却需要度规来做？ 小木虫这么好？怎么没看到有相关 就是数学上的总可以定义切矢，但是法矢却需要度规来做？ 小木虫这么好？怎么没看到有相关的版面？我还以为小木虫全是做第一性的呢。 ... 编程的章鱼喵
      ta給的解釋有些道理，可是，我還是有些懷疑。因爲這麽做，確實有點不太好。

      選擇協變四矢也可以這麽理解，就是

      [;F_{[\mu\nu;\rho]}=0;]

      所以，存在一個1-形式，使得[;F_{\mu\nu}=2\nabla_{[\mu}A_{\nu]};].從這一點看來，確實要用協變四矢。




      小木蟲裏有物理版塊，我都是在那裏發貼問題。
    • 荊陽青龍公

      荊陽青龍公 (公丘子) 2012-05-17 22:35:06

      ta給的解釋有些道理，可是，我還是有些懷疑。因爲這麽做，確實有點不太好。 選擇協變四矢也可 ta給的解釋有些道理，可是，我還是有些懷疑。因爲這麽做，確實有點不太好。 選擇協變四矢也可以這麽理解，就是 [;F_{[\mu\nu;\rho]}=0;] 所以，存在一個1-形式，使得[;F_{\mu\nu}=2\nabla_{[\mu}A_{\nu]};].從這一點看來，確實要用協變四矢。 小木蟲裏有物理版塊，我都是在那裏發貼問題。 ... 荊陽青龍公
      那個蟲子給的解釋的確具有啟發性，但是，我還是在一個mitbbs。com上網友rrua的提示，還有利用Jackson P608 的處理方法，得出多出來的那一項的確積分為零！我給你發郵箱裏。
    • cmp

      cmp (const void*, const void*) 2012-05-30 19:20:09

      我最近又看了一下变分，还是觉得这里的讨论好高端啊。

      作为和ls一样，这学期在学GR的人，我觉得自己远不如ls。惭愧惭愧。
    • 编程的章鱼喵

      编程的章鱼喵 (=L=~=M=) 2012-05-30 22:30:29

      呃，我都忘记这儿了。

      在引力理论里面，把作用量看做度规的协变还是逆变形式的泛函，对于正统的 GR 来说没有区别。
      但是在一些修改引力的理论里面会有些问题。比如我们有时候会用到 disformal 变换。

      我正好有个 note 是算的 f(R) 修改引力的作用量。不过跟 GR 差不多。


      http://www.douban.com/photos/photo/1569838403/
      http://www.douban.com/photos/photo/1569838696/
      http://www.douban.com/photos/photo/1569839431/

    • 荊陽青龍公

      荊陽青龍公 (公丘子) 2012-05-31 11:20:24

      呃，我都忘记这儿了。 在引力理论里面，把作用量看做度规的协变还是逆变形式的泛函，对于正统 呃，我都忘记这儿了。 在引力理论里面，把作用量看做度规的协变还是逆变形式的泛函，对于正统的 GR 来说没有区别。 但是在一些修改引力的理论里面会有些问题。比如我们有时候会用到 disformal 变换。 我正好有个 note 是算的 f(R) 修改引力的作用量。不过跟 GR 差不多。 http://www.douban.com/photos/photo/1569838403/ http://www.douban.com/photos/photo/1569838696/ http://www.douban.com/photos/photo/1569839431/ ... 编程的章鱼喵
      Very Good！

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