有时候物理理论和数学理论研究类似的对象, 但是由于各自独立的发展, 所使用的术语有很大的差别; 有时候物理学家先发展了一些理论, 数学家从中找到一些有趣的结构加以进一步研究; 有时候物理学家发现他们的理论可以用来解释一些神秘的数学现象和令人困惑的数学理论......以下这个 "词典" 就试图部分总结一下以上提到的这几种 "物理/数学 对偶", 抛砖引玉, 欢迎补充.
经典力学 <----> 辛几何
位形空间 / 微分流形
相空间 / 余切丛
Hamilton 正则方程 / 辛梯度场
运动方程的解 / Hamilton 流动
正则变换 / 辛同胚, Lagrange 子流形
Hamilton-Jacobi 方法 / 等值面极化
狭义相对论 <----> 群表示论
标量 / SO(3,1) 的平凡表示空间中的元素
矢量 / SO(3,1) 的定义表示空间中的元素
张量 / SO(3,1) 的定义表示空间及其对偶的张量积中的元素
旋量 / SL(2,C) 的二维不可约表示空间及其对偶的张量积中的元素
量子论 <----> 泛函分析
右矢 / Hilbert 空间的元素
左矢 / 对偶空间的元素
算符 / 算子
共轭算符 / 伴随算子
算符作用于左矢 / 对偶算子
Hermite 算符 / 自伴算子
本征值 / 谱点
离散本征值 / 点谱
连续本征值 / 连续谱
算子微积 / Gelfand 表示
delta 函数 / delta 泛函
位移算符 / 空间平移群的酉表示的无穷小生成元
时间演化 / 酉算子群
Schrodinger 方程 / Stone 定理
表象 / Hilbert 空间的形式及正交基的选取
表象变换 / Hilbert 空间同构
Schrodinger 表象 / Stone-von Neumann 定理
路径积分 / Wiener 测度
规范场论 <----> 纤维丛的几何
场 / 丛的截面
整体对称性(规范群) / 纤维空间的自同构群
规范对称性 / 丛的自同构群
规范势 / 主丛上的联络
规范力 / 联络的曲率
规范荷 / 规范群的表示
带荷的物质场 / 规范群表示从主丛诱导的向量丛的截面
协变导数 / 主丛上的联络诱导的向量丛上的联络
规范 / 局部平凡化
规范不变的 / 丛上整体定义的, 或者在丛的自同构下不变的
Maxwell 方程组 / Hodge 理论
弦论 <----> 拓扑学? 几何学? 新拓扑学? 新数学?
非线性 sigma 模型 / Morse理论, Floer理论, Gromov-Witten 理论
拓扑弦 / 低维流形不变量 ( Khovanov-Rozansky, Jones-Witten, ...), Langlands 猜想(?)
B-场 / 扭曲 K-理论
共形场论 / 魔群, 月光模
拓扑共形场论 / 弦拓扑(?)
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