[PDF]漫谈几何量子化
2014年2月12日 - 自从量子力学诞生，数学家就一直在思索量子化的数学本质。我个. 人来揣度Weyl 当初对量子化的理解，可以说是用代数来细化几何。在广义.
2014年2月12日 - 在查找量子化有关资料的时候，笔者查找到了一系列名为《漫谈几何量子化》的文章，
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演绎推理的特征和步骤：
演绎推理是从一般的规律出发，着重运用数学演算或逻辑证明，得出特殊的具体例子所应遵循的规律。从认识论的角度看来，它是从一般到特殊，从普遍性判断导出个别性判断的推理，其结论不能超出前提所规定的范围。
演绎推理的技术路线如下所示：假设——观测推断——结论
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公理——逻辑演绎——定理
几何学公理化是演绎推理的典型实例：
欧几里得创始平面几何时，主要采用演绎推理。而几何学的公理化则在十九世纪末由著名数学家希尔伯特完成的，其标志是他于1900年出版的《几何学基础》。其基本思路是：首先给出若干基本概念，如几何学的基本元素是“点、线、面”；然后确定一些基本关系，如结合、顺序、合同等；接着给出几个基本公理：结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理；以此作为理论基础，可对特殊的几何位形演绎出一系列特殊的结论。倘若上述演绎中有的假设性公理不成立，有可能创建新的数学领域。例如，若平行公理不成立，就使得非欧几何学得以产生。
演绎推理的例子比比皆是，这里不再列举。
| 逻辑推理 （图） | ||||
| 2014-09-12 阅读次数： 89次 | ||||
 所谓演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程。演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用。 演绎推理的定义 所谓演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程。 演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用。这是因为演绎推理保证推理有效的根据并不在于它的内容，而在于它的形式。演绎推理的最典型、最重要的应用，通常存在于逻辑和数学证明中。 演绎推理的发展 亚里士多德(Aristotle 384—322 BC) 是古代知识的集大成者。在现代欧洲的学术上的文艺复兴以前，虽然也有一些人在促进我们对自然界的特殊部分的认识方面取得可观的成绩，但是，在他死后的数百年间从来没有一个人像他那样对知识有过那样系统的考察和全面的把握，所以，他在科学史上占有很高的地位.是主张进行有组织的研究演绎推理的第一人。 作为自然科学史上第一个思想体系的光辉的例子是欧几里德（Euclid，325 BC—265 BC）几何学。古希腊的数学家欧几里德是以他的《几何原本》而著称于世的。欧几里德的巨大历史功勋不仅在于建立了一种几何学，而且在于首创了一种科研方法。这方法所授益于后人的，甚至超过了几何学本身。欧几里德是第一个将亚里士多德用三段论形式表述的演绎法用于构建实际知识体系的人，欧几里德的几何学正是一门严密的演绎体系，它从为数不多的公理出发推导出众多的定理，再用这些定理去解决实际问题。比起欧几里德几何学中的几何知识而言，它所蕴含的方法论意义更重大。事实上，欧几里德本人对它的几何学的实际应用并不关心，他关心的是他的几何体系内在逻辑的严密性。欧几里德的几何学是人类知识史上的一座丰碑，它为人类知识的整理、系统阐述提供了一种模式。从此以后，将人类的知识整理为从基本概念、公理或定律出发的严密的演绎体系成为人类的梦想。斯宾诺莎(Benedict de Spinoza,1632-1677)的伦理学就是按这种模式阐述的，牛顿(Isaac Newton 1642—1727)的《自然哲学的数学原理》同样如此。其实，他的这部巨著的主要内容都是前人经验的积累，欧氏的贡献在于他从公理和公设出发，用演绎法把几何学的知识贯穿起来，揭示了一个知识系统的整体结构。他破天荒地开辟另一条大路，即建立了一个演绎法的思想体系。直到今天，他所创建的这种演绎系统和公理化方法，仍然是科学工作者不可须臾离开的东西。后来的科学巨人、英国物理学家、经典电磁理论的奠基人麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831～1879）、牛顿(Isaac Newton 1642--1727)、爱因斯坦(Albert Einstein 1879--1955)等，在创建自己的科学体系时，无不是对这种方法的成功运用。 西方欧几里德几何方法，由公理到定理再到证明；笛卡尔(Réné Descartes 1596 - 1650 )的演绎推理成为西方近代科学发展的重要推理形式，牛顿力学就是例子。牛顿虽然声明过“我不需要假设”，但实际上，他仍然需要假设。不用假设，他就无法得到“万有引力”这样的普遍命题和普遍规律。麦克斯韦则在得到maxwekk方程同时应用了三种方法，他在1865年写了三篇文章：第一篇用归纳法，第二篇用类比法，第三篇用演绎法，推出电磁波存在，并预言了光是电磁波。再例如，古希腊的原子概念、原子论，“它的价值不仅在于提出了一切物质由‘原子’构成的想法，更重要的可能还在于：它隐含了一种假设——演绎推理模式”。 爱因斯坦说：理论家的工作可分成两步，首先是发现公理，其次是从公理推出结论。哪一步更难些呢？如果科研人员在学生时代已经得到很好的基本理论、逻辑推理和数学的训练，那么，他走第二步时，只要有“相当勤奋和聪明，就一定能够成功”。至于第一步，如何找出演绎出发点的公理，则具有完全不同的性质。这里没有一般的方法，“科学家必须在庞杂的经验事实中间抓住某些可用精密公式来表示的普遍特性，由此探求自然界的普遍原理”，请注意“经验事实”这几个字，它们表明了爱因斯坦方法论中的主流是唯物主义。公理必须来自客观实际，而不能主观臆造，否则就有陷进唯心主义泥潭的危险。爱因斯坦还说：“适用于科学幼年时代以归纳为主的方法，正让位于探索性的演绎法”。爱因斯坦的方法既然主要是演绎的，所以他特别强调思维的作用，尤其是想象力的作用，数学才能，这是演绎法所必不可少的。 演绎推理是严格的逻辑推理，一般表现为大前提、小前提、结论的三段论模式：即从两个反映客观世界对象的联系和关系的判断中得出新的判断的推理形式。如：“自然界一切物质都是可分的，基本粒子是自然界的物质，因此，基本粒子是可分的。”演绎推理的基本要求是：一是大、小前提的判断必须是真实的；二是推理过程必须符合正确的逻辑形式和规则。演绎推理的正确与否首先取决于大前提的正确与否，如果大前提错了，结论自然不会正确。
相对论与单向光各向同性的判决性实验的设计
周 郑
摘要：光速不变原理是相对论的条件之一，但至今实验只验证了往返光及回路光的光速不变。因此不能说相对论已得到了严格的实验验证。相对论所推导的许多结论也可用其他假说解释。本文就此提出了一种可行的检验单向光各向同性成立与否的判决性实验。无论其结果如何，作为对相对论这一基础理论的又一次严格的实践检验，无疑都有着十分重大的意义。
一、问题的提出
2005年是相对论（狭义相对论）创立一百周年的华诞。相对论在一个世纪里经历了风风雨雨，并取得了卓越的成就。而它的创始人爱因斯坦也因此成为近代最伟大的科学家。相对论建立于各惯性系平权及光速不变两个看似十分简单的基本假设上，并由此推演出一个严密的时空体系。从相对论问世至今，许多人试图找出相对论的内禀矛盾，事实证明都是徒劳的。道理很简单，因为这是一种逻辑推理，只要它的两个基本假设无误，则整个体系就是一种等价的推理与演绎。整个的推理过程爱因斯坦进行得十分严密，无隙可击。特别是借助了闵可夫斯基四维时空模型及为保证场方程协变性而采用的四维洛伦兹正交群后，体系显得尤为严谨而完美。这正像由几个基本公理和公设可推演出一个完整的欧几里得几何体系一样。
然而，相对论是否已经彻底完善了呢？事实却并非如此。我们知道，相对论是建立在光速相对于任何参照系均不变这一前提之上的，而我们后面将提到，光速不变原理至今为止仍只能算作一种假设，并未真正得到严格的实验验证，许多人可能并不了解这一点。在科学史上类同的情况很多。如欧几里得几何学建立于包括第五公设（即平行线公理）在内的一些基石上，而由于不很直观的第五公设既不能用其他公理来证明，又不能通过实验来验证。所以此后又有罗巴契夫斯基及黎曼等人创立了非欧几何学。
对此，许多人一定会提出质疑，认为光速不变早已得到了许多证明。如通过天文观察或地面实验对光速的测定；双星系光线速度的比较及高速粒子辐射光线速度的测定证明了光速与光源速度无关；而迈克尔逊——莫雷实验则证明了光速与观察者所在的参照系无关等。
然而，我们只要仔细分析一下就可得知，在地面所作的光速与观察者的运动无关的实验，事实上都是所谓平均往返光速或者更一般一些的所谓平均回路光速的不变（简称往返光速或回路光速，前者光线来回走的是同一光路，后者为光线的路径为一闭合曲线）。测量中光线出发点与终点是同一点，或其他等价情况，并由同一时钟来记录时间间隔。在这种条件下测出的平均光速确实是不变的。但平均光速的不变并不能保证单向光的光速不变。那么，为什么不直接测量单向光呢？一般认为，对单向光光速的测量需两个已校准的异地时钟。而要校准这两个时钟又需要用到光讯号并知道准确的光速值，两者互为前提条件，因此无法实施[1]。对此一定又有人会产生疑问，难道往和返的光，速度还会有不同吗？当然，按相对论，光速有着各向同性。但是不要忘记，光速不变又是相对论的条件之一，这样将形成逻辑循环。也有人会认为，作为相对论的许多推论已得到了实验的验证。由此还不能倒推出光速不变吗？事实上，许多推论，如运动参照系长度的收缩，时间流逝的减缓，物体质量的增加，甚至公式E=mc2等不仅可以用相对论解释，也可以用其他的理论来加以解释。下面我们对此作一些较为详细的讨论。
二、回路光和单向光的光速问题讨论
在迈克尔逊——莫雷的判决性实验出现零结果后，就有许多科学家试图对其进行解释。其中较为著名的是斐兹杰惹——洛伦兹的收缩假说。这一假说认为相对于以太运动的物体或参照系在运动方向上要发生收缩，收缩因子为
 。由于有这样的收缩，迈克尔逊——莫雷实验必定出现零结果。原因是此收缩可以保证任何参照系中的光的平均往返光速不变或更一般的回路光速不变。对此，我们对往返光情况进行数学上定量的分析验证。
我们假设惯性参照系相对于以太（有关以太的问题后面将再作讨论）的速度为V，方向水平向右，这样“以太风”的方向水平向左。假设有一根长度为L0的长杆水平放置，方向与V垂直。杆的一端为光源，另一端为一面反光镜。我们计算一下光源发出的光沿杆往返所用的时间。我们假设光相对于以太的速度为C，由于存在以太风，正像渡船要开到河的正对岸，船头必须向上游方向偏一个角度航行一样。这样光相对于以太走的是一条斜线，速度为C。而在沿杆的方向的分速度
 ，由于往返情况相同（后面将讨论的情况，往返将是不相同的），总共用时为 。
下面我们将以上装置在水平面上转过一个角度 ，如图一。这时由于斐兹杰惹——洛伦兹的收缩效应，杆的长度将发生变化。我们先考虑光线出发到镜面这一半路程的情况。杆此时的长度为L，杆平行于V方向的分量为
 为相对于以太静止时此分量的长度， 。 光在平行于V方向及垂直于V方向的分量分别为 。由此我们有： 这里由于我们是以斐——洛收缩假说为基础，故不可使用大家所熟悉的爱因斯坦的速度相加公式。
我们将两式相除并令
 则可得：
 
将以上解代入，则我们有：
  
由此可见，只要存在斐——洛收缩效应，则在任何参照系中，沿任何方向的往返光的平均光速是不变的。此结论还可进一步推广到更一般的情况——平均回路光速不变。但是，斐——洛收缩效应绝不能保证单向光的各向同性。从上面的推导中我们也可以明显看出往与返的用时t1与t2是不同的。斐——洛收缩假说产生于相对论问世之前。这一收缩发生于相对于以太运动的物体，这与相对论在本质上是不同的。此外，还有拉摩——洛伦兹提出的相对于以太运动的惯性参照系上时间流逝减缓的假说等。本文后面将这些假说简称为斐——洛——拉假说。目前，由相对论推出的各种经实验验证的结论，基本上都可以由斐——洛——拉假说来加以解释。也就是说，至今为止与相对论有关的各类实验尚无法判别相对论与斐——洛——拉假说的真伪。因此，虽然在主流科学界人们普遍认为斐——洛——拉假说早已被摒弃，相对论早已被接受，但主要还是靠理论的分析与思辩，哲学的思考等来决定两者的取舍的。这些并不能代替实验的判决，比如单向光的光速到底是否在任何参照系里都具备各向同性的实验。如能进行这类判决性实验，就可以直接对相对论进行证实或证伪。
三、单向光各向性的判决性实验方案
由以上的分析，我们可以清楚地知道，到目前为止，实验所能验证的只是平均回路光速不变。而这又可以用斐——洛——拉假说来解释。因此，相对论事实上还没有得到严格的实验验证。以下我们所提出的实验方案，就是进行一次比迈克尔逊——莫雷实验更进一步的判决性实验，验证一下单向光的光速不变是否也是对任何参照系都是成立的。
超短波发射源及接收装置。如B处的接收装置可以接收到A发出的微波及B处自身发出的微波。这两列波可以在示波器上同时显示。两列波的波形在显示器上存在一定的相位差。同样在A处的接收装置也收到B发出的波及A处自身发出的波，并在A处显示器上显示，也存在一定的相位差，如图二所示。对于示波器的设计，由于A、B处于同一个参照系中，不会发生多普勒效应，因此频率是不会变化的。我们只需采用固定不变的锯齿波来控制水平扫描，而让A或B的波讯号来控制垂直扫描即可得到稳定的波形。当然，A、B需分时扫描，其中远处的讯号应先经放大后输入。图二中的A波是与接收装置同处的微波源发出的，主要作用是作为基准，与B波进行比较，以防止因接收装置本身原因可能造成的漂移。按爱因斯坦的相对论，只要微波发射装置能稳定地发出微波，则两观察站的波形也是固定的，不会发生周期性的改变。但是依照斐——洛——拉假说，相对于以太运动的惯性系，其上发出的光（或更一般的电磁波）的光速在不同方向上是不同的。这就像大海中一前一后同向航行的两只船，它们各自发出声纳讯号。但A（在前）发出的讯号相对于B的速度比起B发出的讯号相对于A要快。即使我们假想存在类同斐——洛收缩，两艘船间距会因船速而缩短，也无法改变这种速度的差异。
按这一理论，地球相对于以太运动，如A站在前，则A到B的讯号速度就要大于B到A的速度。这样A站与B站上显示的相位差就会不同。不过仅由此还无法得出有效结论，因为两地的钟目前尚无法达到理想的同步。但我们却可以利用周日或周年中地球上某点相对于以太运动的变化，以观察由此造成的相位差的变化以确定地球是否相对于以太在运动。
比如，我们考虑周日差的影响。设地球相对于以太的速度为U，这里我们如同著名的光行差实验那样[2]，权且以地球的公转速度作为U。实验室所在纬度的自转线速度为V。则当地球自转的线速度与地球公转线速度一致时，实验室相对于以太的速度为U+V。这里我们可略去可能出现的斐——洛——拉假说中的长度收缩及时间减缓等效应，因为这些效应中都有
 ，属二级小量的效应。而当两者反向时，相对于以太的速度为 。设A、B间距为L，则在同向时微波传播用时为 则为在逆向时的用时。故最大周日差为：
这样示波器上对应远处的波形就要按周日差周期性地发生平移。我们对此作一个估算。设A、B两地距离L=20km，地球公转速度U=29.77km/s。我们在北纬25度的云南进行这一实验。地球赤道自转线速度V0=0.465km/s，则V= V0cos25o=0.421km/s，c=3×105km/s。以这些数据代入，则可得出δt=1.32×10-8s。我们可用超短波f=5×107Hz，即T=2×10-8s。设示波器上两个邻近波峰距离λ=10mm。则在周日差中A、B波峰间将发生Δλ=1.32×10-8/(2×10-8) ×10mm=6.6mm的最大相对位移，这是完全可以观察到的，而且A、B两地观察站观察到的平移方向相反。当然，这仅是假设的情况，真实情况只有让实验结果来回答了。
如考虑周年差，将涉及到太阳系绕银河系中心即银核的公转线速度等。效应肯定要比周日差明显的多。以现代的电子学检测手段，只要选用频率足够高的电磁波及频响足够高的示波器，要定性甚至定量的检测出可能出现的非零结果是完全没有问题的，因此这是一个可行性的实验设计。如果出现非零结果，无疑会产生重大反响。即使仍是零结果，作为对爱因斯坦相对论的基石——单向光光速不变性的验证，同样有重大的意义。
四、进行判决性实验的必要性
1、对于“以太”的理解
在本文中多次提到以太，对此一定有人会说：以太不是早已被摒弃了吗？再来老调重弹有何意义呢？对此我们有以下看法：
第一，如前所述，由于单向光光速不变未被实验证明。因此，以太理论被否定不能认为已通过了严格的实验验证。到目前为止以太理论的被否定仍还只能认为是一种假设或者说是一些诸如实证主义等的哲学观点。至今，国外许多科学家还在找寻以太[3]。
第二，以太原先被认为是一种由某种特殊物质构成的传播光的媒介。后又将其与绝对空间及真空相联系。真空在当时被认为空无一物。而按相对论的哲学观点，空间是与物质相关联的，因此以太就被当作“怪物”抛弃掉了。然而，近年来各种高能物理的理论和实验都已得到共识——真空不空。它存在着量子起伏，真空涨落等。甚至于我们的宇宙都被认为诞生于真空。从这一观点看，既然真空也与物质相联系，而物质都有惯性等共性，这样，存在一个与构成真空的这些物质相对应的惯性系即以太所在的惯性系也就可以是顺理成章的事。
第三，上世纪中叶，杨振宁、李政道为解释中微子只有左旋，建议中微子应由静质量为0的二分量旋量场方程即伐耶方程
 （其中哈密顿算符 为泡利矩阵）来描述[7]，假设中微子的静质量为0。但上世纪末众多的实验都支持中微子具有微小的静质量，特别是 的静质量更大。（对应于三类轻子 ）有静质量则预示了存在右旋中微子，但我们从未发现过。这也从一个方面表现了各惯性系并非完全平权。
第四，爱因斯坦本人在中后期对以太的观点也有所变动。他在《以太与相对论》中说道：“依照广义相对论，一个没有以太的空间是不可思议的；因为在这样一种空间里，不但光不能传播，而且量杆和时钟也不可能存在，因此也就没有物理意义上的空间——时间间隔。”[4]当然，这里说到的以太与当初的以太是有区别的。爱因斯坦认为以太由物质以及它同邻近各点的以太状态之间的关系所决定，由微分方程来描述，两无限近时空点的间距为
 为度规，是对称张量，有十个独立分量。他只是反对“把运动状态强加给以太”。
在科学的发展史上被否定的假说，后来又以新的形式重生的例子并非没有。如光的粒子说就曾被否定过，后来又在光量子这一种形式下得以重生。我们并非信奉以太的观点，但我们认为以太存在与否还需要通过进一步的实验检验。
2、实验的意义：
下面我再强调一下进行单向光光速各向同性与否的判决实验的意义和必要性。
第一、在单向光光速不变被实验证明之前，不能认为爱因斯坦的狭义相对认已经得到了严格的实验证明。因为目前由相对论推出的各种结论虽有不少已得到了实验验证，但用斐——洛——拉假说同样可以对其进行解释。一个前提条件未得到证实的理论，就如同建立于沙滩上的大厦。
第二、从理论上，或者从哲学分析上也尚难以决断出爱因斯坦相对论与斐——洛——拉假说的孰是孰非。相比之下，虽然相对论对高速现象的描述较为简明，但其对其所推出的诸如长度收缩、时间减缓等效应产生的物理原因的解释却是避而不谈的。虽然有时也对一些相对性与日常的相对性作一些不很恰当的对比，但总给人以牵强附会的感觉。也可能相对论本身对这些效应就难以解释。而斐——洛——拉假说虽然在使用上显得烦琐，但它却可以对以上的许多效应作物理解释。比如尺的收缩、时间的减缓就可解释为是高速运动物体与以太的相互作用的结果。
第三、相对论中出现了许多佯谬，如双生子佯谬等。虽然爱因斯坦利用了广义相对论所引出的“引力势”可以加以解决
 为引力势, 为加速度，x为距离），但飞船返回时所作的变速运动产生的引力场却可以对完全不受此引力场作用的地球所在的空间处产生如此大的引力势，并使之时间流逝惊人地加快并迅速地超出飞船上时间的流逝（以飞船为参照系计算时间差，计算式为 ，这里B下标代表飞船，故速度为0），很难让人接受。前苏联著名物理学家B．A．福克院士曾对此作过评论[5]：首先，加速引力场的引力势不满足 的边界条件，而是与距离 一同线性地趋于无穷大；其次，在某一平面 变为零，这是不允许的，因为这对应了地球上时间的流逝趋于无穷大（如地球处于此平面）。而斐——洛——拉假说显然就不存在这种佯谬。
第四、如实验出现零结果，就可以说单向光光速存在各向同性。相对论也就可以说得到了更为严格的实验验证。虽然还有“以太被带动”等假说也可以对其解释。但因这些假说不认同诸如时间减缓、质量增大等实验事实，已被人们所抛弃。
第五、如果出现非零的结果，当然会像当年迈克尔逊——莫雷实验出现零结果一样引起很大的震动，这说明相对论的框架是错误的。不过我们认为并不能因此否定爱因斯坦所作出的历史功绩。因为相对论对时空的描述可以认为是对真实情况的一种简化与近似，在一定的条件下甚至是一种等效的描述，如参照系或光讯号或两者共同构成闭合曲线等情况。当然，等效并不是等同。它们之间还是存在着本质上的差异。
第六、在微电子技术高度发达的今天，要进行这一实验可以说是轻而易举的事，许多现成民用及退役军用的仪器都可以直接派上用处。因此所需资金相对是很少的。
鉴于以上原因，我们衷心地恳请国家有关权威科技部门能支持我们进行这项无论是零结果或非零结果都很有价值的判决性实验。国外每年都在进行着包括与相对论有关的基础科学的验证实验。我国作为一个愿意为科学事业作出较大贡献的大国，也应该有为基础科学作出一些投入的气度。
参考书目：
[1]《狭义相对论实验基础》 张元仲 科学出版社 [2]《Introduction to the Theoty of Relativity》by Peter Gabriel Bergmann, Prentice-Hall,INC. [3] “为什么科学家又要找以太” 王家骥 《科学画报》2005．8 [4] “以太和相对论” 《爱因斯坦文集》第一卷 商务印书馆 [5] 《空间、时间和引力的理论》 B·A·福克 科学出版社 [6]《相对论》 W·泡利 上海科学技术出版社 [7] 《基本粒子理论》P·罗曼 上海科学技术出版社 地址：上海三门路485弄8号301室 邮编200439 电话：021-65916589 Email：zhzhmin2001@yahoo.com.cn |
注意，这里的
与前面的值不相同。同样我们将两式相除并令
则：
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