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zimp.zju.edu.cn/~cpsp/kecheng/相变与临界现象.doc
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② M0 M. ∵ 自由能为极大值. F为极小值，. 根据与大热源接触、不做功体系的相平衡条件. 所以， 的任何一个是 ... 的集合是“半群”。 不动点. ∴ ... 用重整化群的观点看，
附近，无关参量对应的相互作用当
总会消失。
zimp.zju.edu.cn/~cpsp/kecheng/相变与临界现象.doc
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② M0 M. ∵ 自由能为极大值. F为极小值，. 根据与大热源接触、不做功体系的相平衡条件. 所以， 的任何一个是 ... 的集合是“半群”。 不动点. ∴ ... 用重整化群的观点看，
宏观状态’或説‘序参数’会随着人们对自然界的认识不断改变。例如，‘序参数’可以是静态结构，统计涨落，也可以是动力学行为
标度行为典型地表现为幂次行为。
无论在格点空间或连续空间，作标度变换后，会出现更复杂的相互作用，但在附近，无关参量对应的相互作用当总会消失。
附近，无关参量对应的相互作用当总会消失。[转载]重整化群一瞥
(2013-09-29 17:31:18)
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| 作者：digudigu 提交日期：2006-9-9 16:42:00 |
重整化理论告诉我们，在构造理论时作用量中出现的参数或参量并不就是实际测量到
的物理值，这是一个非常重要的观念。重整化理论是为消除量子场论的微扰计算中存在发
散而发展起来的，但是现在看来，重整化是将理论计算用于同实验测量相联系的必要环节
，而并非仅仅是因为理论计算中存在发散才引入的。举个固体物理的例子可以说明这一点
。考虑在固体晶格中运动的一个电子。由于受到带正电的晶格的背景作用，电子的有效质
量m与它在固体之外的质量m有所不同。换句话说，由于固体背景的作用，电子的质量从m重
整化为m*。通过将电子拿出或放入固体中，我们原则上可以测量到这两个质量。显然，因
为m和m*都是可测的并且是有限的，所以它们之差也是有限的。在相对论量子场论中，情况
与此非常类似但存在两个基本的差别。首先，裸量(对应m)与物理量(对应m*)之间的差是无
穷大，这表现在圈图发散上；其次，量子场论的相互作用从一开始就存在，我们没有办法
象把电子拿到固体之外那样把它除去，这就是说，相对于m的裸量是无法测量的。量子场论
中背景作用来自真实，真空不空而且象是一个介质(相当于例子中的固体)无处不在，我们
不能设想将电子“拿”到真空之外去！于是我们完全有理由假设裸的质量和电荷为任何可
能的值(包括无穷大)，真空的背景作用(相应于微扰论中的圈图修正)刚好抵消了值为无穷
大的裸量从而得到有限的测量值。
由于重整化并不因为存在发散才变得必要，所以重整化的修正并不一定都是无穷大。事实
上，存在有限大小的重整化修正。仍以电子在固体中的运动为例。晶格的背景作用给电子
对外力的响应带来的影响是同电子的运动状态有关的，所以重整化的质量或其它量依赖于
粒子的运动状态，即依赖于粒子运动的能量标度。不同标度下重整化所得到的量(有效的量
)是有限大小的量，它们之间的差别显然也是大小有限的。从一个标度下的有效量到另一个
标度下的有效量通过重整化联系起来。所以，重整化给理论参量带来的改变可以看成是对
它们的一种变换，所有这种变换的全体构成群，称为重整化群。它反映了体系在标度变换
下的行为。
标度变换简单说就是尺度变换。在粒子物理中，很早就有这样的想法，即如果理论中粒子
的质量为零并且不存在其它的有量纲参数的话，那末标度变换下，量子场论的作用量保持
不变。标度变换下不变对于理论是一个重要的性质，其中著名的是关于凝聚态物质相变的
临界行为理论。在临界点附近，涨落的关联长度趋于无穷大，由有限晶格常数引起的所有
效应都被抹平，这里不再有特征的尺度，于是热力学函数将具有标度不变性。
但是，通常的情况下粒子的质量可能并不为零而且也不能被忽略掉，这时标度对称性实际
上是被破坏的。换句话说，简单的标度对称性所对应的沃德恒等式不再成立，这也是一种
反常。取而代之的是重整化群的对称性，这时反常对场量在标度变换下的行为的影响(表现
为反常量纲)已经被考虑在内，相应的等式就是重整化群方程。重整化群所反映的对称性其
根源在于前面关于重整化理论的讨论中存在的任意性。裸量是不可测量的，关于它的假定
带有任意性。如果微扰计算中的发散被某种重整化方案R抵消掉，那末存在另外的方案R＇
同样可以消除发散，两种方案之间相差有限大小的重整化。重整化方案的不同导致重整化
后理论中的物理参数不同，它刚好补偿因重整化方案不同给物理结果(如散射截面等)的计
算带来的改变从而保证了对物理结果的预言不受重整化方案改变的影响。
重整化方案的任意性具体表现在两个方面。除上述重整化参数与物理参数联系起来的关系
上存在的不定性(所谓归一化条件的不定性)之外，另一个是减除点的任意性，这个减除点
就是将发散积分做规制化处理时的截断点。物理的结果不应依赖于截断点的位置是重整化
群方程的实质所在。重整化群方程给出了当截断点变动时重整化的参数(如重整化耦合常数
，重整化质量)的相应变化规律以保证用它们表达的物理结果(如散射截面等)保持不变。对
于两个粒子散射的典型例子，截断点是交换虚粒子的最大动量值，相应于两个散射粒子在
散射过程中靠得最近时的距离。重整化群方程的解给出了耦合常数随这个距离的变化的函
数关系，这种关系反映了真空作为“介质”对耦合常数(即荷)的屏蔽效应。非阿贝尔规范
场的反屏蔽效应使得耦合常数随着夸克间的相互靠近而变小，这种性质叫做渐近自由。理
论是否渐近自由是由重整化群方程的紫外不动点来决定的。
一个定域的量子场论能否自洽，从重整化群角度看完全由其紫外稳定不动点所决定。但有
时即使存在这样的不动点从而足以保证自洽性，却并不意味着理论在通常的数幂律或渐近
自由的意义上是微扰可重整的。例如，在2＋ε维的Gross—Neveu模型中，当ε＞0时理论
是不可以微扰重整化的，但是只要ε足够小，理论是自洽的。另一方面，微扰可重整有时
并不足以保证理论是截断无关的。有一个截断无关的理论在数学上自然是美妙的，有时甚
至是值得庆幸的。但是，这不等于说那些依赖于能标的有效理论就应该摒弃。实际上，有
效理论也是极为有用的，至少可以预言新的物理将会出现的阈能。β衰变的四费米子理论
就是一个很好的例子。另一个重要的例子是量子色动力学在低能情况下的有效理论。如何
构造一个有效理论在很多时候并非是轻而易举的事，一旦得到合适的有效理论将会给人们
很多很好的启发。
重整化群，有效拉氏量以及渐近自由等概念的发现和引入使得人们对重整化的物理认识进
一步深化，重整化不再仅仅是消除计算发散的一种技巧，而是物理相互作用随所研究现象
的标度变化的体现。重整化群方法已经成为量子场论中的重要方法，它不仅能给出耦合常
数的渐近行为，而且结合算符乘积展开对于一些深度非弹性散射过程的计算十分方便和重
要。当然，重整化群方法还在统计物理中关于相变临界现象的研究方面发挥重要作用。重
整化群理论的研究对于构造大统一场论也是非常重要的
的物理值，这是一个非常重要的观念。重整化理论是为消除量子场论的微扰计算中存在发
散而发展起来的，但是现在看来，重整化是将理论计算用于同实验测量相联系的必要环节
，而并非仅仅是因为理论计算中存在发散才引入的。举个固体物理的例子可以说明这一点
。考虑在固体晶格中运动的一个电子。由于受到带正电的晶格的背景作用，电子的有效质
量m与它在固体之外的质量m有所不同。换句话说，由于固体背景的作用，电子的质量从m重
整化为m*。通过将电子拿出或放入固体中，我们原则上可以测量到这两个质量。显然，因
为m和m*都是可测的并且是有限的，所以它们之差也是有限的。在相对论量子场论中，情况
与此非常类似但存在两个基本的差别。首先，裸量(对应m)与物理量(对应m*)之间的差是无
穷大，这表现在圈图发散上；其次，量子场论的相互作用从一开始就存在，我们没有办法
象把电子拿到固体之外那样把它除去，这就是说，相对于m的裸量是无法测量的。量子场论
中背景作用来自真实，真空不空而且象是一个介质(相当于例子中的固体)无处不在，我们
不能设想将电子“拿”到真空之外去！于是我们完全有理由假设裸的质量和电荷为任何可
能的值(包括无穷大)，真空的背景作用(相应于微扰论中的圈图修正)刚好抵消了值为无穷
大的裸量从而得到有限的测量值。
由于重整化并不因为存在发散才变得必要，所以重整化的修正并不一定都是无穷大。事实
上，存在有限大小的重整化修正。仍以电子在固体中的运动为例。晶格的背景作用给电子
对外力的响应带来的影响是同电子的运动状态有关的，所以重整化的质量或其它量依赖于
粒子的运动状态，即依赖于粒子运动的能量标度。不同标度下重整化所得到的量(有效的量
)是有限大小的量，它们之间的差别显然也是大小有限的。从一个标度下的有效量到另一个
标度下的有效量通过重整化联系起来。所以，重整化给理论参量带来的改变可以看成是对
它们的一种变换，所有这种变换的全体构成群，称为重整化群。它反映了体系在标度变换
下的行为。
标度变换简单说就是尺度变换。在粒子物理中，很早就有这样的想法，即如果理论中粒子
的质量为零并且不存在其它的有量纲参数的话，那末标度变换下，量子场论的作用量保持
不变。标度变换下不变对于理论是一个重要的性质，其中著名的是关于凝聚态物质相变的
临界行为理论。在临界点附近，涨落的关联长度趋于无穷大，由有限晶格常数引起的所有
效应都被抹平，这里不再有特征的尺度，于是热力学函数将具有标度不变性。
但是，通常的情况下粒子的质量可能并不为零而且也不能被忽略掉，这时标度对称性实际
上是被破坏的。换句话说，简单的标度对称性所对应的沃德恒等式不再成立，这也是一种
反常。取而代之的是重整化群的对称性，这时反常对场量在标度变换下的行为的影响(表现
为反常量纲)已经被考虑在内，相应的等式就是重整化群方程。重整化群所反映的对称性其
根源在于前面关于重整化理论的讨论中存在的任意性。裸量是不可测量的，关于它的假定
带有任意性。如果微扰计算中的发散被某种重整化方案R抵消掉，那末存在另外的方案R＇
同样可以消除发散，两种方案之间相差有限大小的重整化。重整化方案的不同导致重整化
后理论中的物理参数不同，它刚好补偿因重整化方案不同给物理结果(如散射截面等)的计
算带来的改变从而保证了对物理结果的预言不受重整化方案改变的影响。
重整化方案的任意性具体表现在两个方面。除上述重整化参数与物理参数联系起来的关系
上存在的不定性(所谓归一化条件的不定性)之外，另一个是减除点的任意性，这个减除点
就是将发散积分做规制化处理时的截断点。物理的结果不应依赖于截断点的位置是重整化
群方程的实质所在。重整化群方程给出了当截断点变动时重整化的参数(如重整化耦合常数
，重整化质量)的相应变化规律以保证用它们表达的物理结果(如散射截面等)保持不变。对
于两个粒子散射的典型例子，截断点是交换虚粒子的最大动量值，相应于两个散射粒子在
散射过程中靠得最近时的距离。重整化群方程的解给出了耦合常数随这个距离的变化的函
数关系，这种关系反映了真空作为“介质”对耦合常数(即荷)的屏蔽效应。非阿贝尔规范
场的反屏蔽效应使得耦合常数随着夸克间的相互靠近而变小，这种性质叫做渐近自由。理
论是否渐近自由是由重整化群方程的紫外不动点来决定的。
一个定域的量子场论能否自洽，从重整化群角度看完全由其紫外稳定不动点所决定。但有
时即使存在这样的不动点从而足以保证自洽性，却并不意味着理论在通常的数幂律或渐近
自由的意义上是微扰可重整的。例如，在2＋ε维的Gross—Neveu模型中，当ε＞0时理论
是不可以微扰重整化的，但是只要ε足够小，理论是自洽的。另一方面，微扰可重整有时
并不足以保证理论是截断无关的。有一个截断无关的理论在数学上自然是美妙的，有时甚
至是值得庆幸的。但是，这不等于说那些依赖于能标的有效理论就应该摒弃。实际上，有
效理论也是极为有用的，至少可以预言新的物理将会出现的阈能。β衰变的四费米子理论
就是一个很好的例子。另一个重要的例子是量子色动力学在低能情况下的有效理论。如何
构造一个有效理论在很多时候并非是轻而易举的事，一旦得到合适的有效理论将会给人们
很多很好的启发。
重整化群，有效拉氏量以及渐近自由等概念的发现和引入使得人们对重整化的物理认识进
一步深化，重整化不再仅仅是消除计算发散的一种技巧，而是物理相互作用随所研究现象
的标度变化的体现。重整化群方法已经成为量子场论中的重要方法，它不仅能给出耦合常
数的渐近行为，而且结合算符乘积展开对于一些深度非弹性散射过程的计算十分方便和重
要。当然，重整化群方法还在统计物理中关于相变临界现象的研究方面发挥重要作用。重
整化群理论的研究对于构造大统一场论也是非常重要的
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