《时间简史 普及版》之李杰再普及版第二期姗姗来迟!（前一阵一个上访的折腾我十多天，所以今天才腾出空来写两笔啊）今天的题目是：
二、广义相对论
介绍这个之前先说明一下广义相对论相对于狭义相对论的区别。虽然狭义相对论成功的解释了光速和当物体以接近光速运动时会发生什么。但是它无法和牛顿的物体于物体之间的引力理论相协调，也就是说狭义相对论无法解释光、时间、空间、引力之间的关系，所以，便有了广义相对论。
以前，人们认为时空是平坦的，独立于其它任何事物就那样一直平坦的延续下去，只有向前，没有快慢、前后之分。但广义相对论认为，时空中的质量和能量的分布会使时空“弯曲”，即大质量物体周围会使时空弯曲。所以，在广义相对论中引力被看做是四维空间中时空弯曲的程度。这个可不太好形容，你们就自己理解吧，我也不知道咋解释。
1、广义相对论的预言
预言一：引力场可以弯折光。也就是说在空间里，由于受引力的影响，光不再沿着直线行进。比如远处恒星发出的光在通过太阳这个大质量物体周围时，光会偏折一个小的角度，从而让地球上的人通过光判断那颗恒星在天空中的位置（其实这个位置是有误差了，因为光的偏折）。但由于太阳本身的光亮，人们不可能观测到太阳边邻近恒星发出的光，但在日食是时便可以做到。早在1919年，观测就已经证实，光在太阳周围确实被偏折了。预言一被证实了。
预言二：在大质量物体附近，时间受引力影响，流逝会较慢一些。并且对于在一个引力场中的不同高度的观测者，时间的推移是不一样的。1962年，人们利用安装在水塔顶部和底部的一对非常精密的钟表，顶部和底部受到的引力是不同的，这个实验的结果是底部的钟表比顶部的要慢一些，只是这个差异显得很小。预言二也被证实了。如果和地球表面上的钟表相比，太阳表面上的钟表1年才比地球上的走快1分钟。但如果把这个想象推先极限，把地球上的时间和几亿甚至几亿亿光年外的星系的时间相比（地球到太阳的距离是8光分，即光速行进八分钟的距离），那可就不是1分钟的区别了，也许真的就会是古代神话中的那句话了，天上一日，地上一年。
tv:
电子运动范围(显象管尺寸)
L≈0.1m
电子运动范围(原子的大小) L~10-10m，不满足L>> Dx ,此时电子只能作微观粒子处理.
[PPT]德布罗意波
这里u 表示单色平面物质波的相速度. 实际的自由粒子并非严格的单色平面波,而是由波长接近的波包组成,波包的移动速度称为群速度.群速与相速是不同的概念.
学习了高中《物理》第二册(必修)第十九章光的本性后，学生初步认识到：物理学把物质分为两大类，一类是质子、中子、电子等，叫做实物(粒子)；另一类是电场、磁场等，统称场．光在本质上是一种电磁波(传播着的电磁场)，组成电磁场的基本成分是光子，光子具有波粒二象性．另一方面，根据德布罗意假设，任何一个实物粒子及由它们组成的物体，都对应着一种波，叫做物质波或德布罗意波，实物粒子也具有波粒二象性．学生对上述近代物理初步知识的学习兴趣很浓，但也普遍存在如下困惑：既然实物粒子和光子都具有波粒二象性，与它们联系着的物质波和光波又都是概率波，那么它们有何区别?实物粒子的运动速率v是否就是物质波的传播速度?公式v=λf是否适用于物质波?实物粒子与光子之间有何内在联系呢?虽然这些问题已经超出高中物理教学大纲的要求范围，但对教师来说在教学研究中回顾、关注并弄清这些问题，才能做到高屋建瓴、心中有数，对充分发挥教师在教学中的主导作用，针对学生存在的疑问给予简明扼要、恰到好处的点拨，还是非常必要的． 一、从粒子性方面比较
实物粒子和场是物质存在的两类不同的形态，一切微观粒子的粒子性特征表现为它们都具有能量、动量和质量． 由光子说和相对论可知，与电磁波密切联系着的光子没有静质量(m０＝０)，但具有能量E、动量p和动质量(相对论质量)m，即
E=hν=mc2， ① p=mc=E／c=h／λ， ② m=E／c2＝（ｈν）／ｃ2． ③
式中h为普朗克常量，ν和λ分别为对应的光波的频率和波长，c为真空中的光速．因光子的能量是量子化的(一份一份的)且每一份能量不能任意取值(由玻尔原子理论的跃迁假设决定)，故光子的质量、动量也是量子化的且不能任意取值
杨氏的量 只看Ta
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http://bboczeng.blogspot.com/
2013-02-25
1，角动量为0的波函数是一个中心对称的圆球，在任何方向没有极化。
[PPT]德布罗意波
psat.yangtzeu.edu.cn/dxwl/lesson/ppt/chap.../chap_16.ppt
轉為繁體網頁
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学习了高中《物理》第二册(必修)第十九章光的本性后，学生初步认识到：物理学把物质分为两大类，一类是质子、中子、电子等，叫做实物(粒子)；另一类是电场、磁场等，统称场．光在本质上是一种电磁波(传播着的电磁场)，组成电磁场的基本成分是光子，光子具有波粒二象性．另一方面，根据德布罗意假设，任何一个实物粒子及由它们组成的物体，都对应着一种波，叫做物质波或德布罗意波，实物粒子也具有波粒二象性．学生对上述近代物理初步知识的学习兴趣很浓，但也普遍存在如下困惑：既然实物粒子和光子都具有波粒二象性，与它们联系着的物质波和光波又都是概率波，那么它们有何区别?实物粒子的运动速率v是否就是物质波的传播速度?公式v=λf是否适用于物质波?实物粒子与光子之间有何内在联系呢?虽然这些问题已经超出高中物理教学大纲的要求范围，但对教师来说在教学研究中回顾、关注并弄清这些问题，才能做到高屋建瓴、心中有数，对充分发挥教师在教学中的主导作用，针对学生存在的疑问给予简明扼要、恰到好处的点拨，还是非常必要的． 一、从粒子性方面比较
实物粒子和场是物质存在的两类不同的形态，一切微观粒子的粒子性特征表现为它们都具有能量、动量和质量． 由光子说和相对论可知，与电磁波密切联系着的光子没有静质量(m０＝０)，但具有能量E、动量p和动质量(相对论质量)m，即
E=hν=mc2， ① p=mc=E／c=h／λ， ② m=E／c2＝（ｈν）／ｃ2． ③
式中h为普朗克常量，ν和λ分别为对应的光波的频率和波长，c为真空中的光速．因光子的能量是量子化的(一份一份的)且每一份能量不能任意取值(由玻尔原子理论的跃迁假设决定)，故光子的质量、动量也是量子化的且不能任意取值
杨氏的量 只看Ta
是不是想问为什么角动量的转轴是对称轴才成立？
我想是因为L=Iω中，转动惯量I需必须满足平行轴定理
这是维基百科中给的图例，其中正在转动的圆球是一个质点，当质点转动时，我们在计算转动惯量I时不需要计算转轴的位置
但是，当转动物体是一个多质点组成的系统时（比如一个圆盘或者圆柱），转动惯量
，我们就要用积分计算转动惯量，为了便于计算，在计算常用的转动惯量时，可以参照转动惯量列表
也就是说，如果定义中不规定转轴不是对称轴的话，我们就无法计算积分
[0] | 我想是因为L=Iω中，转动惯量I需必须满足平行轴定理
这是维基百科中给的图例，其中正在转动的圆球是一个质点，当质点转动时，我们在计算转动惯量I时不需要计算转轴的位置
但是，当转动物体是一个多质点组成的系统时（比如一个圆盘或者圆柱），转动惯量
，我们就要用积分计算转动惯量，为了便于计算，在计算常用的转动惯量时，可以参照转动惯量列表也就是说，如果定义中不规定转轴不是对称轴的话，我们就无法计算积分
2楼
2013-03-19 16:58 Mannose 只看Ta
是说当转动轴不是对称轴的时候，用积分就没办法算转动惯量了吗？
[0] |
引用@杨氏的量 的话：是不是想问为什么角动量的转轴是对称轴才成立？我想是因为L=Iω中，转动惯量I需必须满足平行轴定理这是维基百科中给的图例，其中正在转动的圆球是一个质点，当质点转动时，我们在计算转动惯量I时不需要计算转轴的位置但是，当转动物体是一个多质点组成的系统时（比如一个圆盘或者圆柱），转动惯量，我们就要用积分计算转动惯量，为了便于计算，在计算常用的转动惯量时，可以参照也就是说，如果定义中不规定转轴不是对称轴的话，我们就无法计算积分
是说当转动轴不是对称轴的时候，用积分就没办法算转动惯量了吗？
3楼 
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2013-03-22 11:46 蜡笔桶装鬼小戏 物理专业 只看Ta
一般情况下的L=Iω是个矢量方程，其中的I是一个二阶张量……
在转轴为对称轴的情况下可以退化为对应的标量方程，否则会有一些烦死人的交叉项……
在转轴为对称轴的情况下可以退化为对应的标量方程，否则会有一些烦死人的交叉项……
2013-02-25
主说：让原子跃迁
于是
原子见到光，便会了跃迁
原子中每个电子原本都存在于各自稳定的能级之中，因此原子自身是稳定的。假使有一束光子袭来，实验告诉我们，电子能够一份一份地吸收这些光子，且自身从低能级跃迁到高能级上去。与此同时，激光告诉我们，电子也能被这个光子诱导，从一个高能级衰变到低能级下来；此外，led灯也告诉我们，即便没有外加光子的骚扰，因为真空震荡，这些真空中的虚光子也可以诱导电子衰变，形成自发辐射。电子和光子的相互作用，不可谓不丰富，不可谓不独特，不可谓不神奇。
然而电子－光子相互作用的跃迁是要满足一定条件的。从能量上看，能量要守恒：Ei=Ef+gamma。其中Ef是终态电子在原子核中的能量，Ei是初态的能量，gamma是光子的能量。除此之外，角动量也要守恒：电子的初态绕着原子核转，有这么一个角动量a，终态上，电子以另外一种形态绕着原子核转，有这么一个角动量b。这两个角动量的差必须由光子来补充，这就是角动量守恒的限制。
不过一个以概率云存在的电子，是通过何种机制辐射和吸收光子的呢？那么电子波函数的跃迁和一个经典的辐射模型有没有什么联系？从经典的电磁理论中我们且知，一个变速运动的电子能发出光子；一个简谐震荡的偶极子也能够发射光子（偶极子辐射）。这两者之间是否存在着联系？本文希望能在有限的篇幅内理其深意，予以解答。
1. 稳态的波函数：
作为准备，我们以氢原子为例，将电子在稳态下各个能级的波函数绘出如下：
其中L代表不同的角动量，ml代表不同的角动量分量，主量子数n决定波函数的能量但不影响其角度分布。我们只主要注意L<n即可，因此这里略去。不难发现一下几点：
1，角动量为0的波函数是一个中心对称的圆球，在任何方向没有极化。
2，角动量不为0的波函数，在空间存在极化。这里选择z为我们的极化轴，那么ml就代表波函数在z轴上的角动量分量。不难看出，当ml＝1，2，3时，波函数呈以z轴为中心的扁平状，这其实可以看作是电子的相位沿着扁平状的轨道绕着z 轴旋转。ml取的正，负号无非是电子旋转的方向顺／逆时针不同罢了。当ml=0时候，电子的相位轨迹可以看作是沿着z轴在z正负半轴震荡，因此其运动在z轴上的投影为0。
3，注意，电子相位的轨迹并不是电子运动的轨迹。电子的相位速度不是0，但群速度为0，因为稳态的电子波函数是驻波。波函数的模中已经没有了相位信息，因此电子在上述能级中是依照空间中的概率密度稳定存在的。这时候的电子因为静止，自然无法辐射光子。
2. 波函数的相干：
由上可知，虽然波的相位运动能决定角动量，但波的相位不会决定电子存在的概率分布。这是不是说波的相位从物理观测的角度上说，就毫无意义了呢？
如果能够回想起光的干涉试验，我们就会明白，在干涉中，波的相位将会呈现出明确的物理意义：它能通过相消和相长干涉重新定义波的概率分布。
把电子看作波，本质上说也就等价于允许电子进行干涉。那么电子究竟是否会发生干涉么？如果是，在什么条件下发生，干涉的结果又是如何呢？
3. 电子的干涉：
如果没有外界扰动，电子将永远地在自己地能级上呆下去，他们的确并不会干涉。然而在外加电磁波存在的情况下，局面就发生了改变。
由微扰理论我们可知，系统在存在扰动情况下的本征态，将不可避免地成为无微扰时本征态的线性组合，也就是相干态。假定原子有2个能态|1>和|2>。那么微扰后，系统新的本征态将会变成［1］：
|1>'=a|1>+b|2>, ....
这里的a和b是一个和扰动大小以及形式有关的系数。和电磁波中光的干涉一样，此处的线性组合，就代表了电子波函数之间的干涉：因为如果我们算新状态|1>'的强度（概率密度），也就是他的模，那么在表达式中将不可避免地出现|1>和|2>的交叉项，他们互相之间的相位就会开始起作用。
从薛定锷时间演化方程我们知道，电子波函数含时分量的相位正比于其能量：
也就是说，交叉项本身非但不为0，而且还含有一个和两个能级能量差相等的振荡频率。实际上我们下面就会说明，这么一个振荡频率，就是干涉后，电子概率波运动的频率，这也就决定了电子偶极子振荡后，发出/吸收光子的频率。转化成我们熟悉的语言，这就是著名的：
跃迁能量守恒关系。
为方便比较，我们将各稳态波函数相位随时间演化的函数作图如下。由图明确可以看出，磁量子数ml大小及其符号和角动量z轴分量大小，方向等的对应关系：
3.1 L=0, ml=0:
3.2 L=1,ml=0:
3.3 L=1, ml=1:
3.4 L=1,ml=-1:
3.5 L=2, ml=0:
3.6 L=2, ml=1:
3.7 L=2, ml=2:
3.8 L=3, ml=0:
3.9 L=3, ml=1:
3.10 L=3, ml=2:
3.11 L=3, ml=3:
4. 干涉，偶极子允许跃迁和跃迁禁闭：
由上可知，微扰导致干涉，而最后一节我们会看到，干涉就是引起跃迁根本原因。根据已知的本征态波函数和上面的含时相位关系，我们依次计算出不同能级干涉状态下的演化波函数。为了方便观察，我们将其做成了动画的形式（下图作者版权所有），依次列举如下：
4.1 态 l=0 和 l=1, ml=0 的干涉：
不难发现，这描述的是一个概率波沿着z轴振荡的电子。其振荡频率就等于两个能级之差（除以hbar）。考虑到电子带负电，原子核带正电，原子核不动，因此这就是一个振荡的偶极子。显然，该偶极子能够释放或者吸收一个线偏振光子。这就形象描述了一个从l=0到l=1，delta l=1这么一个跃迁过程中，电子波函数的演化过程。
4.2 态 l=0 和 l=1, ml=1 的干涉：
这是一个概率波绕着着z轴旋转振荡的电子。同时它就构成了一个旋转振荡的偶极子。显然，该偶极子能够释放或者吸收一个逆时针的圆偏振光子。这就形象描述了一个delta l=1 同时 delta ml=1 这么一个跃迁过程中，电子波函数的演化过程。
4.2 态 l=0 和 l=1, ml=－1 的干涉：
这是一个概率波绕着着z轴旋转振荡的电子。同时它就构成了一个旋转振荡的偶极子。显然，该偶极子能够释放或者吸收一个顺时针的圆偏振光子。这就形象描述了一个delta l=1 同时 delta ml=－1 这么一个跃迁过程中，电子波函数的演化过程。
以上3种情态对应了经典电磁场中振荡的电偶极子，因此能释放／吸收光子。这种跃迁叫做电偶极子允许跃迁
4.3 态 l=0 和 l=2, ml=0 的干涉：
我们下面来看一看一个电子如果要从l=0跃迁到l=2 上去，将会出现什么样子的情态：
你能看到，此刻，电子云虽然也在振荡，可由于其关于z轴原点处对称，在正半轴的电子云和负半轴的电子云恰好抵消，因此无法产生一个非零的偶极子，这样的跃迁不能辐射和吸收光子。这因此也叫做电偶极子跃迁禁闭。也就是说，如果你对氢原子照射一个光子，在电偶极子理论下，它是无论如何也不会发生从l=0到l=2的跃迁的。
出于好奇，我们再看一看ml＝1和2情况下，l从0到2的“跃迁”情态：
（ml＝1）
（ml=2）
这些ml非零的跃迁虽然存在围绕z轴的角动量，但因为电子云始终关于原点对称，无法形成有效的极化（你可以看成2个头尾相反的偶极子的叠加，他们的有效偶极子就是0），因此无法进行偶极子辐射。他们因此也是电偶极子跃迁禁闭的。
4.4 态 l=0 和 l=3, ml=0 的干涉：
出于好奇，我们再看看从0到3的干涉图样：
能够证明，此时的波函数仍旧是关于z轴对称的（虽然形状不同，但积分之后，总电荷量是对称的）。因此同理，也无法进行电偶极子辐射。
4.5 其他几种从l=1到l=2态的干涉：
从上到下依次是ml=0,1,2。如果取ml=-1,-2，那么旋转方向变成顺时针。这些情态下，不难发现当ml=0和1时，是存在偶极子跃迁的，ml=2时没有偶极子跃迁。
5. 偶极子跃迁选择定理
由上分析，我们不难得到著名的偶极子跃迁选择定理(selection rule):
这也就是偶极子跃迁能发生的条件。从上面的动画，我相信大家此刻都对这么一条抽象的定理有了更为形象和深刻的理解：因为只有满足这些条件的跃迁，才会干涉出有效的振荡偶极子。其一般性可以从偶极子的空间对称性中得到证明。
6. 多极子的跃迁［3］
上面4.3，4.4，和4.5（3）所述之情态是否就完全无法辐射光子了呢？答案是否定的。这些非偶极子的电荷分布完全可能发射出四极子，八极子甚至更高数目极子的辐射，详细的说明可以参考jackson的关于偶极展开这部分内容。只不过这些多极子的强度将大大小于偶极子（每一级约为1000倍）。在存在偶极子跃迁的系统中，我们观察到的吸收主要来自于偶极子。
例如关于四极子，我们也有对应的允许／禁闭条件：
这也就是说，类似4.3的情况，将会存在四偶极子振荡；类似4.4的情况，将会存在八偶极子。类似4.5（3）的情况，因为既不满足偶极子又不满足四极子或更高极子的条件，因此不会有任何辐射，也就不会和对应的光子发生任何耦合（4.5（3）的形状也的确够扭曲的）。
7. 跃迁
在电磁场对原子体系进行扰动的过程中，电子云的相关各态之间发生了干涉。在做图的时候，我们假定了a,b系数恒定。这是不符合事实全貌的，但却是合理的，因为外加扰动的振荡频率应该远小于电子波函数本身的演化频率（或者说，电磁波的能量小于电子所在能态的能量）。因此，上文给出的演化情态在扰动过程中来看，是符合事实的。
但干涉的电磁波本身毕竟是时间的函数，严格地说，我们应该使用含时微扰。因为篇幅限制，我们不可能继续展开，但有一点可以肯定的是，此刻系数a,b也会是时间的函数。在吸收开始前，a=1,b=0，系统完全处于初态；在吸收结束后b=1,a=0，系统终结于末态。因此电子的波函数不会是永远振荡的，而是始于作用开始，结于作用完成。在这一过程中，电子将完成数十到数百次如上述的振荡，释放出一个频率满足E1-E2关系的光子波包。这个波包的长度可以从这一振荡总的持续时间来估算；这一时间总的来说满足时间－能量的测不准定理。
从上述偶极子振荡发出的功率，我们还能算出每秒钟，电子振荡所释放/吸收的光子数。由此我们能得到吸收/辐射的概率，并推算跃迁通道的life time。这些结论都和爱因斯坦的公式完全吻合［2］。
最后，我们以l=0 到 l=1且ml=0为例，考虑一个a,b含时变化下，电子云真实的振荡情况。由此我们能形象的看出一个电子是如何从初始状态，通过干涉，最终振荡跃迁到终止状态中去的：
全文完
［1］：量子力学的不含时微扰论
［2］：具体的计算细节可参考：Introduction to Modern Optics, Grant R Fowles.
［3］：注意到多极子跃迁中，角动量变化可能大于光子的自旋角动量，Lphoton=1，这一部分多余的角动量将由光子的轨道角动量提供
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