30窮人的微分幾何7 Stoke定理與微分形式
學過微積分的人都知道微積分基本定理，它說：一個函數的微分的積分，等於這個函數(加上一個常數)。寫成方程式就是F=SdF(這裡S是積分符號)。基本上這個公式好像沒講什麼，它只是說一個函數等於它自已細切的和。用圖形比較好說明，如果F是面積的話，那我們可以把它細切成dF，F就是dF加在一起，這就是所謂的積分，這裡dF顯然就是f乘上dx，而f是F在dx的改變量，也就是F的微分。真正來講，積分的值應該等於F(b)-F(a)。我們可以把F(x)想成是從某一固定點開始算到x的面積，則在線段ab上的積分，就是F(b)-F(a)。
這個想法其實可以推廣到高維空間去，我在旁邊畫了一個二維的情況。對一個定義在xy平面上的函數F，我們也可以細切成dF，從而有F(a)-F(b)=SdF的公式。只是現在的a與b被二維圖形的邊界取代。要得到這個推廣公式，只要作到二件事，一個就是找出dF的定義，另一個是找出F在邊界上的取值方法。
我們要找的dF，就是所謂的微分形式。從前面我們可以看出它應該有幾個特性：
1 它應該是某種微分，才會產生正確的面積公式。
2 它有維度，不同維度的面積要配上不同階的微分形式。
3 它的產生方式應該不要產生出dxdx這類項，同變數無法積分二次。
數學家找到了可以滿足以上特性的dF產生方法：
1 如果F是一個普通函數，則dF=dF/dx dx + dF/dy dy + …. 這裡的dF/dx是F對x的偏微分
2 如果F=Wdx，W可能是函數，也可能是一個微分形式，則dF= dW ^ dx。這裡定出一個微分形式的外積^，它有反對稱的特點 dx^dy= -dy^dx
至於在邊界的取值方法，從圖上可以看出一個大概，就是面的邊是線，線的邊是點，然後我們要把它加上一些正負號。至於如何取在線段上的值，就是所謂的Stoke定理，它說F在邊界的取值方法，就是F在邊界作積分。公式如下
其中dM指的是M的邊界。我們可以說Stoke定理是微積分基本定理在高階的推廣，也可以說微積分基本定理是Stoke在一維的特例。這個定理，很巧妙的連接了拓擈上面的邊界運算與分析上的微分運算。它告訴我們一些流形的拓擈特性，和流形上的微分形式會有所關聯，從而打開了微分形式在拓擈學上應用的大門。
一個有趣的結果，就是任何微分形式作二次d運算後會變成0，ddF=0。代入Stoke定理，我們得到任何空間作二次邊界運算後也會變成0。就是俗稱的「邊界的邊界是零」。
貌似历史上头一次，这样形象而贴切地给初学者讲清什么是【张量】，广义相对论等现代物理中极为重要的概念：
@abada张宏兵：张量在广义相对论中极重要，似很抽象。其实生活中肉眼可见：
一箭形树枝是个矢量即一阶张量，它固定在3维空间坐标系中可用3个投影分量描述。
若它又长出3个箭形树杈（各杈枝有固定长度，相互有固定夹角），就张成了一个二阶张量，在3维坐标系须有9个投影分量来描述。
若上述3个树杈分别各再分出3箭杈即为三阶张量，会有27个分量。
3维空间中的n阶张量会有3的n次方个投影分量。
相对论是4维时空，n阶张量会有4的n次方个投影分量。
重要的是：【从不同观察坐标系看，同一张量的各投影分量会不同，但此消彼长，会反映出有固定的关系】。
一个整体，在不同观察系观察到的各侧面强度大小不同，这个整体在数学上叫矢量，或矢量的高阶推广--张量。
@abada张宏兵：张量在广义相对论中极重要，似很抽象。其实生活中肉眼可见：
一箭形树枝是个矢量即一阶张量，它固定在3维空间坐标系中可用3个投影分量描述。
若它又长出3个箭形树杈（各杈枝有固定长度，相互有固定夹角），就张成了一个二阶张量，在3维坐标系须有9个投影分量来描述。
若上述3个树杈分别各再分出3箭杈即为三阶张量，会有27个分量。
3维空间中的n阶张量会有3的n次方个投影分量。
相对论是4维时空，n阶张量会有4的n次方个投影分量。
重要的是：【从不同观察坐标系看，同一张量的各投影分量会不同，但此消彼长，会反映出有固定的关系】。
一个整体，在不同观察系观察到的各侧面强度大小不同，这个整体在数学上叫矢量，或矢量的高阶推广--张量。
椭圆的数据信息图：
如图：
中心为原点的标准方程x^2/a^2
椭圆还可看成圆的一坐标轴按比例k伸缩形成x^2+(ky)^2=r^2.
若以左焦点为原点：
直角坐标系方程（x-p)^2/a^2
极坐标系方程ρ=el/(1-ecosθ).
关于微分形式与外微分
（作者：@abada张宏兵
dxμ，dxυ等等是微单位矢量，μ等是维度，定义dxμdxυdxρ...是有序矢量组故是张量，并定义为反对称张量，各分量做基底分别乘以一个实函数系数，再求和（包括合并反对称项），就构成微分形式。每项有几个dx连乘就叫几阶形式。
对张量求微分或对微分形式求外微分，会使其阶增加1。对同一微分形式连求两次外微分，结果为0，这主要是反对称基底设置造成的。
*号作用于p阶形式的基底，使p阶形式变为(n-p)阶形式（n是维数），并改变一些分量的正负（即交换dx的顺序）。
主要物理用途：使规范场的微分表述更简洁。如Aμ是规范势函数，是1阶微分形式A=Aμdxμ的系数。A是规范势场，几何上是联络，A的的外微分是F，为2阶形式，物理上对应场强，几何上对应曲率，对F再外微分结果为0：dF=0。又，d*F=J恰为流密度。
（作者：@abada张宏兵
dxμ，dxυ等等是微单位矢量，μ等是维度，定义dxμdxυdxρ...是有序矢量组故是张量，并定义为反对称张量，各分量做基底分别乘以一个实函数系数，再求和（包括合并反对称项），就构成微分形式。每项有几个dx连乘就叫几阶形式。
对张量求微分或对微分形式求外微分，会使其阶增加1。对同一微分形式连求两次外微分，结果为0，这主要是反对称基底设置造成的。
*号作用于p阶形式的基底，使p阶形式变为(n-p)阶形式（n是维数），并改变一些分量的正负（即交换dx的顺序）。
主要物理用途：使规范场的微分表述更简洁。如Aμ是规范势函数，是1阶微分形式A=Aμdxμ的系数。A是规范势场，几何上是联络，A的的外微分是F，为2阶形式，物理上对应场强，几何上对应曲率，对F再外微分结果为0：dF=0。又，d*F=J恰为流密度。
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