爱因斯坦预测，布朗粒子随机行走（random walk ）均方位移（me-an squared displacement）随时间线性增长，乘以一个与阿佛加得罗常数有关的因子：
莱维飞行的轨线是典型的分形，虽然不是处处不可微。但跳跃的步长可以变化。经过一番处理，均方位移的发散性可以回避掉。特别地，一个随机变量X具有无穷方差，并不能否定X以概率1取有限值。 例如柯西密度1／［π（1＋x[2]）］变量几乎总是有限的，但它具有无穷方差和无穷期望
分形之父芒德勃罗（4）
发布时间： 2013/5/24 10:12:18 被阅览数： 131 次 来源： 哲学网 |
| 5．布朗运动·莱维飞行·阵发湍流 1905年爱因斯坦用分子运动论阐述清楚布朗运动。实际上庞加莱的一个学生巴歇列（L.Bachelier,1870—1946），早在1900年就已经发展了一种布朗运动理论，只因为他的论文是关于股票市场涨落问题的，未引起物理学家的注意。巴歇利导出了随机过程的扩散方程，指出概率可以像热一样扩散。由于巴歇利的论文不为数理学界所知，它对后来布朗运动的物理学没有产生直接影响。 爱因斯坦预测，布朗粒子随机行走（random walk ）均方位移（me-an squared displacement）随时间线性增长，乘以一个与阿佛加得罗常数有关的因子： 附图用现在的符号表示则有＜x[2]（t ）＞＝2Dt。1908年这一结果立即被佩兰用来测定阿佛加德罗常数， 进而为“原子”的存在性提供了重要证据。佩兰1926年荣获诺贝尔物理学奖。从那时起，布朗运动成为重要的研究对象。 但是问题并没有彻底解决，或者说研究才刚刚开始。从数学上看，布朗运动涉及许多艰深的内容。对于离散布朗轨迹，可以在固定步长的格子上研究简单的随机行走，但对于连续情形却遇到了严重的困难；布朗粒子运动路径处处不可微，粒子的速度无法定义。这时已有了勒贝格的测度理论，而又恰好出现了一个伟大的人物——维纳，维纳抓住这个时机（大约于1921年），利用测度理论，发展了一整套漂亮的随机过程理论，后来称之为维纳过程或者布朗运动。芒德勃罗早就把布朗运动视为分形的一个典型，并将布朗运动轨迹视为二维分形。 1968年芒氏与尼斯（J.W.van Ness）合作发表了一篇重要论文《分数布朗运动、分数噪声及应用》，1969年与瓦利斯（J.R.Wallis）合作发表论文《带有分数高斯噪声的计算机实验》，1971年发表论文《一种快速的分数高斯噪声发生器》等。实际上芒氏所使用的若干新工具、新方法，早在这之前他就十分熟悉了，已经在通讯工程和经济学领域部分尝试过。 芒氏1968年的文章通过引入“记忆”推广了布朗运动，对于关系σ[2]（t）＝t[2H]，H的取值范围一般限制在（1，1／2）之间，当H＝1／2时，正好对应于布朗运动。这一推广意味着随机行走的均方位移随t[2H]而增加。当H较小时扩散较慢，当H较大时扩散较快。在湍流中H可以取非常大的值。 如果随机行走发生在分形体上（如逾渗格子），则运动行为不同于一般的布朗运动，运动由于空间背景的不同可以时快时慢，表现出不均匀跳跃。H的取值可以分成两类。当H小于1／2，均方根位移慢于线性增长，当H大于1／2时，均方根位移快于线性增长。其中后者非常有趣，涉及著名的“莱维飞行”。 布朗运动的基本思想是随机行走，所使用的基本数学是高斯正态分布，随机行走者t时间后的位置分布是高斯型的，方差正比于时间。 对于一维的N步随机行走，每一步的步长x是一随机变量， 其概率分布为p（x），具有0均值。法国数学家莱维提出这样的问题：什么时候N 步的总和的分布仍然具有与单步相似的（乘以一个标度因子）分布？这等于问，整体与部分何时有相似性，因而很自然与分形有关。对此问题通常的想当然的回答是高斯过程，因为N步高斯分布加起来仍然是高斯分布。但是莱维一般地证明了，此问题还有其他解。 广义的莱维稳定过程（S[D][,1]＋S[D][,2]＝S[D]，S[,1]X[,1]＋S[,2]X[,2]＝SX＋常数），仅对三种极特殊的情况，可以解析地求出稳定概率分布。除了在高斯情形中，随机行走（飞行）没有特征尺度。正是这一性质决定此类随机行走是标度不变的分形。这种随机行走好的性质在于自相似；坏的性质在于具有无穷矩（infinite moments），于是均方位移发散。 矩发散长期以来被认为是一个致命缺点，物理学家不愿意看到发散性。只是由于芒德勃罗的大力鼓吹，莱维的思想才一点一点被物理学界所理解，90年代中期“莱维飞行”成了时髦的研究课题。在早些时候，在鼓吹、传播莱维不变分布方面，芒德勃罗当然是唯一的代表人物，这一点应特别提及。 莱维飞行的轨线是典型的分形，虽然不是处处不可微。但跳跃的步长可以变化。经过一番处理，均方位移的发散性可以回避掉。特别地，一个随机变量X具有无穷方差，并不能否定X以概率1取有限值。 例如柯西密度1／［π（1＋x[2]）］变量几乎总是有限的，但它具有无穷方差和无穷期望。莱维飞行的宏观轨迹是一系列折线或者孤立的康托尔尘埃点集。一般情况下不考虑粒子在两个端点之间飞行的中间过程，如果考虑两次跳跃之间具有某种速度，这种过程又叫作莱维行走（Lévy walk）。人们可以问在不同的飞行片段中，在时间t粒子的飞行速度是多少，这一定是某个与时间有关的有限值。但是平均飞跃状况是发散的。 从1977年的《分形》一书可以看出，芒德勃罗已经自如地将“莱维飞行”运用于各种场合，包括布朗运动、分形集团和星际物质分布，并且给出占7页篇幅的图形说明。遗憾的是，科学界直到90 年代才认识到这部分工作的重要性。 1963年秋季他在哈佛大学听了斯图尔特（R.Stewart ）的一次讲座，了解到流体力学研究中讨论阵发（间歇）（intermittency）现象，同时知道了苏联学派关于湍流研究的一些最新结果，如柯尔莫哥洛夫1941年与1961—1962年两个阶段的创造性工作。芒德勃罗立即有一种冲动，试图转向湍流研究。他觉得这些观念对于自己并不算新鲜事，大约10年前自己在研究通讯噪声时，就碰到过类似的现象。他认为湍流中的许多问题与分形有关（当时还没有“分形”这个概念）。他迫不急待地想把自己在其他领域做的工作“翻译”成流体力学的语言。 1967年他才发表关于湍流的文章《偶发湍流》（Sporadic turbulence），1968年发表《论阵发自由湍流》（On intermittent free turbulence），1972年发表《有关阵发湍流能量耗散的对数正则假设的可能细化》，1974年发表《自相似级联阵发湍流、高阶矩的发散性与载体的维数》，1975年发表《论各向同性湍流》，1976年发表《阵发湍流与分维》，1977年发表《分形与湍流：吸引子与弥散》等。 芒德勃罗对湍流的研究不是从基本方程入手进行严格数学分析，而是从宏观上、从几何角度观察，先获得几何直觉，构造核心概念，再一层一层作定性分析。这一思路是“将自相似技术应用于湍流的几何学”。芒氏明显地受柯尔莫哥洛夫1941年文章风格的影响，作出“湍流运动的奇异性本质上是分形”的重要猜想。他说：“纳维叶－斯托克斯方程的解如果存在，就是事实上的极限分形。 ”法国尼斯天文台的弗里茨（Uriel Frisch）教授1995年在专著《湍流：柯尔莫哥洛夫的遗产》中高度评价了芒德勃罗关于阵发湍流的思想，实际上弗氏是较早就认识到芒氏思想重要性的少数人之一。 |
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