course.shufe.edu.cn/jpkc/jcjx/sxfx/math.../_13ch_4.doc
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上连续可微函数全体. 将
看作一组基, 其线性组合
看作一组基, 其线性组合
称为一次微分形式,简称1-形式
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杂谈 |
经典相空间一般都是辛空间，从历史角度来说就是可以写下 Hamilton
运动方程的空间。数学上把量子化总结为从一个辛空间出发构造 Hilbert 空间及其上一系列满足 Heisenberg
交换关系的算子的问题。谐振子的例子里，这个辛空间本质上只是一个向量空间，物理学家往往称这种空间为“拓扑平凡的”。数学上非常感兴趣的是，给一个“拓扑非平凡”的辛空间，量子化到底是什么意思。
一类拓扑非平凡的空间都落在一个比较好的范畴中，它们在数学上就叫“流形”。一个 n 维“流形”是一个拓扑空间，它的每个局部在拓扑上都等价于![\mathbb R^n]( "\mathbb R^n")
的开集，就是说，局部上每个点对应到 ![\mathbb R^n]( "\mathbb R^n")
的一个点，有一组坐标，这就是局部坐标系。两个局部重叠的地方，就有两个局部坐标系，它们相差一个坐标变换。由以上定义，这些坐标变换自然是拓扑等价（即双方连续的一一对应）。如果其中某些坐标变换还是无穷次可微的，而且它们涉及到的局部可以合起来覆盖整个流形，那么这个流形就是“光滑”的。把所有互为光滑变换的局部坐标系都收集起来，它们叫做这个光滑流形的“容许坐标系”。
在光滑流形上，可以谈论“光滑”函数。一个函数如果在一个容许坐标系下是光滑的，那么在另一个重叠的容许坐标系下也光滑，因为坐标变换是光滑的。通常这么叙述这种好处：光滑性不依赖于局部坐标选取。在流形上，与局部坐标选取无关的“概念”，“性质”，和与局部坐标变换相容的“ 量”，才是有几何意义的。这一点，微分几何的创始人 Gauss, Riemann 应该都心里有数。Einstein 在他的物理学里也强调了这一点。
在流形上没有线性结构，不能把两个点加在一起，也不能连接两个点成为一个“向量”。不过在每一点的局部，就好像在欧氏空间一样，可以在这一点对函数“求方向导数”，这种运算是局部函数空间上的线性算子。以它们为模型的整体对象叫做在该点的“切向量”。在局部上还有一个有趣的东西就是函数在一点的“微分”，
![df_a=\sum_i \left.\frac{\partial f}{\partial x^i}\right|_a\,dx^i]( "df_a=\sum_i \left.\frac{\partial f}{\partial x^i}\right|_a\,dx^i")
以它为模型的整体对象叫做一个“余切向量”（或者仍然叫做微分）。然后顾名思义，一个“光滑切向量场”就是在每一点有一个切向量，以光滑方式依赖于基点。对偶的概念是“微分 1－形式”，即，光滑余切向量场。在局部坐标系下，切向量场和微分 1-形式通常写成
![X=X^i(x)\frac{\partial}{\partial x^i},\qquad \xi = \xi_i(x) \,dx^i]( "X=X^i(x)\frac{\partial}{\partial x^i},\qquad \xi = \xi_i(x) \,dx^i")
这里用了 Einstein 求和约定。系数都是局部坐标系里的光滑函数（但不是整体的光滑函数，将随坐标变换而变）。
在每一点上，由方向导数和微分组成的多重线性对象，以整体方式定义以后，叫“张量”。张量场跟前面类似。搞数学的喜欢用整体记号，就像上面那个式子一样，把分量和基写在一起，变换局部坐标的时候，基底和分量同时变，而它们的组合不变，从而左边的字母代表一个不依赖于局部坐标系的量；搞物理的喜欢只写出分量而省略基底，这样的记号明显依赖于局部坐标系。
一类拓扑非平凡的空间都落在一个比较好的范畴中，它们在数学上就叫“流形”。一个 n 维“流形”是一个拓扑空间，它的每个局部在拓扑上都等价于
在光滑流形上，可以谈论“光滑”函数。一个函数如果在一个容许坐标系下是光滑的，那么在另一个重叠的容许坐标系下也光滑，因为坐标变换是光滑的。通常这么叙述这种好处：光滑性不依赖于局部坐标选取。在流形上，与局部坐标选取无关的“概念”，“性质”，和与局部坐标变换相容的“ 量”，才是有几何意义的。这一点，微分几何的创始人 Gauss, Riemann 应该都心里有数。Einstein 在他的物理学里也强调了这一点。
在流形上没有线性结构，不能把两个点加在一起，也不能连接两个点成为一个“向量”。不过在每一点的局部，就好像在欧氏空间一样，可以在这一点对函数“求方向导数”，这种运算是局部函数空间上的线性算子。以它们为模型的整体对象叫做在该点的“切向量”。在局部上还有一个有趣的东西就是函数在一点的“微分”，
以它为模型的整体对象叫做一个“余切向量”（或者仍然叫做微分）。然后顾名思义，一个“光滑切向量场”就是在每一点有一个切向量，以光滑方式依赖于基点。对偶的概念是“微分 1－形式”，即，光滑余切向量场。在局部坐标系下，切向量场和微分 1-形式通常写成
这里用了 Einstein 求和约定。系数都是局部坐标系里的光滑函数（但不是整体的光滑函数，将随坐标变换而变）。
在每一点上，由方向导数和微分组成的多重线性对象，以整体方式定义以后，叫“张量”。张量场跟前面类似。搞数学的喜欢用整体记号，就像上面那个式子一样，把分量和基写在一起，变换局部坐标的时候，基底和分量同时变，而它们的组合不变，从而左边的字母代表一个不依赖于局部坐标系的量；搞物理的喜欢只写出分量而省略基底，这样的记号明显依赖于局部坐标系。
微博文章- 关于微分形式与外微分 - 新浪微博
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关于微分形式与外微分
2015年2月21日 08:38 新浪博客
关于微分形式与外微分
（作者：@abada张宏兵 ）
dxμ，dxυ等等是微单位矢量，μ等是维度，定义dxμdxυdxρ...是有序矢量组故是张量，并定义为反对称张量，各分量做基底分别乘以一个实函数系数，再求和（包括合并反对称项），就构成微分形式。每项有几个dx连乘就叫几阶形式。
对张量求微分或对微分形式求外微分，会使其阶增加1。对同一微分形式连求两次外微分，结果为0，这主要是反对称基底设置造成的。
*号作用于p阶形式的基底，使p阶形式变为(n-p)阶形式（n是维数），并改变一些分量的正负（即交换dx的顺序）。
主要物理用途：使规范场的微分表述更简洁。如Aμ是规范势函数，是1阶微分形式A=Aμdxμ的系数。A是规范势场，几何上是联络，A的的外微分是F，为2阶形式，物理上对应场强，几何上对应曲率，对F再外微分结果为0：dF=0。又，d*F=J恰为流密度
abada 关于纤维丛的视频脚本
1） 用一个玻璃板，在中间画一个点O，从此点出发朝各方向画一些箭头。
2）将这个玻璃板，放在一个皮球表面，相切，玻璃与皮球切点是玻璃板上所画的那点O。滚动皮球，移动玻璃板，使O点在皮球表面到处移动。
皮球面，是一个二维流形；玻璃是切空间，O是切点，从O发出的箭头，是切空间中的切矢量。 （如果从O点做一个垂直于玻璃的箭头，则构成法矢量。 移动时，所有法矢量构成法空间。）
皮球面、玻璃板、玻璃板上的箭头、玻璃板与皮球的保持的相切关系，所有这一切整体构成一个三维的[color=Red]纤维丛[/color]，具体说是一个[color=Red]切丛[/color]。 箭头就是[color=Red]纤维[/color]。所有这些纤维构成矢量空间、[color=Red]矢量群[/color]，(线性空间[color=Red]线性群[/color])。
玻璃板停留在皮球的某点相切时，切点是三维纤维丛（此处为切丛）在二维球面上的[color=Red]映射投影[/color]。 此球面就是纤维丛从三维空间向二维空间投影映射的二维的[color=Red]基底[/color]。
玻璃板停留在皮球的某点时小范围地微小移动， 这局部基底反过来向纤维丛映射，这时玻璃板上的各箭头构成纤维丛（这里是纤维丛中的切丛）的一个[color=Red]局部截面[/color]。
[[i] 本帖最后由 abada 于 2012-1-10 00:20 编辑 [/i]]
（作者：@abada张宏兵 ）
dxμ，dxυ等等是微单位矢量，μ等是维度，定义dxμdxυdxρ...是有序矢量组故是张量，并定义为反对称张量，各分量做基底分别乘以一个实函数系数，再求和（包括合并反对称项），就构成微分形式。每项有几个dx连乘就叫几阶形式。
对张量求微分或对微分形式求外微分，会使其阶增加1。对同一微分形式连求两次外微分，结果为0，这主要是反对称基底设置造成的。
*号作用于p阶形式的基底，使p阶形式变为(n-p)阶形式（n是维数），并改变一些分量的正负（即交换dx的顺序）。
主要物理用途：使规范场的微分表述更简洁。如Aμ是规范势函数，是1阶微分形式A=Aμdxμ的系数。A是规范势场，几何上是联络，A的的外微分是F，为2阶形式，物理上对应场强，几何上对应曲率，对F再外微分结果为0：dF=0。又，d*F=J恰为流密度
abada 关于纤维丛的视频脚本
http://fxkz.net/archiver/?tid-7492.html
关于纤维丛的视频脚本
关于纤维丛的视频脚本1） 用一个玻璃板，在中间画一个点O，从此点出发朝各方向画一些箭头。
2）将这个玻璃板，放在一个皮球表面，相切，玻璃与皮球切点是玻璃板上所画的那点O。滚动皮球，移动玻璃板，使O点在皮球表面到处移动。
皮球面，是一个二维流形；玻璃是切空间，O是切点，从O发出的箭头，是切空间中的切矢量。 （如果从O点做一个垂直于玻璃的箭头，则构成法矢量。 移动时，所有法矢量构成法空间。）
皮球面、玻璃板、玻璃板上的箭头、玻璃板与皮球的保持的相切关系，所有这一切整体构成一个三维的[color=Red]纤维丛[/color]，具体说是一个[color=Red]切丛[/color]。 箭头就是[color=Red]纤维[/color]。所有这些纤维构成矢量空间、[color=Red]矢量群[/color]，(线性空间[color=Red]线性群[/color])。
玻璃板停留在皮球的某点相切时，切点是三维纤维丛（此处为切丛）在二维球面上的[color=Red]映射投影[/color]。 此球面就是纤维丛从三维空间向二维空间投影映射的二维的[color=Red]基底[/color]。
玻璃板停留在皮球的某点时小范围地微小移动， 这局部基底反过来向纤维丛映射，这时玻璃板上的各箭头构成纤维丛（这里是纤维丛中的切丛）的一个[color=Red]局部截面[/color]。
[[i] 本帖最后由 abada 于 2012-1-10 00:20 编辑 [/i]]
abada 2012-1-9 23:01
数学家爱用集合论的高深语言，诉说两岁小孩的玩具玩法。
视频要把数学家的游戏打回幼儿的原形。
视频要把数学家的游戏打回幼儿的原形。
abada 2012-1-10 00:50
好像物理上用的多的就是矢量丛、切丛, 其纤维构成矢量群
[[i] 本帖最后由 abada 于 2012-1-10 04:26 编辑 [/i]]
[[i] 本帖最后由 abada 于 2012-1-10 04:26 编辑 [/i]]
白桦林 2012-1-10 11:17
abada兄，非常赞成你把高深数学概念形象化。也非常欢迎数学的人来挑毛病，这样才更有意思。
yi10 2012-1-10 11:46
视频在哪里可以看到？谢谢。
白桦林 2012-1-10 13:27
[quote]原帖由 [i]yi10[/i] 于 2012-1-10 11:46 发表 [url=http://www.fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=64189&ptid=7492][img]http://www.fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
视频在哪里可以看到？谢谢。 [/quote]
是视频脚本，你自己从1楼的文字叙述里看出图像来，如果这个图像不对，你就帮忙纠正。
视频在哪里可以看到？谢谢。 [/quote]
是视频脚本，你自己从1楼的文字叙述里看出图像来，如果这个图像不对，你就帮忙纠正。
季候风 2012-1-14 14:44
[quote]原帖由 [i]abada[/i] 于 2012-1-9 22:37 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=64171&ptid=7492][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
关于纤维丛的视频脚本
1） 用一个玻璃板，在中间画一个点O，从此点出发朝各方向画一些箭头。
2）将这个玻璃板，放在一个皮球表面，相切，玻璃与皮球切点是玻璃板上所画的那点O。滚动皮球，移动玻璃板，使O点在皮球表面到处移动。
皮 ... [/quote]
这个例子里整个纤维丛是一个4维的对象
关于纤维丛的视频脚本
1） 用一个玻璃板，在中间画一个点O，从此点出发朝各方向画一些箭头。
2）将这个玻璃板，放在一个皮球表面，相切，玻璃与皮球切点是玻璃板上所画的那点O。滚动皮球，移动玻璃板，使O点在皮球表面到处移动。
皮 ... [/quote]
这个例子里整个纤维丛是一个4维的对象
季候风 2012-1-14 14:45
[quote]原帖由 [i]abada[/i] 于 2012-1-9 23:01 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=64172&ptid=7492][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
数学家爱用集合论的高深语言，诉说两岁小孩的玩具玩法。
视频要把数学家的游戏打回幼儿的原形。 [/quote]
你需要学习谦卑
数学家爱用集合论的高深语言，诉说两岁小孩的玩具玩法。
视频要把数学家的游戏打回幼儿的原形。 [/quote]
你需要学习谦卑
白桦林 2012-1-14 14:51
[quote]原帖由 [i]季候风[/i] 于 2012-1-14 14:44 发表 [url=http://www.fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=64333&ptid=7492][img]http://www.fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
这个例子里整个纤维丛是一个4维的对象 [/quote]
季老师，还是你热心，你能不能帮忙举一个纤维丛的实例，谢谢啦。
这个例子里整个纤维丛是一个4维的对象 [/quote]
季老师，还是你热心，你能不能帮忙举一个纤维丛的实例，谢谢啦。
freshman 2012-1-15 06:16
“射影空间”上的“tautological line bundle”，这是一个不那么直观，但也不那么抽象的丛，也是“最简单”的非平凡丛。这个丛也基本上是向量丛的拓扑理论的基石。
[quote]原帖由 [i]白桦林[/i] 于 2012-1-14 01:51 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=64337&ptid=7492][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
季老师，还是你热心，你能不能帮忙举一个纤维丛的实例，谢谢啦。 [/quote]
[quote]原帖由 [i]白桦林[/i] 于 2012-1-14 01:51 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=64337&ptid=7492][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
季老师，还是你热心，你能不能帮忙举一个纤维丛的实例，谢谢啦。 [/quote]
白桦林 2012-1-15 08:44
回复10#
谢谢，我去wiki一下，不懂再请教你。
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