场的狭义定义 场是底流形(Base Manifold)到靶流形(Target Manifold)的映射(Mapping)。带电粒子的自旋在电场和磁场中为什么存在角动量的效应，狄拉克方程

数学笔记(流形)

已有 6137 次阅读 2009-6-10 15:09 |个人分类:文献笔记|系统分类:科研笔记|关键词:流形，纤维丛，场，怀特尼定理，

有朋自美国来，工于术数几何，特向其请教流形、纤维丛及场之定义问题，兹记于此，以备忘。      问题自场的狭义定义而来，即：场是底流形(Base Manifold)到靶流形(Target Manifold)的映射(Mapping)。
     首先，何谓流形，从最狭义的角度，流形是欧几里德空间的一个子集(不一定是子空间)，这个子集不一定是平直的，可以是一个平面、或者一个球面等等几何形状。流形可以放在欧几里德空间的背景中去理解(这一点由著名的怀特尼定理所保证，见下)，也可以作为独立的存在去研究，这是现代数学研究流形的两大流派。
    怀特尼定理：任何一个N维的流形都可以嵌入一个2N+1维的欧几里德空间中去。这个定理的重要性不言而喻。
     对于场而言，其底流形通常就是四维欧几里德空间(一维时间和三维空间)的一个子集(即一段时间和一段空间)。而靶流形要Fancy一点，可以是任意的数学对象，最简单的情况就是一维的标量场，此时靶流形就是一维欧几里德空间的子集。
    其次，澄清了上述场的定义并不意味着万事大吉，因为普遍的场的定义涉及到纤维丛(狭义的定义在一些情况下要失效)。
    要谈论纤维丛，首先要讨论丛空间。
     丛空间：一个N维的流形上的一个点加上这个点上的N维切空间算作一个新的点，这样流形上所有的点所对应的新的点构成丛空间。可以这样来形象的理解，即原来的流形上长出了“绒毛”就成了丛空间，在一些特殊的情况下会形成“纤维”。
     值得注意的是，一个流形所对应的丛空间("纤维")并不唯一，当流形所嵌入的欧几里德空间作一变换，此时丛空间也会发生变化，而所有的这样的纤维就形成纤维丛。
于是，场的广泛定义是：场就是底流形的一部分纤维丛(Fiber Bundles)。

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九维空间物理学博士

2013-05-30 07:09

支持者： stellyao None 猪了个去 游识猷 Quantum_Gravity 更多

不可以简单类比
你可以把自旋理解成粒子波函数的分量，分量数=2×自旋数+1。
比如自旋为0，就是标量，只有一个分量。比如希格斯玻色子。
自旋为1/2，叫做旋量，有两个分量。比如电子和夸克。
自旋为1，就是矢量，有三个分量。比如光子。
自旋为2，就是张量，有5个分量。比如引力子（目前未发现）
至于带电粒子的自旋在电场和磁场中为什么存在角动量的效应，要从狄拉克方程得到解释。狄拉克方程NB之处在于用量子力学和狭义相对论的直接结合，不但预言了反物质，还解释了基本粒子为什么会有自旋。所以老杨称狄拉克方程是神来之笔。
狄拉克方程和电磁场的耦合（相互作用），会自动出现一个1/2的自旋量子数，这解释了为什么电子和正电子，甚至夸克会展示出1/2的自旋角动量，的确是神来之笔。具体可参见狄拉克的《量子力学原理》
狄拉克方程只描自旋1/2的粒子。述把狄拉克方程推广到更高阶矩阵系数，可以描述自旋为1和自旋为3/2等基本粒子。
PS：我正在写一部小说《狄拉克之旋》，在我日志里更新，故事里会陆续介绍一些相关知识