white 物理学进展 pip.nju.edu.cn/ 物体的运动不仅受到其他物体作用的影响, 还要受其统计性质的支配,这种统计性质又完全由粒子的内禀性质之一,——自旋—一来决定, 磁共振(MR), 射频信号

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科学网—我的研究兴趣- 李伟的博文 - 科学网—博客

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2009年6月9日 - 一维反铁磁自旋系统：有能隙与无能隙元激发 多体系统低能激发的特征是凝聚态物理感兴趣的主题，低能激发有没有能隙(或者说激发有无... ,科学网.

 

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2009年6月9日 - 一维反铁磁自旋系统：有能隙与无能隙元激发 多体系统低能激发的特征是凝聚态物理感兴趣的主题，低能激发有没有能隙(或者说激发有无... ,科学网.

 

phymath999: 低能激发有没有能隙,多体系统低能激发的特征

phymath999.blogspot.hk/2012/07/blog-post_2537.html

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2012年7月30日 - 低能激发有没有能隙,多体系统低能激发的特征 ... 物理感兴趣的主题，低能激发有没有能隙(或者说激发有-marketreflections- ♂ 给marketreflections ...

 

 

phymath999: 平均场理论没有抓住无能隙激发后面隐含的原理 ...

phymath999.blogspot.com/2012/07/klein-gordon0.html - 轉為繁體網頁

2012年7月30日 - 低能激发有没有能隙,多体系统低能激发的特征 · 郭永康光学 · 色散曲线法拉第效应与塞曼效应有密切联系。磁场影响物质分子（原子）中电子的运动， ...

 

 

音乐快递：多体系统低能激发的特征是凝聚态物理感兴趣的 ...

bbs.wenxuecity.com › 论坛 › 音乐快递

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2011年3月27日 - 多体系统低能激发的特征是凝聚态物理感兴趣的主题，低能激发有没有能隙(或者说激发有无质量)是系统的重要特征，系统的很多有趣性质都与.

 

 

自旋1/2 | 互联网上引用| cyclopaedia.net

zh.cyclopaedia.asia/wiki/自旋1%2F2

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科学网—我的研究兴趣- 李伟的博文. 一维反铁磁自旋系统：有能隙与无能隙元激发多体系统低能激发的特征是凝聚态物理感兴趣的主题，低能激发有没有能隙(或者说 ...

 

 

感觉Maxwell方程组确实牛 - 豆瓣

www.douban.com/group/topic/6993333/

最近用到量子场论，才了解，Maxwell方程描述矢量场（自旋为h），Dirac方程描述旋量场（自旋为h/2），Klein-Gordon方程描述标量场（自旋为0），

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Klein-Gordon方程描述标量场（自旋为0），！


Klein-Gordon方程推出静质量为零的粒子的运动方程就是电磁波的方程，我倒是忘记矢量和标量的差别了啊，真该死。


作为描述光子场的经典运动方程，Maxwell方程可以被放在与Dirac方程相同的高度上讨论。当然，说到这里，有一个问题是很有意思的。为什么在Maxwell方程，Dirac方程，和Klein-Gordon方程中，最先被人类认识的居然是作为矢量场运动方程的Maxwell方程呢？我想，首先，Dirac方程不会比Maxwell方程更早被发现。因为，Dirac方程是描述费米子的，而费米场没有经典对应，所以在量子力学诞生以前，Dirac方程不会被发现。事实上，如果不是因为Dirac的天才想法，也许Dirac方程的发现还要再推迟40年。与电子场不同，光子场是有经典对应的，所以我们才能够在量子力学之前发现Maxwell方程。那么为什么玻色子场有经典对应，而费米子场就没有呢？其原因就在于玻色子可以发生玻色凝聚。事实上，我们看到的经典电磁波都是光子的相干态，而相干态来源于光子的凝聚。因此如果光子不是玻色子，我们就不会有经典的电动力学。

于是剩下来的问题是，为什么在两个最简单的玻色场中，我们先发现的是矢量场，而不是标量场？

按双源电子搜索结果列表- docin.com豆丁网

docin.com.cn/search.do?searchcat=1001&nkey...

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... 射频信号源设计: 基于直接数字合成技术的电子自旋-核自旋双共振实验射频信号源设计设计,信号,射频,核自旋,射频信号源,共振实验,实验技术,电子,信号源,电子自旋.

Patents - Google

www.google.com.na/patents/CN103764227A?cl=en

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[0015] 在本文中将磁共振(MR)数据定义为:在磁共振成像扫描期间，所记录的由磁共振装置的天线发射的原子自旋射频信号的测量结果。 [0015] (MR) data is defined ...

量子力学是本世纪初到二十年代发展起来的处理亚原子范磷赣 ...

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别遵从玻色叫一爱因斯坦统计和费米映拉克统计. 不仅如此， 人盯 ... 上)维时空中很自然地， 首先关心的是维空间中的问翘,而且几乎矗先嘛地认为, 空间的. 维度对系统 ...

 

 

量子力学是本世纪初到二十年代发展起来的处理亚原子范磷赣 ...

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质的支配I 这种统计性质又完全由粒子的内薹性质之一-一一目据一一来决定…. 由于人. 们并不知道它和相互作用的关系， 只得把它作为先蘑的基本原理之邂钟接受下 ...

任意子一个违反常识的全新理论_CNKI学问

xuewen.cnki.net/CJFD-WLZZ199210005.html

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... 物体作用的影响(这是和经典物理相同的,只是表现形式不同而已),而且还要受其统计性质的支配,这种统计性质又完全由粒子的内禀性质之一,——自旋—一来决定u·。

【物理论文】约束系统理论在光孤子等系统中的应用.pdf 全文 ...

max.book118.com › 海量文档 › 专业论文 › 毕业论文 - 轉為繁體網頁

2015年2月20日 - ... 其统计性质的支配，这种统计性质又完全由粒子的自旋来决定．根据传统量子理论，所有基本粒子都分为性质不同的两大类：Bose子和Fermi子．

我的研究兴趣

已有 3527 次阅读 2009-6-9 14:55 |个人分类:研究心得|系统分类:科研笔记|关键词:低维反铁磁自旋系统，有能隙，无能隙，元激发，几何阻挫，自旋液体，量子相变

一维反铁磁自旋系统：有能隙与无能隙元激发
    多体系统低能激发的特征是凝聚态物理感兴趣的主题，低能激发有没有能隙(或者说激发有无质量)是系统的重要特征，系统的很多有趣性质都与之相关(例如BCS能隙保证了超导凝聚态的存在)。粗看来，很难理解一个多体哈密顿量的低能元激发会是无能隙能(微扰总是使能级之间的间距扩大)，因此一旦有无能隙激发的出现，我们就需要解释它。Goldstone模式提供了这样一种机制，通过破缺哈密顿量中的连续对称性，系统在简并的基态间涨落，形成了无能隙的元激发(例如超流体激发的声子)。但是，在凝聚态物理系统中，这样的系统是稀少的(X. G. Wen语)。
    显而易见，在一维的反铁磁系统中，量子涨落起了支配作用，系统的基态不具备Neel序。对于自旋1/2系统HAFC)，没有SU(2)对称性的破缺，同时LSM定理保证了无质量激发的存在，这正是Godestone Mode；另一方面，在自旋1系统中，反铁磁自旋链存在一个有限的激发能隙(Haldane Gap)。在一维这个极端量子的空间里，这个能隙的出现反而令人费解，需要解释。什么样的机制使得spin-1/2的HAFC具有无能隙激发，又是什么样的原因产生了Haldane Gap？这些问题上人们有了一些认识，但并未彻底搞清楚。
二维关联自旋系统：几何阻挫与自旋液体
    比起一维自旋系统来说，二维问题的经典性更强，但有着更加丰富的拓扑结构，这是人们对二维反铁磁问题感兴趣的原因。从研究手段来说，数值计算在二维遇到了阻碍，标志着精确数值计算典范的DMRG在二维遇到了精度和计算规模两方面得限制(用Imformatics的观点来看，这类问题属于NP-Hard问题)。如何构造一个有效的算法解决精确计算二维的自旋系统基态(乃至激发态)，就成为了大家关注的焦点之一。
    说二维反铁磁问题的经典性要强一些，一个标志就是Neel序在二维开始出现，在很多格子(Honeycomb、Square)中都可以看到他的存在，这样我们通过调整某些参数(几何各向异性或自旋耦合各向异性等)就可以看到体系发生有序-无序的量子相变。更加有趣的是，人们利用二维的拓扑结构，构造出了(并在实验上合成出了)一类特殊的几何阻挫系统，如三角格子、Kagome格子等。尽管进一步的研究指出，三角格子中实际上是存在面内的Neel序的，但对于阻挫更强的Kagome格子，其中是否有序并无定论。在一维问题中，无序的基态被称之为自旋液体态，在二维问题中是否存在自旋液体态这样一种奇异的量子态？二维丰富的拓扑结构是否会带来有别于一维的特征，用什么来刻画二维的自旋液体态以及不同自旋液体之间的拓扑量子相变？对这些问题的追问使得几何阻挫和量子自旋液体这一奇异量子态的研究方兴未艾






感觉Maxwell方程组确实牛

来自: ZZQ 2009-06-19 09:44:27

从前学电动觉得他是统一了前人的研究，给电磁场一个和谐美观的数学方程形式而已

最近用到量子场论，才了解，Maxwell方程描述矢量场（自旋为h），Dirac方程描述旋量场（自旋为h/2），Klein-Gordon方程描述标量场（自旋为0），他的工作倒是远远前于后两者，做这些工作的时候他已有场的观点。薛定谔方程到过渡的相对论性狄拉克方程，最终对狄拉克方程场量子化之后人们才真正认识到这些粒子运动方程的实际意义，不得不赞Maxwell的工作！

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  Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2009-06-22 23:56:28

  也许Maxwell自己也不会想到，他的方程组对物理学的发展所起到作用。Maxwell 也许能够意识到，电动力学作为经典物理的巅峰之作，其成就是多么灿烂和宏伟。但他没有预见到，电动力学同时也是经典物理的完结篇，新物理的革命已经在其中孕育发展。人们首先在Maxwell方程组里看到了时空的协变性，从而发展出相对论。Einstein的论文题目就是论动体的电动力学，可见电动力学对相对论的意义是多么重大。人们也是首先在Maxwell方程组里看到了规范不变性，而后才总结出规范场论。
  
  作为描述光子场的经典运动方程，Maxwell方程可以被放在与Dirac方程相同的高度上讨论。当然，说到这里，有一个问题是很有意思的。为什么在Maxwell方程，Dirac方程，和Klein-Gordon方程中，最先被人类认识的居然是作为矢量场运动方程的Maxwell方程呢？我想，首先，Dirac方程不会比Maxwell方程更早被发现。因为，Dirac方程是描述费米子的，而费米场没有经典对应，所以在量子力学诞生以前，Dirac方程不会被发现。事实上，如果不是因为Dirac的天才想法，也许Dirac方程的发现还要再推迟40年。与电子场不同，光子场是有经典对应的，所以我们才能够在量子力学之前发现Maxwell方程。那么为什么玻色子场有经典对应，而费米子场就没有呢？其原因就在于玻色子可以发生玻色凝聚。事实上，我们看到的经典电磁波都是光子的相干态，而相干态来源于光子的凝聚。因此如果光子不是玻色子，我们就不会有经典的电动力学。
  
  于是剩下来的问题是，为什么在两个最简单的玻色场中，我们先发现的是矢量场，而不是标量场？
  

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Page 1

1991年 12月 PROGRESS IN PHTSICS Decen1ber，1991

本文系统地介绍了任慧子的基本概念, 基本性质和基本理论. 特别详细地讨论了 怔意

子理论在分数量子霍尔效应和高温翘导电现象中的应用.

量子力学是本世纪初到二十年代发展起来的处理亚原子范磷赣体运动规鳙的理论，

以后又和狭义相对性原理相结合l 产生了量子场论. 由于矗子理论的巨大成功， 人儡口都

普遍接受了它的基本原理. 特别是它和经典力学理论不同， 物体的运动不仅受到其弛蛐

体作用的影响(这是和经典物理相同的， 尸、是表现形式不同而已)， 而且还要受其鳙计性

质的支配I 这种统计性质又完全由粒子的内薹性质之一-一一目据一一来决定…. 由于人

们并不知道它和相互作用的关系， 只得把它作为先蘑的基本原理之邂钟接受下未. 这种看

法是如此之深入人心， 以至于人们把宅宙间存在的阮有粒子都分为性质不同的两大撕

玻色子田酷o赫和费米子(宜虹伍妇岭. 它们的自魇分别是酣强矗戴倍和奇矗敢倍a 并分

别遵从玻色叫一爱因斯坦统计和费米映拉克统计. 不仅如此， 人盯还把这种分冀用到摧

粒子或元激发上， 所有的准粒子不是费米子， 就是戴色子.

这些观念之所以长期没有引起人们的怀疑及深入的i寸论, 是因为我们是生活在(3+

上 )维时空中很自然地， 首先关心的是维空间中的问翘,而且几乎矗先嘛地认为, 空间的

维度对系统的动力学规律不会有， 至少不会有才星犬的, 本质的骸响.

可事实并非如此， 实际上由磁单极子和带电粒子组成的复合体的角动矗的不寻常持

性， 早在本世纪四十年代就已为冰缸〕所认识m, 并得到广泛的讨论。 以后…在统一规范

理论的框架内又作了进一步的研究n 特别是蛐7?年L址血跚和M打h睡皿“索统地讨论了

空间维度， 空间的拓扑性质对统计和对称性的影响。 然而在相当一段时间内这篱文章并

没有受到应有的认真对待. 直到舶年代初分戴矗子藿尔效应= (Fruc潼io，I口重 础训帅

Hu‖ E王览腮n以及后耒的高漉扭导现象披岌现以后该文的深刻而丰富的内容才连步为

人儡门所认识n 特别要指出的是低于三维的空间拓扑结相对运动规律的影响使人们对全同

粒子系统的统计性质有了新的认识， 从而吸引了大批物理学家的兴趣。 究其原因， 是因

为胁年代以前的讨论大多停留在理论上, 而没有结合具体的物理对象， 而迁子狂尔效应

---

Page 2

矗M 物 理 学 进 属 11卷

反高温超导现象的共同特点正是二维或准二维性。 同时, 在分数量子霍尔效应中， 还有

明显的分数电荷问题。 正是这些凝聚态物理中的重大发现, 以及粒子物理中的磁单板等

问题， 使得以前理论上讨论过的问题变得有实际意义了。 这促使W三扯z晕k…去研究能给

出分数电荷， 分数角动量的理论, 从而发现， 在理论上可能存在一种既不遵从玫色统

计, 也不遵从费米统计的复合体， 它的统计性质, 至少在原则上可以在上述两种统计之

问连续变化。 以后， 这种囊合体在分数量子霍尔效应中找到了其存在的根据。 并在高温

超导体理论中得到深入广泛的研究n 于是这类具有人们不熟悉的统计性质的对象受到物

理学界, 特别是凝聚态物理学界及研究场论的物理学家的普遣关注. 这就是所谓任意予

(j挪yo皿r ) 。 本文将对此作一系统的介绍。

二、 任意子及其基本性质

1982年Wnczek佃第一次把带电粒子一磁扭膏菅翼合体(C洽cr纽蛐 如对记抽-加口加剖融

王驰斑 扣妮 口。懈迪包$他)叫做任意子(甜如肺， 因为两个这样的复合体相互交换时将在波函

数中出现…个额外的相位因子， 使得其统计性质介于玻色统计和费米统计之间。

大家知道, 把粒子或准粒子分为玻色子和费米子是根据其自旋. 然而， 对于复合粒

子来说, 决定粒子统计性质的不仅是其内禀角劫量, 同时珏应计及其轨遵角动量b 实际

上， 决定全同粒子系统统计性质的是两个全同粒子相互交换时, 系统波函载相位因子的

变化， 后者又直接和粒子的总角动量相联系。 在三维空间, 角动囊是囊子化的, 只鳃职

分立值, 即h/2 的整数倍, 或者是奇整数倍， 或者是僵鬟敷倍, 分别对应于费米统计和

玻色统计。 但对于二维转动， 角动量将不受此限制, 可以取任意戴值， 从戴学上来说,

三维转动群是非阿贝尔的， 而二维辅动是阿贝尔的。

受磁单概子带电粒子复合体(或带电的磁单极子)具有不寻常的角动矗量子戴的启

示, Wi重c塾Eki寸论了一个典型的二鲤运动模型，即带电粒子绕磁矗囊膏的功力 学性质川ˉ

为简单起见, 设想一个带电粒子在平面中作圆周运

动(如图‖其轨道角动膏的分晕算符为

日

这是子理论中熟知的情况。 现在如果有一无偃长的细

嫌线管沿z 方向垂直于运动平面穿过圆心, 且缓慢地通

以电流, 则将在嫌线菅内产生变化看的磁场， 相应的感

f电 、ˉ遣r口晕

主 场在粒子压动轨 切线方门的分 为 图1 带电粒子一磁通

---

Page 3

r晕粒子运动轨道的半径口 带电粒子在此电场的作用下受到的力矩为

彗 旦立k

山

2.7

根据角动量定理, 此带电粒子相对于z轴的角动董变化为

所以， 由于螺线营内磁通量变化而引起的角动量变化就是

2 了

d85

(2.6)

这个关系应该可以推广到更时艇的 情况. 可 以设

想， 由带电粒子和磁通菅组成的 复合体产中这就是

Wilczek的任意子一"将具有不寻常的统计特性。 这可

以从两个这样的复合体相互交换时表现出来的对称性看

出(图 2 )g 两个复合体交换位置可以看作是每个复合体

绕质心转过:角u 在此过程中, 每个复合体都在对方的

矢量势的作用下获得额外的角动一帕M弼或通

过丑加加加班五口加 效应获得相位因子 e:p{ 一 剪巾哭2峦}一

于是, 这样的复合体相互交换时, 系统波函数变化如下B

图2

两个任意子交换

当jz=整数( 一婵舵珈是整数)时, 相应的相因子等于1, 复合体的统计性质和原带电粒

子一样毒 而当它是半整数时, 复合体的统计性质和原带电粒子相反， 即若原_带粒子是费

米子， 则复合体遵从玻色统计, 原带电粒子是玻色子， 则复合体遵从费米统计. 一般情

况下， 工口可以既不是整数, 也不是半整数, 则复合体既不遵从费米统计， 也不遵从玻色

统计n 原则上只要q， 睡合适， 两个全同的复合体相交换时, 可以获得任意相位， 这意

味着其统计性质可以在费米统计和琥色统计之间连续变化。 这就是把这种复合体称为任

意子的原因口 这里， “任意”是指其统计性质可以“任意”地连续变化n 然而, 除了人们熟

悉的两种极端情况旧费米统计和玻色统计之外， 如何正确表达统计性质的中间状态并

不是一件容易的事, 更不用说统计性质连续变化如何表示了c 这将在后面详细讨论n 在

此之前我们先讨论一些和任意子有关的其他对象。

差不多就在W山zek提出任意子概念的同时，lGoldhaber…讨论了类似的亘合体，

---

Page 4

---

Page 5

时带有电荷和磁荷。 相当于带电的磁单板子。 如果这种粒子存在， 那么在CP守 恒的条

件下， 根据推j"的独拉克条件, 卫少佩的电荷要奠基本电荷白的整数倍或半数倍。但

当C尸不守恒时, 而且假定造成CP不守恒的唯H原因就是所谓真空角的话，那末D虫佣的

电荷一般可以不是e的整数或半整数倍， 而是

这里的分数量子数是电荷, 它也是粒子的一种内禀属性。 同时,当两个D汊跚柑交换时，

其波函数将获得额外的相位因子e辄瓣( 9是磁荷)同样服从分数统计。

最近, 人们还讨论了所谓引力任意予u"(Grd刨柚摧咖毗 侧如仙 两个这样的任意

子交换时也会获得额的相角(m胪)m/枞 (其中…, #， 鼻分别是无结构粒子质、 拓扑

质项系数及能量动量张量项系致), 此外， 它还会带来许多奇特的 后果， 例如可以允

许存在“反引力瀛, 即排斥的串顿力, 从而可能导致等效原理的失效。

所有已经讨论过的各种任意子模型都和某种规范场相联系, 这~点是很有指导意义

的o 实际上我们可以从规范理论的观点重新讨论带电粒子围绕通电醒线管的问题口

从规范理论来着， 电磁场是一种U〈 1 )规范场, 可以通过将普通导数改成规范协变

导致的办法引进电磁相互作用, 并使理论具有规范不变性， 只要规范场满足一定的变换

规则。 ˉ

按照这个观点， 在概坐标中， 角动量算符- i 啬而应变成

.D . a 薰

一，万「=一，(亩丁叶M. )

其中电磁势(规范场)纯在非奇异规范下和盘通量有下列关系

结果和以前一样。

然而， 电磁场具有规范自由度扫 为了说明附加的角动量具有规范不变性, 可以选取

适当的规范条件， 使得带电粒子所在地不存在规范势, 只要让它作如下的变换

矗′一一>Aˉ守过 (2.19)

---

Page 6

喜BS 物 理 学 进 展 n卷

同时标函数扯满足

表明带电粒子不受电磁势的影响, 是一个自由粒子, 它应满足口由粒干的薛定锷方程，

因而其本征函数应是平面波口 初看起来这租前臧的结论似乎是矛盾的口 但是， 注意到在

新规范中波函数必须满足的边界条伟 ˉ

l， lv

u

另叫月阊它描写的皇日由粒予, 所以角动仍是

m 一 gq)/2邗

这表明带电粒子绕磁通量管运动时获得的附加相位是不能通过规范变换去掉的不变量.

这就是说, 嘎管除螺线管穿过运动平面这一点外， 其他空间并不存在磁场I 但由于垂直

于平面的螺线管的存在， 空间的拓扑性质变了。 辆外的角动正是空间拓扑性质对统计

性质影响的一种表现。

要注意的是用来描写空间拓扑对粒子统计性质影响的规范场确实表现了闻种相互作

用， 但它和通常的规范场不同, 它没有自身的动力学。 这一点我们以后还要讨论。

两个任意子在相互交换时的统计性质还可以表示成更为正式的形式， 以便于以后的

推广。 先不考虑其他相互作用。 两个全同的任意于体系的波函数在坐标表象中一股可写

成

奴(n， r2)

其中凹 =q巾/2冗， 如果粒干带有电荷嘻 , 磁遇量捐。 这仍是任意子所特有的 反常 角动

量。 变辑伊是两任意子联线转过的角度。 当两者相互交换时, 相当于伊变化 ˉ一口 根据自

---

Page 7

旋和统计的关系， 如果把波函数的角度部分写成碑的形式, 则

置=偶整数+ 29 (2.25)

上面是两个自由任意子的情况。 当有外势场时或者多于两个伟意子时, 问题就变得

非常复杂， 以至于只有最简单的势场才有解析解口 例如两个任意子在简谐势阱屯 仍可

解得其全部能谱n 这是因为， 在简谐势阱中披函数的质心运动和相对运动部分分离. 在

一般外场作用下, 它们是不能分离的。 而多个任意子体系甚至在没有外场时也不能得到

解析解其原因是任意子体系本身可看作是有相互作用的， 阳场论中有棺互作用时的情况

类似， 这种系统只能采用适当的近似解法口 这将在后面介绍c

最后介绍几个简单的应用o

可见, 由电子和超导弦构成的复合体的统计性质和电子相反， 遵从玻色统计。 这表明超

导涡线可以改变与之相束缚的粒子的统计性质， 就象复合粒子那样, 可以把涡线看成是

有确定自旋的粒子。 这个观点以后还将发展成为粒子-涡线对偶性(j珈闭臧概念, 在任

意子理论中有着广泛的应用。

类似的情况也可以岌生在非阿贝尔规范场的情况。 例如在SU( 2 )不变的规范理论

中， 破缺的是三个指标的对称张量场、 即

妯U山 掣岫na杠a囊!

---

Page 8

.190 _物 理 学 进 展 11卷

是遵从1/3统计的准粒子p

利用任意子的一些基本性质还可以讨论许多现象。 例如挟拉克条件电荷和自旋的关

系等等q W‖czek还设计了旧个假想实验来显示额外的角动量是否辅实存在u

最后我们还想指出, Dyo矗中的分数电荷和分数角动量之间的联系和区 别。 大家知

道, 一般说角动是一种和时空有关的动力学特性, 而电荷是粒子的内禀属性。 它们在

数学关系上的类似

乙三= 整数 一口巾苏2扛

以及

埂/e =数一 三日/2扛

反映了物理时空和规范空间的联恩 在磁通的背景下转动对称性要求物理空间 的转动

(锏)必须伴随着规范〔这是U( 1 口转动一璃由曲陌作为补偿. 在D夕咖的情况,电荷本身是

叫种规范变换下的不变u 真空角本身又可以看作是规范空间的转动o 与此转动相联系

的额外相位可看作是在磁规范空间转过一锕a孤2括n

粒子的自旋似乎有其特殊性、 它既是和时空有关的动力学性质, 又是一种内 禀属

性n

三、 任意子的基本理论

任意子的基本理论有两种形式, 即拉格朗日形式和哈密顿形式。 两者各有优缺点口 '

理论的拉氏形式, 特别是跚gm一置加硼$形式橇早是 直rovas， Schrieffer, WHczek及

Zee洲引入的。 其优点是明显地表现统计规范作用的对称性一一这里主要指的是宇称和

时间反演对称性的破缺及空间整体特性(拓扑)口 然而, 和原始意义下的规范场不同, 纯

C矗ern一S占唧HS理论中统计规范场没有自身的独立的动力学。 多余的自由度必须在 计算

过程中, 通过积分除掉, 从而给出相应的约束条件。 另叫方面， 理论的哈密顿形式中所

有的变都代表物理自由度， 适合于进行近似和计算, 但对称性并不明显。

先讨论C矗gm一S汕o肌拉氏形式. 前面已经讲过, 在非线性甘模型屯 存在单 位失

量序参数删岫 0 : 1 . 2 . 3, 及相应的拓扑守恒流

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Page 9

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Page 10

452 物 理 学 进 展 1l卷

将随T或P不对称性的消失而消失.同时,不管是费米子还是玻色子， 由统计相互作用产

生的截面都不存在。 一

在高眈超导体中， 时间反演对称性的破缺有着重要的实验效应脚。特别是， 由于任

意子带有真实的磁矩, 它会在垂直于剧矶面的方向上产生$肌护量 级的内部磁场。 如

果剧侧面问合是铁磁性的， 而且相邻面上的T、 P同号， 则会有可观察的 体 效应。

反之， 如果相邻的Cu矶面上T、 P异号， 则只会有面效应, 或者只会在层间出现微观

效应。 最近， 耳托斑等人邮 用 #介子自旋驰豫法橄SR)探测了YB助C咖〇7烧结 粉末，

BiESrgCaCUg(〕.薄膜以及非取向精细粉末的内部磁场口 测得的上限是U.跚mT， 小 了近

两个级， 不能把它作为任意子的作用。 所以还需进一步的测量, 才能确定r、 P是否

破缺u

上面我们仅讨论了最简单的U( 1 )统计规范场的拉格朗日形式口 原则上为了给出守

恒的拓扑流， 可以写出更一般的形式, 例如可以引进非阿贝尔的其它 规范场。 这时,

C矗e附 一S加口岫项可写成

它同样满足规范对称性及物理上的要求. 选取什么样的C加m-S加o肌项并不是先验的，

而是由所处理的问题的特性及要求决定的。

上面我们在2 + 1维时空中讨论了描写任意子的拉措朗日理论， 同时所讨论的空间

都是拓扑非平庸的。 这时， 可以构造叫个奇异的规范交换， 把普通的带电费米子(或带

电玻色子), 但具有c舵m-鄙m咖湘互作用的系统转变成为遵从分数统计的 自 由 任意

于。 这个结论只有当空间是咒B时才是正确的o 当空间是有有限个芽他肝州的 紧致的黎

曼空间M3时， 任意子将不会是自由的伽口 这时， 两个任意子之间会有剩余相互作甩

而不能通过规范变换来消失。

理想任意子气体的拉氏量可以写成

m

其中鞋是策碑个粒子的坐标, c是统计规范场的矢势是平面中的矢量， 仅有两个分量口

迎是统计规范场和硬核粒子的耦合常数, 它并不必须是电荷口 和 纯c丑g腮-S加o腮 理论

相比, 多了粒子动能项及耦合项, 这并不影响相应子墓的场方程，它仍是(勋盼式, 只是

现在 . ~

其中

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为了得到任意子系统的哈密顿量 要注意丑唧时间导数始终是不出现的, 相应 于 它的

运动方程经积分后仅给出粒子和场通之间的约束关系， 这已在纯C矗em-茁mo濉理论中

讨论过。 因此在规范条件(3.14)下, 消去多余的变量后, 可按时股定义， 由 拉格朗 日

【3.10)得到系统的哈密顿量E

这种形式的哈密顿量早在文献鹧盯中就已经出现了口 在那里是从路径积分理论引人

统计规范场的, 它可以更清楚地显示统计规范扬所代表的相互作用的特殊性质。

前面已经讲过, 任意于系统的基本特性就是在两个任意子相互交换时系统波函数会

获得额外的相位因子口 另叫方面， 按照路径积分的一般理论, 每条可能的轨道对函数也

将贡献一个相位因子, 它由相应于此轨道的作用决定:

所以, 只要在通常的自由粒子拉格朗日量中增加一个适当的量， 即可使之获得额外的相

位因子o 例如写成

那么, 除去通常的相位因子外, 还会有额外的相位因子

这里红贴是两个任意子联线相对于固定坐标轴夹角的变化。 按照正则方法, 可以由L得

到相应的正则动量

Fi三a英 = m戛l一hAI(醒i) (3.2a)

aX署 ˉ

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同样可以得到任意子系统的哈密顿量。 这正和(3.16)一样。

在这里， 统计规范场完全是为了给出额外相位而引入的口 有了它, 粒子就不再是自

由的了口 粒子间的相互作用仅给出额外的相位， 而不影响其动力学性质, 因而是一种相

位作用，其“力”程不受限制，可以认为是无限远的n 这就是说， 虽然哈密顿量(3.16)的形

式和有电磁相互作用的粒子系统非常类似， 但它们的本质却是完全不同的麒 前面已经讲

过, 由于没有统计规范场的动能项， 它不存在独立的动力学, 只表示了给出分数统计的

粒子和规范场通量之间的对应关系口 实际上， 由于投有统计规范场的动能项, 使得其欧

拉一拉格朗日方程表现为一种约束关系。 这样, 豁点的规范势不仅与该点的粒子有关，

而且与所有其它各点有关(参见3」5). 如果我们由此导出哈密顿运动方程， 则方程中将

出现额外的项, 这是普通粒子和外电磁场相互作用时所没有的。 正是这个附加项恰好最

出全部统计规范场，包括标量势的梯度，这个场与远处粒子的位赋和速度无关， 因而不会

产尘粒子间的经典作用。

量后我们强调, 尽管描写任意子的哈密辆量幅设时非常简洁, 但由于规范横本身是

非局域的, 这就是说, 任意子永远不会是自由粒子， 而是一种有相互作用的粒子系, 这

决定了H般来说不可能得到严槽的鼾析解, 只能采取某种近似的办法。 为说 明任意子

气体的特性, 我们先简单介绍如何用上面结出的哈密顿量来估算热力学中的第二维里系

数咖. 大家知道， 第二维里系数是状态方程按密度展开中的二级项系数

对于二维系统， B可以表示成删

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虽然Zg 已是单体配分函数， 但其面积仍旧是发散的口 为克服发散带来的困难， 我们把

任意子系统看做是对玻色系统或费米系统的偏离， 而这两种系统的第二维里系数是已知

的， 这就可采用微拢展开的办法处理. 为此我们把统计参数写成

魔_{2互+a 对准玻色系统

2j +豆+占 对准费米系统

l毒!〈l

(3.28)

这里我们己将它推广到H l>1的情况。 原来町2i +1+ 占， r)的展开应满赳 6 I〈

1的条件， 但从两体问题的严格能谱(趴2岫可知， 它应是统计参数口的周期函数， 其周

期为jG : 2, 可以设想， 丑也应是醒的周期函致。 即如果将展开式推广到丨 毒 【〉， 1的

情况. 将出现周期性的变化， 其上下限由玻色统计和费米统计的丑决定, 如图 3所示.

从图上可以着出, 在高温低密度近 似

下. 理想任蒿子气体的第二维里系数辅实可

以是参数e的周期函数, 这在原则上第一次

绐出丁任毒邂中间统计”的描述。但另一方面,

在相应于玻色系统处又出现了奇异性, 这就

是图中统计参数起 =o, 2, 4 …处的尖点

(Cusps), 它来源于展开的周期性推广， 表

示所用的处理方法有不完善之处n 同时， 在 图3 第二维里系敷和统计参数的函数

高阶维里系数中是否存在类似的奇异性也简 关系(T固定)

不清楚口 然而可以设想, 尖点的存在也可能意味着在高阶维里系数中存在某种有薏思的

蜡构， 它取决于统计参数是否是有理敷。

从上面的例子可以看出, 理想任意子气体的统计性质和理想玻色子或理想费米气体

很不相同。 对于后者来说， 统计的唯一作用是限制了多体波函数在排列群作用下必须是

对称的或反对称的, 而且这种对称性是不随时间改变的q 任意子系统则不同, 描写这种

系统变化时, 每条轨道贡献的相位不仅与粒子的排列有关而且还与粒子同互相环绕, 甚

至和环绕的方向和次数有关c 从粒子的世界线来看， 它们在维时空中柑成相互缠绕的辫

子口 这在数学上表现为任意子系统的希尔伯特(H珊盯D空间是辫群(械g b邝刨 9抛叩)

的表示, 而玻色子费米子系统的希尔伯特空间则是熟知的排列群的表示。 这当然是和任

意于系统的二维空间性直接有关的。 容易理解, 排列群空间中的同一条轨道可以对应于

辫群表示空间中拓扑上不等价的多条轨遣. 前面我们讨论的任意子系统还只是辨群的量

简单的表示。 人们甚至可以枸遣一一种能濞足所有物理条件的辫群的表示， 这就是所锕

岫晗髋表示训口 另外, 柑钳蛐胍还撞过非阿贝尔的c舶m-茁m训3理论, 在局域场论中引

入这种表示。 这时, 和给定轨道相联系的位相是统计荠数和此轨道环敷的乘积， 这里就

不作深入的讨论了。

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第4期 朱沛臣l 任意子(血N甘oN) 497

这是前面已经多次讨论过的， 任意子的额外角动量。 这些激发态可近似地写作

其中uo=(hc/eH n)讥是磁长度,可以证明,这些激发态是带有分数电荷 1/ 川的u同时帖描

写的是一种不可压系统。 系统的不可压性使得纵向集体激发等价于不存在压缩声波, 或

者说在长波极限下存在一个能隙系统对压缩应力的响应类似于第江类超导体对外磁场的

响应。 这个系统首次产生尔电流而没有压缩u 在临界应力时就会缩小一个面 积子

m2兀口矸并使粒子核子化, 就象通量线为霍尔电流转动产生的涡线所围绕, 电流的 转动方

向和由应力诱导的电流相反u

LaughHn在分数子霍尔效应理论中引入的准粒子很快被HaiperIn认为任意子…招

因为容易看出, 带有磁通的带电准粒子和W‖czek讨论过的带电粒子一一旧通量管有同样

的分数统计。

Haiper血讨论了最儡氏朗道能级上的二维电子系统， 背景是均匀正电. 填充 因子 定

义为

是单位通量子的电子数。 因为略是电子数密度， 跖=|B郎矗c严是长度。 不同 的分

级由不同的填充因子班表示, 它一般可以是有理数。这样, 拍吨逊她的理论就可推广到分

级的子霍尔效应了。 以后的做法非常类似, 但直接以一种元激发为例， 写出其厦坐标

形式的试探波函数。

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498 物 理 学 迸 展 11卷

它实际上是填充固子拟 = 1/刑时每个粒子的势能u 要利用(4.13)来计算能量， 可 以把

e辞写成I

g一

由(鏖.13)一(4.1瞌)可以得到第一朗道能级不

同填充因子时单儡立磁通量子的势能 曲 线图

4。但它只是表现了变化趋势, 而不是严格正

确的, 鱼为计算中用了假定两种不同类型的

元澈发能量成正比， 而与ml无关薰 图上显示

的重要特点是在填充因子分母为偶数时, 有

朝上的尖点,而分每是奇数时有朝下的尖点，

这一近似的能量曲线对前一种情况是定性及

这和洲中的实验是定性相符的.

LaughHn和Ha1p丘n的工作把任意子理论和当时凝聚态物理中的前沿问题联系了起

来, 为用场论方法讨论凝聚态问题开阔了新的前景.

为了建立分数量子霍尔效应的等效场理论， 伍叫卫做叫首先建议了一种场论模型

其中包含一个复标场; 并和一个矢量场相藕合, 后者又有一个拓扑质量项， 而没有助

能项。 容易看出, 这就是前面讨论的C而g川-Si胭濉项。和E18〕类似，上述模型有涡线解，

并有有限的能量及分数电荷， 和加难出血的准粒子或准空穴一样. 然而, 一方面其复标

量场幅度的涨荷虽然是有质的。 同时， 某种正了曲密度矩阵显示在Laug丑恤态中有

非对角的长程有序, 但不能解释为什么霍尔电导在某些特殊值时是量子化的。 另 H方

面， 其相位涨落又是无质量的， 不可能存在有限的能隙. 为了克服上述块点, 使等效场

理论能释重要的分数量子霍尔效应现象n zh矗飘gl Hansson和KiTelso皿""从微观哈密

顿量出发， 导出了一种等效场理论， 它可以解释差不多所有已知的分数子霍尔效应现

象。

和G仙赫类似， zhamg等的等效场模型中囊标量场既和外电磁场相耦合, 又和统计

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