高中生在學 "簡諧振子" (simple harmonic oscillator, SHO) 的時候, 因為沒有學過微積分與微分方程式, 所以教材中通常會將諧振子運動描述成圓周運動的投影, 引入一個輔助觀念叫做 "參考圓". 這其實是一種很天才的做法. 不過, 如果我沒記錯, 教材上對參考圓上的圓周運動只引入一種, 通常是逆時針繞. 其實如果同時引入順時針與逆時針兩種繞法, 就可以將振動視為兩種轉動的向量疊加.
念大學之後, 學過微分方程, 幾乎就沒有人使用參考圓了. 我認為這其實是一種倒退. 如果能再提一下參考圓, 那麼當學習到 "角-作用量變數" (action-angle variables) 以及量子諧振子的 "升降算符" (raising and lowering operators) 的時候, 就會有 "啊哈, 根本是完全一樣的東西" 的體會.
念大學之後, 學過微分方程, 幾乎就沒有人使用參考圓了. 我認為這其實是一種倒退. 如果能再提一下參考圓, 那麼當學習到 "角-作用量變數" (action-angle variables) 以及量子諧振子的 "升降算符" (raising and lowering operators) 的時候, 就會有 "啊哈, 根本是完全一樣的東西" 的體會.
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