2011-04-15牛頓＜萬有引力發現人、微積分的發明人＞
牛頓＜萬有引力發現人、微積分的發明人＞ 江銘輝 五夢網
圖1：牛頓一生在科學上作出巨大貢獻，建立運動三大定律，提出萬有引力定律，微積分的發明是他的傑作。所著「自然哲學之數學原理」被譽為科學著作中最偉大的一本。
一、 前言
牛頓（Sir Isaac Newton；圖1）是英國數學家、物理學家、天文學家，一生在科學上作出巨大貢獻，在力學上，他建立牛頓運動三大定律，進一步在1680年提出萬有引力定律，建立了古典力學的基礎。他也用三棱鏡分析太陽光，發現太陽光是由不同顏色的光所組成，並且主張光的微粒說。在天文學方面，他發明了牛頓式反射望遠鏡，觀察了行星運動規律，解釋潮汐現象，預言地球不是正球體。數學方面，微積分的發明是他的傑作。所著「自然哲學之數學原理」被譽為科學著作中最偉大的一本。
二、小學生活
16 43年1月4日 (儒略利1642年12月25日；儒略利是16世紀以前西方採用的一種曆法)，牛頓誕生在英格蘭林肯郡的烏爾斯索普（Woolsthorpe Manor）小鎮的一個小村莊。
牛頓出生前三個月父親已病逝，母親叫翰娜（Hannah Ayscough）。牛頓是個不足月的產兒，體重只有1362克，以致家人們都擔心他是否能活下來。但是，這個弱小的生命竟然出人意料地活下來了。他三歲時，母親因為生活所迫，改嫁給鄰村的一位叫巴納比斯.史密斯的牧師（Reverend Barnabus Smith）。將他交由外祖母來撫養。牛頓不喜歡他的繼父，對於母親的改嫁，充滿怨恨。牛頓到4歲時，看不出是個聰明的孩子，可能與他的身體狀況和家庭的處境有關，沉默寡言，愛思考，性格孤僻、倔強，不願與其他孩子一起玩耍。到了該進小學時，他的一個作牧師的舅舅威廉極力主張將牛頓送去小學，面對老師的教鞭，嚴厲的目光，牛頓常常慌張，不知所措，答非所問，被看成遲鈍的孩子。牛頓對小學生活，非常痛恨。上課時總是心不在焉，只盼望早些放學，回家。
可是一回到家裡，牛頓馬上拿起鋸子和錘子，生氣勃勃做起木工，起初只做箱子、架子一類簡單的東西，後來做起轉動四輪車等複雜的物品，他把自己的零用錢都用在買木工材料和工具上。之後，他又迷繪圖，開始在家裡繪畫，或坐在樹蔭下寫生，看到樹的影子，總是不停的移動，引起牛頓的注意，於是他又研究樹影的移動與時間的關係，並在樹幹周圍劃出刻度，經他反復觀察、校正，一個能測時間的日給晷，設計完成了。
二、 格蘭薩姆國王中學
牛頓12歲時，由鄉下小學轉到格蘭薩姆鎮上（Grantham）的國王中學（King’s School）就讀，他對學校的課程依舊不感興趣，常常獨自沉思，同學叫他「呆子」，還捉弄他。有一天他忍無可忍，把一個強壯且成績很好的調皮同學打倒在地上。打完架後，他認為單憑體力打贏，並不是一件光彩的事，只有課業成績贏過該生，才會受到全班的尊敬。於是他奮發圖強，不久不但成績超越該生，而且是全班之冠，這時他主動利用他手工藝的才華，替同學們作提燈，讓他們在天剛亮時作上學的路上照明用，同學們於是和牛頓親密起來，也不叫他「呆子」了。
西元1858年，牛頓14歲時，他母親在第二個丈夫病逝後，帶著與第二個丈夫所生的一子二女回到烏爾斯索普，並要牛頓休學，回家管理家園。母親原希望他成為一個農民，幫助自己管理家庭農場，所以時常叫他幹些農活。可是牛頓對讀書著了迷，放羊時，他只顧在一旁看書，結果羊吃了鄰居的莊稼，派他去買東西，他看起書來就什麼都忘了，結果是忘記買東西，空手而回。這段自修期間，他常常思考大自然的道理，作他喜愛的手工藝，也為他的妹妹作玩具娃娃，小風車。
1658年9月的一天，狂風大作，人們都躲在家裡，唯獨牛頓在大路上著了魔似地一會兒順風跑，一會兒又逆風跑，原來他是在測試順風和逆風的速度差，以便計算風力的大小。這一年天上出現彗星，人們惶恐不安的關閉門窗，躲在屋裡不敢出來，牛頓卻對此不以為然，他把小燈籠綁在風箏上，悄悄的放上天空，偽裝成彗星，後來鄉里知道是牛頓的惡作劇，就責備他，他說：「真正的彗星就跟這盞燈籠一樣，絕不是不詳之兆，沒有什麼可怕。」
格蘭薩姆中學的校長斯托克（Henry Stokes）和牛頓當神父的威廉舅舅（也是劍橋大學三一學院畢業）別具慧眼，看到了牛頓表現出來的好學精神，說服了牛頓的媽媽允許他重返格蘭薩姆中學就讀。
三、 進入劍橋大學三一學院
1661年6月，18歲的牛頓以優異的成績從中學畢業，並經校長斯托克的推薦，進入劍橋大學三一學院，在大學時，他是屬於一定要幫學校工作才能減免學費的減費生。他一面在學生餐廳裡服務，一面讀書。1664年，他獲得了獎學金。
牛頓剛進人大學時，三一學院還在講授一些古板經院式的課程，如邏輯、古文、神學等。兩年之後，三一學院出現了新氣象。由盧卡斯（Lucas）出資設立了一個數學講座，開始講授自然科學知識，如物理、天文和數學課程。
講座的第一任教授巴羅（I. Barrow）是一位博學的科學家，被譽為歐洲最優秀的學者，他引導牛頓踏進了自然科學的大門。使牛頓逐步掌握歐幾裡得的《幾何原本》、笛卡兒（R. Descartes）的《幾何學》、刻蔔勒（J. Kepler）的《世界和諧》、伽利略的《關於兩大世界體系的對話》，以及巴羅教授的數學和光學講義。1665年初，牛頓大學畢業並獲文學學士學位。比牛頓大12歲的巴羅對牛頓的才華極為讚賞，他認為牛頓的數學才能超過了自己。
四、 鼠疫的流行與偉大著作
1665~1666年，倫敦瘟疫流行，劍橋離倫敦不遠，劍橋居民紛紛疏散到鄉下，學校唯恐波及也停課放假了，1665年6月23歲的牛頓只好回到故鄉烏爾斯索普。
這次的鼠疫雖然打斷了牛頓的學業，但對於他往後的事業卻有非常大的影響，因為牛頓生平的三大發現：微積分、萬有引力、和光的色散，都是在這段時間發現的。在鄉下18個月，他默默思考在學校所學的知識和疑點，終於使他發現了萬有引力，創立微積分和進行太陽光的分解實驗。
1667年3月25日，瘟疫過後，他回到劍橋大學，當選為三一學院的研究員，次年獲得文學碩士學位。但他對於在家鄉的研究成果，不作任何發表，這一緘默，使他捲入無數次的爭論中。1668年，牛頓被選為巴羅教授的助手，協助他整理光學和幾何學講義，牛頓自己也寫了數篇光學和數量的論文，得到巴羅教授的好評，同年牛頓獲得碩士學位，不久倫敦皇家獎勵自然科學協會，也因為牛頓發明新型「反射式望遠鏡」，保舉他為會員。1669年10月27日，巴羅教授宣稱牛頓的知識已經超過他，主動讓出自己的盧卡斯教授講座，這樣年僅26歲的牛頓就成為教授。1670年，牛頓開始在劍橋大學正式上課，由於他的思想新穎艱深，很少人能理解，加上他平淡、低沉的聲音，聽課的學生，寥寥無幾。1672年起，他被選為皇家學會會員。
1687年，牛頓的巨著「自然哲學的數學原理」出版，這是他從事科學的顛峰。
在1690年代，牛頓寫許多宗教的小冊子，討論聖經的字面解釋。亨利.摩爾（Henry More）在宇宙的信念和拒絕笛卡爾二元論，這些都可能影響牛頓的宗教思想。他的手稿送到洛克（John Locke），但由於一直有爭論，三一學院從未公佈。
五、 踏出學術界
牛頓在大學時代結識了貴族後裔查理斯.蒙塔吉（Charles Montagu），也就是後來的哈量法克斯伯爵（Halifax），介紹了牛頓進入宮廷和上層社會。在他任財政大臣時，于1696年推薦牛頓為造幣廠督辦，1699年又升為廠長。當時，英國幣制非常混亂，牛頓運用他的冶金學知識為英國鑄造了成色十足的貨幣。雖然牛頓對政治不感興趣，但1689~1690和1701~1702年間卻當選為劍橋大學的代表，進入國會當議員。這時，因薪俸頗豐，生活富裕起來，造幣廠的工作和社會活動繁忙，牛頓對教學工作開始厭倦，1701年他辭去劍橋教授職位，退出三一學院。
1703年虎克去世後，牛頓被選為皇家學會主席，之後年年連選連任，直到1727年他離開人世。1704年，牛頓發表他的第2個重要著作光學（Opticks），這部書大部份是過去10年所已完成的研究基礎，只是為了不願意出版給虎克看到，才延遲了出版。
六、 哲人去世
1706年，牛頓因科學研究和改革幣制功勳卓著，安娜（Anne）女王賜予他貴族稱號。1722年，80歲的牛頓患了風濕病、膀胱病和膽石症。1727年2月他親自主持皇家學會在倫敦舉行的一次會議時，突然病倒。3月20日淩晨1點多，牛頓在安睡中與世長辭，享年85歲。
英國政府在西敏寺（Westminster）大教堂為他舉行了隆重的國葬典禮，王公、貴族、學者、名流，都來哀悼，他成為人類歷史上第一個獲得此項殊榮的自然科學家。牛頓終生未婚，晚年是在他的外甥女凱薩琳．巴頓（Catharine Baton）的照顧下渡過的。
七、偉大著作
牛頓他的偉大科學貢獻，對於當代和後世，都引發巨大的震撼和影響，說他是世上最偉大的科學家，應該當之無愧，現在我們再把他的成就一一詳述如下：
（一）光學研究：
牛頓的主要光學著作是1704年出版的「光學」和1728年出版的「光學講」。「光學」共有三冊，第一冊描述有關光的色散實驗和討論，第二冊描述牛頓環實驗，第三冊ˋ講的是光的繞射現象。
1. 光的理論：
（1） 光的色散：
早在1666年，牛頓就用三棱鏡來實驗光的色散現象，他發現太陽光經過三棱鏡會產生七種顏色（如圖2），但一直未發表，直到1722年，寫信給奧登堡（H. Oldenburg）才提起。
圖2：太陽光經過三棱鏡會產生七種顏色
（2）光的粒子說：
光的本質是波動或粒子，一直爭論很久，至20世紀，人們才知道光既是波動，也是粒子。有關光的特性，最早期，笛卡爾用小球的運動來解釋光的反射和折射特性，他傾向粒子說，後來在荷蘭物理及數學家「惠更斯」（C. Huygens）根據虎克（R. Hooke）的思想提出波動說，牛頓成為盧卡斯講座的教授，也教授光學，便於1672年，發表光的粒子說。在一篇「有關光和色的新理論」論文中，他認為光的直線進行、反射、折射等性質，都可以證明光具有粒子的特性。牛頓的粒子說一發表，立即受到波動說擁護者「虎克」激烈的反駁，二人於是不相來往，後來一度和解，但又發生萬有引力，究竟誰最先發現的？又開始爭辯起來。
（3）牛頓環（Newton’s Ring）
牛頓環是光的一種干涉現象，可用它來證明光具有波動性質，可惜惠更斯當時沒有去研究它，反而首先由牛頓發現，並作了十分精彩的研究。牛頓將一個平凸透鏡，放在平板上，使用單色光照射時，發現用肉眼就可以看到圓形條紋（牛頓環）如圖3，他仔細地測量前6個暗環和亮環的半徑，並找出正確的數學關係，還正確的算出故暗環和亮環處的空氣厚度，但由於他不承認光具有波動性，故未能從此實驗得出正確的理論。今天牛頓環可用光的波動理論，圓滿說明。
圖3：牛頓將一個平凸透鏡，放在平板上（上圖），使用單色光照射時，發現用肉眼就可以看到圓形條紋（牛頓環）（下圖）
2. 第一架反射式望遠鏡
1668年，牛頓為了避免折射望遠鏡的色像差，親手製作了第一具，反射式望遠鏡（如圖4），這也是一件了不起的望遠鏡重大突破。
圖4：牛頓製造的反射式望遠鏡
（二）萬有引力定律的發現
牛頓被公認為世界上最偉大的科學家，最主要原因可能是因為發現了萬有引力定律。關於牛頓發現萬有引力定律的軼事，非常膾炙人口。
傳說牛頓在倫敦大鼠疫時，在鄉下老家居住時，一個怡人的秋夜，坐在蘋果樹下，一面望著月亮，一面沉思。忽然一顆蘋果掉落到地上。牛頓立刻想到：「為什麼所有的東西一旦失去支撐，就會墮落，月亮沒有什麼東西支撐著，那麼月亮為什麼不會下墮呢？」牛頓想到一定是地球有一種力量吸引著它。這個故事，最初被記載在著名哲學家「伏爾泰」（F.M.A. Voltaire）的著作中，其來源據說得自牛頓的甥女「凱薩琳．巴頓」（Catharine Baton）。但究竟有沒有蘋果的故事？多年來一直是人們討論的事，但根據牛頓在1714年的信件，可以證明，在倫敦大鼠疫時，牛頓就已發現萬有引力定律。他在信上寫道：
「這一年，我開始想到月球繞地球是靠著重力，我也從刻蔔勒的行星繞太陽的週期平方和該行星繞太陽的平均距離的立方成正比的關係，推斷使行星保持在橢圓軌道運行的力量，必定與行星到軌道中心距離的平方成反比。我把月球保持在它繞地球所需的力和地球表面的重力作比較，發現二者幾乎相等。這些發現都是1665年和1666年鼠疫年代所想出來的。」
牛頓後來將他的引力定律加以研討與發揮，成為萬有引力定律，即：宇宙間的每一個物質與其他物質之間均會有互相吸引的力量，此力量與二物質品質的乘積成正比，與二者距離平方成反比。他又創立計算慧星軌道的法則，也證明太陽與月亮的引力是促成地球海洋發生潮汐的原因。
（三）巨著「自然哲學的數學原理」與牛頓運動三大定律
1687年，牛頓出版了他劃時代經典著作「自然哲學的數學原理」，這本書可說是科學發展的歷史過程中最重要的一個里程碑，它不僅奠定了天體力學的基礎，而且使古典力學形成一個完整的體系。是一部結構嚴謹的科學著作。被稱為17世紀物理與數學的百科全書。
「自然哲學的數學原理」的出版，完全出於偶然，當時著名的年輕天文學家哈雷（E. Halley）為思考：「什麼的引力，會使行星繞太陽？」這個問題在倫敦皇家學會辯論很久，當哈雷向牛頓請教時，牛頓立刻說是平方成反比的引力，當他知道牛頓在二年前就已經算出來時，大感驚訝！向牛頓索取時，牛頓因書桌上雜亂，找不到原稿，又迅速計算出來，交給哈雷。這時哈雷才知道，牛頓雜亂的書桌上，堆滿許多尚未發表的巨著。他遂建議由他斥資，將至這份著作出刊，牛頓也同意這個看法。這本書共分三篇，內容如下：
1. 第一篇，首先對一系列力學基本名詞，如品質、動量、慣性、力、 向心力，下了定義。接著陳述著名的牛頓運動三大定律。這三大定律是：
(1) 第一運動定律：物體不受外力時，靜者恒靜止，動者沿一直線作等速運動。
(2) 第二運動定律：物體的動量的改變率，等於作用於物體的外力。
(3) 第三運動定律：凡有一作用力，同時必有一反作用力，二者量相 等，而方向相反。
此外，第一篇中還提出了嚴謹的天體力學理論，向心力和運動軌道之間的數學關係。並證明了「在與距離平方成反比的作用下，物體將沿圓錐曲線運動，引力中心在圓錐曲線的一個焦點上，此外還證明了球體引力與品質集中在球心的質點相同。」
2. 第二篇討論有阻力之下的運動，是流體力學的開端。書中提出阻力大小與物體速度的一次及二次方成正比的公式。還研究了氣體的彈性和可壓縮性，以及空氣中的聲速等問題，這為牛頓提供了一個展示他數學技巧的舞臺。他在這一篇，批評笛卡爾的漩渦理論。
3. 第三篇系以前面二篇為基礎，推導運動規則，去解釋自然界的現象，討論了太陽系的行星、行星的衛星和彗星的運行，以及海洋潮汐的產生，最後以「論宇宙體系」作為總結。
（四）微積分的發明
牛頓在數學方面劃時代的貢獻是發明微積分，1665年5月20日，牛頓開始寫「流數法」（也就是我們現代所稱的微積分）。牛頓稱連續變數為「流動量」（fluent或 flowing quantities），用u、v、x、y、x來表示。稱這些流動量的導數為流動率（fluxion of the fluent），或叫速度（velocities）。用小數點來表示，如 
分別表示x、y、x的流動率。時間是所有x、y、x流動量的引數， 相當於萊布尼茲（G.W. Leibniz）的dx/dt, dy/dt, dz/dt的符號。牛頓雖然在大學時，就創造了微積分，可是除了巴羅教授以外，他沒有向任何人提起，直到1736年才發表，在這期間，萊布尼茲也提出幾乎相同的方法，引起英國學界與德國學界，為了誰是微積分的發明人，爭論不休。
分別表示x、y、x的流動率。時間是所有x、y、x流動量的引數， 相當於萊布尼茲（G.W. Leibniz）的dx/dt, dy/dt, dz/dt的符號。牛頓雖然在大學時，就創造了微積分，可是除了巴羅教授以外，他沒有向任何人提起，直到1736年才發表，在這期間，萊布尼茲也提出幾乎相同的方法，引起英國學界與德國學界，為了誰是微積分的發明人，爭論不休。
（五）最速降線（brachistochrone）問題
1696年，瑞士數學家約翰.伯努利（John Bernoulli）提出一道問題向全世界數學家挑戰，他提出的問題是「設A、B二點（不在垂直線上），且A點高於B點，求一曲線，使一質點在重力的作用下，從高點A沿著此曲線下滑到低點B的時間最短。」它的答案是擺線（解答如圖7）。
這個問題後來因為導致數學「變分學」的產生，格外出名。當英國皇家協會收到這個問題後，就交給牛頓，第二天牛頓就將問題解答出來，他把答案不附簽名寄給約翰.伯努利，伯努利一看就知道是牛頓的傑作。他說：「看到爪印，就知道是老虎的。」意思是說，看到解答的迅速和詳實，就知道是牛頓准沒錯。
圖5：從高點A沿著此擺線下滑到低點B的時間最短。
（六）在數值分析上，牛頓也佔有一席的地位，貢獻很多。最著名的有牛頓法，它是求非線性方程式f(x)=0的實根x0近似值的一種方法其他尚有三八律可計算積分的近似值、牛頓插值公式。
（七）三次曲線研究
牛頓三叉線的方程是為：xy= ax3+ bx2+cx+ d(a≠0)的三次曲線，它與x軸有一個或三個交點。若d≠0，則y軸為漸近線若d＝0，則方程式可分解為x＝0（y軸）和y＝ax2+bx+c（拋物線）。牛頓在「光學」這部著作中的附錄，發表了「三次曲線」的近似解法，用解析幾何的方法研究三次曲線。
（八）圓周率π值的計算
牛頓也曾將π值計算到十六位元的數字，這是1742年，牛頓死後才出版的，一本「求導與無窮級數方法」得到此結果。這個方法用現代符號計算如下：
如圖8，先用積分求曲線下的面積為：
再利用他發現的二項式定理得：
由(1)和(2)得：
以x=1/2代入，
得：
得：
如此牛頓一口氣算出16位元數字的π值。
圖6：牛頓算π的圖形
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