商空间 余切空间 四维时空的黎曼流形中，切空间与余切空间就不能等同。在坐标变换下，切空间中的逆变矢量与余切空间中的协变矢量，变换规律是不同的。从物理学的意义上举一个例子：测地线上某一点处的切矢量，是该点切空间中的矢量（四速度矢量）；而该点处的四动量矢量，是该点余切空间中的矢量

四维时空的黎曼流形中，切空间与余切空间就不能等同。在坐标变换下，切空间中的逆变矢量与余切空间中的协变矢量，变换规律是不同的。从物理学的意义上举一个例子：测地线上某一点处的切矢量，是该点切空间中的矢量（四速度矢量）；而该点处的四动量矢量，是该点余切空间中的矢量

一般定义切空间都是用我们比较熟悉的坐标系定义的，然后再证明切空间不依赖坐标系的选择。陈书这里直接从流形上的标量函数这个无关坐标系的概念出发，得到余切空间，切空间，好处是直接说明这些概念是流形内隐的，具有所谓数学的纯粹性。不好的是对非数学专业的或初学人士显得抽象，因为要用到**等价类，商**等这样一些抽象代数的概念

帖子貌似要沉了。我这里补充几句解释一下几个概念。
先说等价关系，等价关系就是集上定义的具有自反性，对称性，传递性这三中性质的集的一个分类（或者说剖分）。举个例子比如今天去班里上课的学生，他们可能各有不同，但你总能找到一个关系把他们分类。把他们按衣服颜色分类，蓝色的一类，红色的一类等等。很明显衣服的a同学与自身衣服颜色相同，具有自反性。同学b和同学c颜色相同，则同学c与同学b颜色相同，具有对称性。a与b颜色相同，b与c相同，则a与c相同，具有传递性。再定义一个关系如血缘关系，很明显这不是一个等价关系，比如你和你的父母有共同祖先，但这个关系不能由你传递给你的父母，你的父母本来祖先就不同。等价关系将**分成了两两不相交的**，按等价关系两**要么相等要么不相交，这些**的并等于原**。商集和就是某个等价关系的全体，可以选取等价类的代表元素来表示他，当然附加某些结构，就成为商环，商群，商空间等等。


polik:

函数是映射的最简单例子。算子是稍微"高级"一点的映射。
如果映射将一个集合的一些元素全部映射到"单位"元素（加法的零或乘法的一），则这些元素形成一个叫核（ker）的子集合。原物集合中的ker之所以重要，被单独列出，归根到底还是因为像集合里的"单位"元素独特。他跟本集合内任何一个元素作用（例如相乘）还是该元素本身。因此核内任何一个元素与本集合内任何非核元素相乘所得结果必在核外，否则他会被映到单位素。原来ker乃初中之国，独立王国是也。因此，每一个核外元素与全体核内元素可以产生一共同类，是为等价类。可以通过与核内元素建立关连的元素属于同一等价类。由此立得不同等价类的元素必不相同。整个集合就可以按等价类拆分，因而集合元素是核内元素之整数倍。
显然，同一个集合的核是可变的因为核与映射有关。改变映射，核的元素会变。这个核，随集合对应物改变而有很多别名，正则子空间，理想，不变子空间，正则子群，不变子群等等，看官且留意他们是亲姊妹。他也是投影或射影的最一般描述。投影空间（商空间）即为原空间对某个（正则）子空间取商的结果。
集合到本身的映射，即自映射，有一个特例：他给出两个元素经过映射成另一个元素，凡夫俗子称这种映射为运算，加减乘除之类。配有乘法的集合叫群，配有乘法（半群─即没有相应的除法）和加法（群）的叫环，若进一步配有加乘皆为群（即有加减乘除）的集合叫体（或域）。（比较怪异的运算是所谓求模运算以及交换运算。因此，还有一些特别的集合如模空间，配有交换关系一个集合的叫一个代数。）
群这个字值得稍微多花一点笔墨。他是只配有一种运算（乘法）的集合，因而最简单，研究得最彻底，但应用也最广。数霸喜欢谈抽象群，就是只谈元素和乘法，而我们数学贫民
喜欢知道具体的元素是啥，乘法到底是怎样做的。把元素和乘法具体化，抽象群就会灵魂附体，现出原形，即所谓的群表示。具体化需要一个场所，即表示空间。我讲一下，"表示"这个词是误用，"表演"才反映真意。但现在没办法改了。
我们看一个三正角形的对称性。表演空间是我们通常的二维欧氏空间，元素就是转动，相乘就是两个转动接续进行。穿越三角形重心与三角形平面垂直的轴为转动轴。转120度，240度都会回到原样。可见正三角形的对称群的三个元素表现为：不动（单位素），转120度，转240度。如果将二维空间写成二维向量空间，上述三个转动可以用矩阵表现出来，即三个特殊的转动矩阵。这种元素数目有限的群叫有限群。将群元素当作空间的一点，群本身又成为一个空间。正三角形的对称群空间为三个点（位于圆周上）形成的离散空间。
显然可以有无限群，甚至还有连续群。假如将上述正三角形换成圆盘，转动群就变成连续群了，可以用角度做参数化，用离散化的李代数表示。此时群空间（整个圆周）也是连续的。
群可以用元素加上"乘法或操作"构成，此处"乘法/操作"是广义的二元运算，这个刚才讲了，其实此处"元素"也可以是广义的，这

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• 21楼
• 2012-12-18 23:17

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  rnzjh: 事实上，商群、商空间利用的是一种特殊的等价关系——同余关系，同余关系可诱导出商集上的运算，并且原**到商集的映射是同态映射,同态映射就是保持运算关系的满射,需要注意的是，在这里不会是单射。
  

  举报 | 2012-12-29 02:44 回复
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  rnzjh: 可以说，如果彻底理解了什么是同余关系，就具有了理解数学所需的一半基础。另一半是拓扑性质。
  

  举报 | 2012-12-29 02:48 回复
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• 巫毒璨
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这个p点开领域的光滑函数的全体无法构成线性空间，因为f（p）＝g（p）＝0的函数无限多，不唯一，不满足构成线性空间的条件，所以按上面的等价关系形成的商空间函数牙就是选取了值为0的等价类中的一个函数作为唯一的零元。
Hp是Fp的字空间，Fp中元素v1－v2如果属于Hp，就令v1＝v2，这是也是一个等价关系，确定了Fp的一个分类。这个关系下商空间Fp/HP仍是线性空间。

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• 22楼
• 2012-12-18 23:33

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• 巫毒璨
• GZK

  8

这里的一个写在两个函数中间的类似句号的符号，是函数复合符号满足结合律和分配律，但不满**换律。f。g（）意思就是f（g（t）），f。g＝f。h。h^（－1）。g，如果h。h^（－1）是连续函数。

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• 24楼
• 2012-12-18 23:43

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  巫毒璨: 写错了，是h●h^（－1）
  

  举报 | 2012-12-18 23:46 回复
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• 巫毒璨
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  8

定理2.2系1性质3 的证明，设g和G，这样按套路算可以得到，不要直接微分，现在没告诉你df是微分。

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• 25楼
• 2012-12-18 23:49

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式2.19用到了正交曲线坐标系

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• 26楼
• 2012-12-18 23:50

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  wolfking97: “正交曲线坐标系”的说法有点意思，不过也容易误导。这里其实是取了坐标函数u^i给出的由u^i=u^i(p)确定的超曲面经过p点的法向曲线（拉回到欧氏空间就是我们平常xyz坐标下的坐标轴）。这个时候应该还没有度量吧，所以不会有内积和正交的概念。
  

  举报 | 2012-12-20 06:57 回复
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  8

当给出y的一个等价关系y～y'时，Γp由此也形成了一个线性空间，这时〈，〉很明显就是一个内积。后面的共轭变换和量子力学算符的共轭转置是一样的，这里是线性空间间的线性变换。

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• 27楼
• 2012-12-18 23:57

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  wolfking97: 通常我们把这个叫做配对，不叫内积。内积是同一个线性空间中两个矢量的一种乘积，上面的<,>是对偶空间中的元素（也叫线性泛函）在空间上的作用。
  

  举报 | 2012-12-20 07:16 回复
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• 巫毒璨
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  8

个人理解有限，欢迎吧友补正。

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• 28楼
• 2012-12-18 23:59

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• 
• 叶世杰2
• QGP

  6

一般定义切空间都是用我们比较熟悉的坐标系定义的，然后再证明切空间不依赖坐标系的选择。陈书这里直接从流形上的标量函数这个无关坐标系的概念出发，得到余切空间，切空间，好处是直接说明这些概念是流形内隐的，具有所谓数学的纯粹性。不

什么叫“余切丛”和“余切空间”？ [复制链接]

duality duality 当前离线 注册时间 2008-1-28 最后登录 2013-1-23 在线时间 23 小时 阅读权限 10 积分 1 帖子 200 精华 0 UID 261 注册会员 注册会员, 积分 1, 距离下一级还需 49 积分 串个门 加好友 打招呼 发消息	电梯直达 1# 发表于 2011-9-19 14:18:14 |只看该作者 |倒序浏览 分享到： 学分析力学的时候，有这么几个概念：切丛、切空间、余切丛和余切空间。 前两者好理解，后两者就不好理解了。 后两者是不是抽象的概念？有几何意义吗？
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PENG_Bo PENG_Bo 当前在线 注册时间 2008-2-18 最后登录 2013-3-20 在线时间 886 小时 阅读权限 150 积分 119 帖子 2121 精华 7 UID 312 超级版主 串个门 加好友 打招呼 发消息	2# 发表于 2011-9-19 16:14:10 |只看该作者 differential form生活在cotangent space里。
	Essentially, all models are wrong, but some are useful. // In the long run, we are all dead.
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duality duality 当前离线 注册时间 2008-1-28 最后登录 2013-1-23 在线时间 23 小时 阅读权限 10 积分 1 帖子 200 精华 0 UID 261 注册会员 注册会员, 积分 1, 距离下一级还需 49 积分 串个门 加好友 打招呼 发消息	3# 发表于 2011-9-19 20:54:54 |只看该作者 回复 2# 的帖子 谢谢博兄！ 不过还是没明白过来，你说的是“微分形式生活在余切空间里”吗？ 这和我的问题有联系吗？
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星空浩淼 星空浩淼 当前离线 注册时间 2008-1-13 最后登录 2013-3-20 在线时间 1640 小时 阅读权限 150 积分 323 帖子 4374 精华 15 UID 16 超级版主 串个门 加好友 打招呼 发消息	4# 发表于 2011-9-19 21:04:13 |只看该作者 回复 1# 的帖子 凭借记忆回答两句，不一定准确 切矢量的对偶矢量是余切矢量。 把矢量映射为一个数值，得定义内积和对偶矢量。内积是矢量与对偶矢量之间的运算。如果矢量空间与对偶矢量空间等同，那么内积就是矢量与矢量之间的内积。量子力学中的<φ|与|ψ>，就是互为对偶的矢量；用矩阵表达矢量时，列矩阵与行矩阵，就是矢量与对偶矢量。在微分几何中，可以用对坐标的偏微分符号表示切矢量空间的基矢(如d/dy)，可用来展开逆变矢量；而坐标的微分（如dx），则可表示对偶的切矢量空间——即余切矢量空间中的基矢，可用来展开协变矢量。二者之间的内积，如(d/dy, dx)=dx/dy=1 (x=y) 或0 (x≠y). 流形上某一点的切矢量的集合可构成该点的切空间，相应地，该点处的余切矢量集合可构成该点的余切空间。流形上所有点的切空间集合构成切丛（此时流形被称之为底空间）；同理，流形上各点的余切空间集合，构成余切丛。可见，切丛对应切空间与底空间的乘积空间（还是应该说成是直和空间？请其他人补充吧）；余切丛类推。 [ 本帖最后由 星空浩淼 于 2011-9-19 21:05 编辑 ]
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freshman freshman 当前离线 注册时间 2009-11-13 最后登录 2013-3-19 在线时间 539 小时 阅读权限 10 积分 0 帖子 328 精华 0 UID 2528 注册会员 注册会员, 积分 0, 距离下一级还需 50 积分 串个门 加好友 打招呼 发消息	5# 发表于 2011-9-19 21:27:00 |只看该作者 切空间里面的向量描述过这点的一条无穷短的曲线，余切空间里面的向量描述这点附近无穷小的范围内定义的函数。两者的对偶就是“函数”沿着这个“曲线”切方向的导数。 原帖由 duality 于 2011-9-19 01:18 发表 学分析力学的时候，有这么几个概念：切丛、切空间、余切丛和余切空间。 前两者好理解，后两者就不好理解了。 后两者是不是抽象的概念？有几何意义吗？ ...
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czy czy 当前在线 注册时间 2009-11-4 最后登录 2013-3-20 在线时间 160 小时 阅读权限 10 积分 0 帖子 264 精华 0 UID 2498 注册会员 注册会员, 积分 0, 距离下一级还需 50 积分 串个门 加好友 打招呼 发消息	6# 发表于 2011-9-20 22:57:04 |只看该作者 举一个平凡的例子，在一点处的切空间同构于，你可以认为基底是，而一点处的余切空间就是其对偶空间，可以认为一组基底是，其中。一般的流形局部也是类似。 [ 本帖最后由 czy 于 2011-9-20 22:58 编辑 ]
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星空浩淼 星空浩淼 当前离线 注册时间 2008-1-13 最后登录 2013-3-20 在线时间 1640 小时 阅读权限 150 积分 323 帖子 4374 精华 15 UID 16 超级版主 串个门 加好友 打招呼 发消息	7# 发表于 2011-9-21 08:31:00 |只看该作者 回复 6# 的帖子 为了好理解，最好都采用坐标基：既然余切空间中的基矢用dx1和dx2表示，那么切空间中的基矢，相应地为d/dx1和d/dx2。在这里，我同d/dx表示关于x的偏微分。 不过，楼主如果不具备相关的一些基础知识，前面的回复对楼主而言可能就用处不大
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abada abada 当前离线 注册时间 2009-5-22 最后登录 2013-3-20 在线时间 2621 小时 阅读权限 100 积分 54 帖子 2398 精华 4 UID 1217 版主 串个门 加好友 打招呼 发消息	8# 发表于 2011-9-21 09:25:23 |只看该作者 几何 一个皮球，上面一点的切面就是其"切空间"。即通过这点的球面上的各曲线所有切线所构成的空间。 上述切空间是平面，但对超过三维的超球体，切空间就可超过二维了。 切空间有基矢，建立坐标系（坐标架）。 如果这些基矢都是正交的，那么"余切空间"与切空间就没有区别。 如果切空间各基矢是斜交的，那么余切空间与切空间就有区别了： 切空间是逆变基矢表示，余切空间是协变基矢表示。几何上，通过切空间建立余切空间的图示如下，要点是将斜交的基矢逐个变为正交的新基矢，虽然最终得到的仍然是斜交的新基矢组，但新基矢组已经够成余切空间： http://blog.sina.com.cn/s/blog_3fd642cf0100id3c.html [ 本帖最后由 abada 于 2011-9-21 09:29 编辑 ]
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blackhole blackhole 当前在线 注册时间 2008-1-14 最后登录 2013-3-20 在线时间 1505 小时 阅读权限 150 积分 84 帖子 1990 精华 3 UID 41 超级版主 串个门 加好友 打招呼 发消息	9# 发表于 2011-9-23 15:34:36 |只看该作者 回复 8# 的帖子 你这种对余切空间的理解是不对的。 余切空间是切空间的对偶空间，即切空间上线性函数构成的线性空间。这是两个不同的空间，而你那里只有一个空间。 如果线性空间中还附加了内积这种代数结构，那么，在某种意义上，原线性空间本身可以视为其对偶空间，即矢量和其对偶矢量可认为生活在同一个空间里。但此时要注意：与某个矢量对偶的矢量是依赖于内积的定义的。内积定义不同，其对偶矢量不同。 以前是有相关讨论的。
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ccmmjj126 ccmmjj126 当前离线 注册时间 2010-6-2 最后登录 2012-11-7 在线时间 43 小时 阅读权限 10 积分 10 帖子 140 精华 1 UID 2967 注册会员 注册会员, 积分 10, 距离下一级还需 40 积分 串个门 加好友 打招呼 发消息	10# 发表于 2011-9-23 15:42:25 |只看该作者 终于有我喜欢的说法了。blackhole版主的这个讲法就是我以前读书时的东西。
	食不厌精，脍不厌细；生我之门，死我之户。
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abada abada 当前离线 注册时间 2009-5-22 最后登录 2013-3-20 在线时间 2621 小时 阅读权限 100 积分 54 帖子 2398 精华 4 UID 1217 版主 串个门 加好友 打招呼 发消息	11# 发表于 2011-9-23 16:33:53 |只看该作者 回复 9# 的帖子 与你所说哪点不对？ 注意图中两个空间：一个是逆变基矢e_1, e_2 和 e_3张成的空间（切空间），另一个是协变基矢e^1, e^2 和 e^3张成的空间（余切空间）。 看图中，两空间的对偶关系： e^1与e_2 和 e_3的内积都为0 （正交）， e^1与e_1的内积为1. 同理，e^2与e_1 和 e_3的内积都为0 （正交）， e^2与e_2的内积为1. e^3与e_2 和 e_1的内积都为0 （正交）， e^3与e_3的内积为1. 总之，当逆变基矢与协变基矢的附标相同时内积为1， 附标不同时内积为0（正交）.    也就是δ. （内积图示出来就是投影。内积为0就是正交；内积为1并非重合，因为度量系数不一定为1） [ 本帖最后由 abada 于 2011-9-23 16:48 编辑 ]
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星空浩淼 星空浩淼 当前离线 注册时间 2008-1-13 最后登录 2013-3-20 在线时间 1640 小时 阅读权限 150 积分 323 帖子 4374 精华 15 UID 16 超级版主 串个门 加好友 打招呼 发消息	12# 发表于 2011-9-23 20:14:35 |只看该作者 回复 11# 的帖子 等你学过一点微分几何了，你就知道你为何错了。在这之前，别人怎么讲解都没有用
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abada abada 当前离线 注册时间 2009-5-22 最后登录 2013-3-20 在线时间 2621 小时 阅读权限 100 积分 54 帖子 2398 精华 4 UID 1217 版主 串个门 加好友 打招呼 发消息	13# 发表于 2011-9-23 22:52:24 |只看该作者 回复 12# 的帖子 那些复杂抽象的概念，历史上原本就起源于能直观看到的几何的不断推广。比如，图示只能是最简单的三维，多维只要推广一下即可，几何图示只能拿三维画。对偶空间图示只能画在一个空间里。 回到简单的情景图示，才可显示其本源以便直观理解。 这些概念最初都来源于仿射几何，根据我图示的内容： 1、切空间就是逆变基矢张成的空间，余切空间就是协变基矢张成的空间。 2、各逆变基矢之间的关系（投影）是逆变度量系数，各协变基矢之间的关系（投影）是协变度量系数。(统称为度规。) 3、逆变矢量与协变矢量可做对偶内积(对偶投影)。 逆变基矢与协变基矢的关系是对偶内积(投影)为δ.  （克罗内克尔符号。附标相同时为1，附标不同时为0). 4、投影为0，可图示为正交；否则示为斜交。 [ 本帖最后由 abada 于 2011-9-24 06:59 编辑 ]
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abada abada 当前离线 注册时间 2009-5-22 最后登录 2013-3-20 在线时间 2621 小时 阅读权限 100 积分 54 帖子 2398 精华 4 UID 1217 版主 串个门 加好友 打招呼 发消息	14# 发表于 2011-9-23 23:12:26 |只看该作者 仿射几何，投影几何，解析几何 --------->>>微分几何
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czy czy 当前在线 注册时间 2009-11-4 最后登录 2013-3-20 在线时间 160 小时 阅读权限 10 积分 0 帖子 264 精华 0 UID 2498 注册会员 注册会员, 积分 0, 距离下一级还需 50 积分 串个门 加好友 打招呼 发消息	15# 发表于 2011-9-24 00:54:44 |只看该作者 原帖由 abada 于 2011-9-23 16:33 发表 与你所说哪点不对？ 注意图中两个空间：一个是逆变基矢e_1, e_2 和 e_3张成的空间（切空间），另一个是协变基矢e^1, e^2 和 e^3张成的空间（余切空间）。 看图中，两空间的对偶关系： e^1与e_2 和 e_3的内积都为0 （正交）， e^1与e_1的 ... 读起来的确有些怪异。你用e_i表示切空间的一组基，e^j表示余切空间的一组基，e_i和e^j有一个配对（或者说e^j可以作用在e_i上），进而可以得到一个数，这个最好不要用内积这个词吧。内积（或者说度量）一般都是指从到R的。
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abada abada 当前离线 注册时间 2009-5-22 最后登录 2013-3-20 在线时间 2621 小时 阅读权限 100 积分 54 帖子 2398 精华 4 UID 1217 版主 串个门 加好友 打招呼 发消息	16# 发表于 2011-9-24 05:10:51 |只看该作者 回复 15# 的帖子 《李群》（邵丹，邵亮等著）Page.28页，把这种配对关系就叫“对偶内积”。
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freshman freshman 当前离线 注册时间 2009-11-13 最后登录 2013-3-19 在线时间 539 小时 阅读权限 10 积分 0 帖子 328 精华 0 UID 2528 注册会员 注册会员, 积分 0, 距离下一级还需 50 积分 串个门 加好友 打招呼 发消息	17# 发表于 2011-9-24 08:52:52 |只看该作者 这个说法太少的人使用了，大概好多人会和内积混淆。 不需要有度规（度量，内积），一个有限维现性空间的任意一组基可以决定对偶空间的一组对偶基。 原帖由 abada 于 2011-9-23 16:10 发表 《李群》（邵丹，邵亮等著）Page.28页，把这种配对关系就叫“对偶内积”。
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星空浩淼 星空浩淼 当前离线 注册时间 2008-1-13 最后登录 2013-3-20 在线时间 1640 小时 阅读权限 150 积分 323 帖子 4374 精华 15 UID 16 超级版主 串个门 加好友 打招呼 发消息	18# 发表于 2011-9-24 12:15:47 |只看该作者 回复 13# 的帖子 在有些情形下，对偶空间与原空间同构，此时可以把对偶空间与原空间当做是同一个空间，例如量子力学中的Hilbert空间常常如此，但是在概念上对偶空间与原空间仍然是不同的。 在闵可夫斯基时空，当用虚数描述时间时，协变矢量与逆变矢量之间的区别消失，此时矢量没有逆变与协变之分。但在四维时空的黎曼流形中，切空间与余切空间就不能等同。在坐标变换下，切空间中的逆变矢量与余切空间中的协变矢量，变换规律是不同的。从物理学的意义上举一个例子：测地线上某一点处的切矢量，是该点切空间中的矢量（四速度矢量）；而该点处的四动量矢量，是该点余切空间中的矢量。你不能说，速度空间与动量空间是同一个空间。
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abada abada 当前离线 注册时间 2009-5-22 最后登录 2013-3-20 在线时间 2621 小时 阅读权限 100 积分 54 帖子 2398 精华 4 UID 1217 版主 串个门 加好友 打招呼 发消息	19# 发表于 2011-9-24 13:46:24 |只看该作者 这或许需要说明一下。诸如画三维，并非仅限于三维，而是可以推广到多维。 画中貌似同一个空间，其实可以像平行宇宙。 逆变矢量只能生活于逆变基矢张成的切空间中，协变矢量只能存在于协变基矢张成的余切空间里。 换言之，一个矢量要么是逆变矢量，要么是协变矢量；前者只能用逆变基矢分解，后者只能用协变基矢分解。 但两个空间（平行宇宙）并非没有联系。分别自两空间的两矢量可做投影（对偶内积），不同空间的两基矢的对偶内积（投影）是克罗内克尔符号----可图示为两空间异附标基矢的正交性。 （同一个空间中的两基矢做投影并非对偶投影，而是可得到度量系数（度规）。 [ 本帖最后由 abada 于 2011-9-24 13:50 编辑 ]
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blackhole blackhole 当前在线 注册时间 2008-1-14 最后登录 2013-3-20 在线时间 1505 小时 阅读权限 150 积分 84 帖子 1990 精华 3 UID 41 超级版主 串个门 加好友 打招呼 发消息

20# 发表于 2011-9-24 15:53:00 |只看该作者 回复 11# 的帖子 我知道你是什么意思，固体物理里面的倒易矢就如此。 切空间和余切空间（或线性空间和其对偶空间）首先是两个不同的空间，没有一个元素既属于原空间，又属于其对偶空间。在你那里，这两个空间是重合的。 实际上，这一套用于初步熟悉上下指标还是合适的（我最开始就是从这个入手的），但仅止于此。