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齐民友 齊民友
（武汉大学数学与统计学院武汉 （武漢大學數學與統計學院武漢
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关于积分学的发展 關於積分學的發展
积分学的历史比较微分学早得多，古希腊时代的穷竭法（还有中国的割圆术和祖 積分學的歷史比較微分學早得多，古希臘時代的窮竭法（還有中國的割圓術和祖
日 日
桓原理）都是 桓原理）都是
早期的积分学。 早期的積分學。 关于积分的理解，同样也因什么是无穷小，什么是不可分量而遇到困扰。 關於積分的理解，同樣也因什麼是無窮小，什麼是不可分量而遇到困擾。 即令我们 即令我們
把这些问题暂时放在一边，古代的穷竭法也只能用于一些最简单的曲线所成图形的面积。 把這些問題暫時放在一邊，古代的窮竭法也只能用於一些最簡單的曲線所成圖形的面積。 例如卡 例如卡
瓦列里用数列求和方法实际上得到了不定积分 瓦列裡用數列求和方法實際上得到了不定積分
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是正整数。 是正整數。 但是牛顿把微分学的思想用到积分问题上，看到了积分运算是微分运算在某种意义 但是牛頓把微分學的思想用到積分問題上，看到了積分運算是微分運算在某種意義
下的逆运算，也就是发展了不定积分的思想。 下的逆運算，也就是發展了不定積分的思想。 莱布尼兹则主要从定积分思想看出了积分运算是微 萊布尼茲則主要從定積分思想看出了積分運算是微
分运算的逆。 分運算的逆。 总之，我们得到了现在以牛顿———莱布尼兹公式著称的公式。 總之，我們得到了現在以牛頓———萊布尼茲公式著稱的公式。 即设若 即設若
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不定积分，则它一定也是原函数，而且任意两个原函数只相差一个常数，所以 不定積分，則它一定也是原函數，而且任意兩個原函數只相差一個常數，所以
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有系统的处理法。 有系統的處理法。 这样一来，微积分才成了真正可以应用的理论。 這樣一來，微積分才成了真正可以應用的理論。 因此，公式（ 因此，公式（
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）就被称为微积分 ）就被稱為微積分
的基本定理。 的基本定理。 当然，在当时，积分的概念并不清楚，而且牛顿和莱布尼兹当时所遇到的函数无非是 當然，在當時，積分的概念並不清楚，而且牛頓和萊布尼茲當時所遇到的函數無非是
一些很简单的初等函数。 一些很簡單的初等函數。 到哥西发表他的著名的几本教科书时，我们也就有了现时我们了解的积 到哥西發表他的著 名的幾本教科書時，我們也就有了現時我們了解的積
分理论。 分理論。 现在我们都称这个积分为黎曼积分，其实应该称为哥西积分。 現在我們都稱這個積分為黎曼積分，其實應該稱為哥西積分。
哥西的积分理论的对象是连续函数的积分（当然许可 哥西的積分理論的對像是連續函數的積分（當然許可
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）在某些点上不连续，或者无界，即 ）在某些點上不連續，或者無界，即
是包括了我们现在所说的反常积分），而黎曼考虑的对象则是使得积分和极限存在（或如达布说的 是包括了我們現在所說的反常積分），而黎曼考慮的對象則是使得積分和極限存在（或如達布說的
上、下积分相等）的函数类，亦即所谓黎曼可积函数类。 上、下積分相等）的函數類，亦即所謂黎曼可 積函數類。 黎曼可积函数许可更多的不连续点。 黎曼可 積函數許可更多的不連續點。 现在我 現在我
们已经明白， 們已經明白，
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）为黎曼可积的充分必要条件是它几乎处处连续。 ）為黎曼可 積的充分必要條件是它幾乎處處連續。 为什么要研究具有不连续点的 為什麼要研究具有不連續點的
函数呢？ 函數呢？ 黎曼自己说，尽管不一定具有物理上的重要性（后来的事实证明并不如此），在数学上却是 黎曼自己說，儘管不一定具有物理上的重要性（後來的事實證明並不如此），在數學上卻是
十分重要的。 十分重要的。 一个直接的来源是付立叶级数的研究。 一個直接的來源是付立葉級數的研究。 许多物理问题都导至不连续函数的付立叶级数 許多物理問題都導至不連續函數的付立葉級數
问题，因此必需讨论它们的积分。 問題，因此必需討論它們的積分。 处理这类问题自然需要更细致、更有力的数学工具。 處理這類問題自然需要更細緻、更有力的數學工具。 因此积分理 因此積分理
论，特别是它的发展在数学推理的严格性方面要求更高。 論，特別是它的發展在數學推理的嚴格性方面要求更高。 当时数学的发展已经使人们能够作这种严 當時數學的發展已經使人們能夠作這種嚴
格、细致的推理，但是今天的学生却感到困难！ 格、細緻的推理，但是今天的學生卻感到困難！ 下面举一个例子。 下面舉一個例子。 当 當
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）仅为黎曼可积时，（ ）僅為黎曼可 積時，（
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）式的 ）式的
证明有了困难，因此现在通行的证法中应用了 證明有了困難，因此現在通行的證法中應用了
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连续。 連續。 达布提出了以下证明（引自菲赫金哥尔茨，《微积分学教程》，第二卷，第一册， 達布提出了以下證明（引自菲赫金哥爾茨，《微積分學教程》，第二卷，第一冊，
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定理 定理
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高等数学研究 高等數學研究
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（上海）上的大会报告 （上海）上的大會報告
万方数据 萬方數據
证 證
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）在有限多个点上不成立时也是有效的，只要把这有 ）在有限多個點上不成立時也是有效的，只要把這有
限多个点列入分点之内即可。 限多個點列入分點之內即可。
这个证明虽然很漂亮，特别是它用了一个极简单的等式（ 這個證明雖然很漂亮，特別是它用了一個極簡單的等式（
$ $
），但是并未解决问题。 ），但是並未解決問題。 因为黎曼可积 因為黎曼可 積
函数只是几乎处处连续，而把所有不连续点都归入分点之内是办不到的。 函數只是幾乎處處連續，而把所有不連續點都歸入分點之內是辦不到的。 因此就产生了一个问题， 因此就產生了一個問題，
微积分的基本定理对黎曼可积函数应怎样来陈述和证明呢？ 微積分的基本定理對黎曼可 積函數應怎樣來陳述和證明呢？
另一个例子是关于二重积分化为逐次积分问题。 另一個例子是關於二重積分化為逐次積分問題。 设 設
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2 2
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第 第
3 3
卷第 卷第
4 4
期 期
齐民友：从微积分的发展看微积分的教学（续一） 齊民友：從微積分的發展看微積分的教學（續一）
万方数据 萬方數據
曼可积函数积分为 曼可積函數積分為
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，则此函数几乎处处为 ，則此函數幾乎處處為
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，这件事证明起来却非易事。 ，這件事證明起來卻非易事。 而对勒贝格可积函数，这 而對勒貝格可積函數，這
却容易证明，因此对于勒贝格积分，（ 卻容易證明，因此對於勒貝格積分，（
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）式那样的结果确是成立的。 ）式那樣的結果確是成立的。
从上面两个例子可以看到，哥西积分确实比较简单。 從上面兩個例子可以看到，哥西積分確實比較簡單。 而一旦要考虑可能在一个零测度集上不连 而一旦要考慮可能在一個零測度集上不連
续的黎曼可积函数，一些本来十分自然的结果都变得很难证明了，甚至可能不成立。 續的黎曼可 積函數，一些本來十分自然的結果都變得很難證明了，甚至可能不成立。 特别是不能在 特別是不能在
积分号下求极限，亦即黎曼可积函数类缺少完备性。 積分號下求極限，亦即黎曼可 積函數類缺少完備性。 所以黎曼积分有内在的局限性。 所以黎曼積分有內在的局限性。
但是黎曼积分仍然是不可代替的，其原因之一在于它是积分和的极限。 但是黎曼積分仍然是不可代替的，其原因之一在於它是積分和的極限。 这件事实有两个方面的 這件事實有兩個方面的
特点：其一是它包含了“极限”的因素。 特點：其一是它包含了“極限”的因素。 这一点从古希腊起就为人注意了。 這一點從古希臘起就為人注意了。 两千年来人们下了大力气 兩千年來人們下了大力氣
就是为的解决这个问题。 就是為的解決這個問題。 现在我们这已经很明确了，不必多谈了。 現在我們這已經很明確了，不必多談了。 于是就应该把注意力放在其另一 於是就應該把注意力放在其另一
个方面：它是一个离散和的极限，这个离散和有十分突出的组合学的特点。 個方面：它是一個離散和的極限，這個離散和有十分突出的組合學的特點。 其一是（ 其一是（
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），则上式求“极限”以后立即就给出分部 ），則上式求“極限”以後立即就給出分部
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有许多积分学的结果——— 只要是可以从积分和求极限得出的——— 常可以这样由组合学的结 有許多積分學的結果———只要是可以從積分和求極限得出的———常可以這樣由組合學的結
果得出。 果得出。 其中最重要的是斯托克斯公式。 其中最重要的是斯托克斯公式。 有关于它的两个最重要的结果 有關於它的兩個最重要的結果
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其实都是 其實都是
来自很简单的组合学事实。 來自很簡單的組合學事實。 关键只有一点，要能把积分写成黎曼积分和的极限。 關鍵只有一點，要能把積分寫成黎曼積分和的極限。 所以有人说积分就 所以有人說積分就
是组合学加上一点点极限。 是組合學加上一點點極限。 这是很有道理的。 這是很有道理的。
上面我们从哥西的积分走到黎曼的积分，就是考虑从连续走向某一类不连续函数。 上面我們從哥西的積分走到黎曼的積分，就是考慮從連續走向某一類不連續函數。 那么不连续 那麼不連續
函数进入我们的视野以后，给我们带来的是什么？ 函數進入我們的視野以後，給我們帶來的是什麼？ 在整个十九世纪，人们都是以为凡反映大自然规 在整個十九世紀，人們都是以為凡反映大自然規
律的函数总是相当光滑的。 律的函數總是相當光滑的。 雅可比把这些函数称为“合理的函数”。 雅可比把這些函數稱為“合理的函數”。 黎曼虽然开始了不连续函数的积 黎曼雖然開始了不連續函數的積
分学的研究，也以为它只具有数学上的重要性，而不一定具有物理意义。 分學的研究，也以為它只具有數學上的重要性，而不一定具有物理意義。 但是物理学的发展并非如 但是物理學的發展並非如
此。 此。 自牛顿完成了物理科学的第一次大综合（由此产生了微积分学和它们许许多多分支）以后，现 自牛頓完成了物理科學的第一次大綜合（由此產生了微積分學和它們許許多多分支）以後，現
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高等数学研究 高等數學研究
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年 年
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月 月
万方数据 萬方數據
在公认在二十世纪前有两次大的飞跃。 在公認在二十世紀前有兩次大的飛躍。 第一次是由于研究气体的分子运动而产生了统计物理学，第 第一次是由於研究氣體的分子運動而產生了統計物理學，第
二次是研究电磁现象而产生的麦克斯韦理论（这个理论本质上是相对论性质的）。 二次是研究電磁現象而產生的麥克斯韋理論（這個理論本質上是相對論性質的）。 至于量子物理则 至於量子物理則
是二十世纪的产物了。 是二十世紀的產物了。 这些新的伟大综合在数学上都有自己的反映，或者说是与新的数学理论互相 這些新的偉大綜合在數學上都有自己的反映，或者說是與新的數學理論互相
推动与摧生。 推動與摧生。 这些新的数学理论自然不属于微积分的范畴，应该放在另外一门课程中去。 這些新的數學理論自然不屬於微積分的範疇，應該放在另外一門課程中去。 但是在微 但是在微
积分课程中向学生介绍还有这么一回事是很有好处的。 積分課程中向學生介紹還有這麼一回事是很有好處的。 麦克斯韦的分子运动论认为气体由“无数 麥克斯韋的分子運動論認為氣體由“無數
个”互相碰撞的分子组成，因而作无规的随机运动。所以如果要问某一个具体的分子在特定时刻的 個”互相碰撞的分子組成，因而作無規的隨機運動。所以如果要問某一個具體的分子在特定時刻的
位置在哪里是没有意义的，而只能问该分子位置在 位置在哪裡是沒有意義的，而只能問該分子位置在
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之间的概率是多少。 之間的概率是多少。 所以若指定一 所以若指定一
个分子并去研究这个分子在特定时刻的具体状况是没有意义的 個分子並去研究這個分子在特定時刻的具體狀況是沒有意義的
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与此类似还有布朗运动 與此類似還有布朗運動
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物理学 物理學
家佩韩（ 家佩韓（
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）在研究布朗运动时就指出，这个 ）在研究布朗運動時就指出，這個
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）应该就是一个处处不可求导的连续函数。 ）應該就是一個處處不可求導的連續函數。 所 所
以一旦进入了这个物理学领域，就不可避免地要求讨论那些看起来全属“病态”的函数。 以一旦進入了這個物理學領域，就不可避免地要求討論那些看起來全屬“病態”的函數。 现在问怎 現在問怎
样讨论 樣討論
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在勒贝格积分创造过程中，这些创造者是否考虑过它与分子运动论的关系？ 在勒貝格積分創造過程中，這些創造者是否考慮過它與分子運動論的關係？ 目前还没有材料说 目前還沒有材料說
明，而我们仅知道勒贝格的老师，测度理论的首创者波莱尔确曾考虑到这一点，而且为此还写了《论 明，而我們僅知道勒貝格的老師，測度理論的首創者波萊爾確曾考慮到這一點，而且為此還寫了《論
分子运动》一文。 分子運動》一文。 但我们确实知道，维纳（控制论的祖师爷，随机过程理论的首创者之一）在二十世 但我們確實知道，維納（控制論的祖師爺，隨機過程理論的首創者之一）在二十世
纪初研究吉卜斯的统计物理时，得知了勒贝格积分，特别是用勒贝格积分和（ 紀初研究吉卜斯的統計物理時，得知了勒貝格積分，特別是用勒貝格積分和（
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）以代替黎曼积分 ）以代替黎曼積分
和，引入测度（ 和，引入測度（
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）来推广长度，他大喜过望，认为这正是适合研究随机现象之的数学（以上见维纳的 ）來推廣長度，他大喜過望，認為這正是適合研究隨機現象之的數學（以上見維納的
自传《我是数学家》）。 自傳《我是數學家》）。 确实，当代的概率论正是以测度作为基础的。 確實，當代的概率論正是以測度作為基礎的。 总之，由于积分概念的发展，我们 總之，由於積分概念的發展，我們
已经进入了牛顿后的物理学的一个大领域。 已經進入了牛頓後的物理學的一個大領域。
与黎曼积分比较，勒贝格积分克服了它的许多缺点，特别是有了完备性。 與黎曼積分比較，勒貝格積分克服了它的許多缺點，特別是有了完備性。 但是这是有代价的，即 但是這是有代價的，即
勒贝格积分和（ 勒貝格積分和（
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）不是线性的，而且它没有明显的组合学特点。 ）不是線性的，而且它沒有明顯的組合學特點。 勒贝格测度的基本性质 勒貝格測度的基本性質
是它的可数可加性，即由 是它的可數可加性，即由
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第 第
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卷第 卷第
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期 期
齐民友：从微积分的发展看微积分的教学（续一） 齊民友：從微積分的發展看微積分的教學（續一）
万方数据 萬方數據
言而喻的结果，在勒贝格积分理论中证明起来就很费口舌。 言而喻的結果，在勒貝格積分理論中證明起來就很費口舌。 这时常使学生们感到困难。 這時常使學生們感到困難。
有了这种推广了的积分理论，使我们得到许许多多的函数类，或称函数空间。 有了這種推廣了的積分理論，使我們得到許許多多的函數類，或稱函數空間。 例如 例如
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（特别是 （特別是
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），索波列夫空间乃至广义函数空间，大多是由积分理论而来。 ），索波列夫空間乃至廣義函數空間，大多是由積分理論而來。 各种空间提供了处理种种数学与 各種空間提供了處理種種數學與
物理问题的框架，给我们极大的方便。 物理問題的框架，給我們極大的方便。 说它们是空间，自然是着眼于它们的构造有类似于 說它們是空間，自然是著眼於它們的構造有類似於
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几何特性。 幾何特性。 我们既然已经花了一两千年功夫才弄清最常用又最重要的空间 我們既然已經花了一兩千年功夫才弄清最常用又最重要的空間
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的特性，如完备性、 的特性，如完備性、
紧性、连通性、…… 自然就会想到把它们用到各种空间。 緊性、連通性、……自然就會想到把它們用到各種空間。 这一次由于微积分的基本概念早已弄清楚 這一次由於微積分的基本概念早已弄清楚
了。 了。 人类再用不着花几百年功夫，也用不着再依靠哲学思辨。 人類再用不著花幾百年功夫，也用不著再依靠哲學思辨。 逻辑的标准已经明确，最完美的典型 邏輯的標準已經明確，最完美的典型
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已经树立，从二十世纪初开始提出拓扑空间概念到布尔巴基著名的《数学原理》出版于二十世 已經樹立，從二十世紀初開始提出拓撲空間概念到布爾巴基著名的《數學原理》出版於二十世
纪三、四十年代，成了人们公认的讲法，其间不过几十年。 紀三、四十年代，成了人們公認的講法，其間不過幾十年。 真可谓“一万年太久，只争朝夕”。 真可謂“一萬年太久，只爭朝夕”。 不妨说， 不妨說，
这都是抽象的逻辑框架给人类的回报！ 這都是抽象的邏輯框架給人類的回報！
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场论 場論
这是通常在微积分教学中的一个难点。 這是通常在微積分教學中的一個難點。 它给学生的印象是烦琐、难算、难记，似乎没有什么用， 它給學生的印像是煩瑣、難算、難記，似乎沒有什麼用，
除了在物理学与工程中的某些部门中起了一种简化计算的作用以外。 除了 在物理學與工程中的某些部門中起了一種簡化計算的作用以外。 著名的应用数学家金斯在讲 著名的應用數學家金斯在講
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算子时就说过：“让它自己去做那些微分运算去”。 算子時就說過：“讓它自己去做那些微分運算去”。 其实， 其實，
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用起来还有不少“人为”的，说不出 用起來還有不少“人為”的，說不出
道理来的“规定”（微积分的这一部分多的正是这样的规定），所以 道理來的“規定”（微積分的這一部分多的正是這樣的規定），所以
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并不能自动地做运算，还得学 並不能自動地做運算，還得學
生们来做，而且一个不小心就出大错。 生們來做，而且一個不小心就出大錯。 为什么会出现这个情况，还得从历史讲起。 為什麼會出現這個情況，還得從歷史講起。
场的概念，首先是电磁场的概念来自法拉第。 場的概念，首先是電磁場的概念來自法拉第。 麦克斯韦继承和发展了法拉第的思想，概括了他 麥克斯韋繼承和發展了法拉第的思想，概括了他
以前电磁学的全部成就，而且自己作了极重要的贡献（提出了位移电流概念），完成了现在以他命名 以前電磁學的全部成就，而且自己作了極重要的貢獻（提出了位移電流概念），完成了現在以他命名
的电磁理论。 的電磁理論。 这是牛顿以后物理学的另一次伟大综合。 這是牛頓以後物理學的另一次偉大綜合。 麦克斯韦理论本质上是相对论性质的。 麥克斯韋理論本質上是相對論性質的。 有了 有了
这个理论，爱因斯坦的狭义相对论也就呼之欲出了。 這個理論，愛因斯坦的狹義相對論也就呼之欲出了。 按照法拉第和麦克斯韦的理论，电场和磁场用 按照法拉第和麥克斯韋的理論，電場和磁場用
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）来表示。 ）來表示。 因此，从数学上来研究向量这样一种对象就是不可少 因此，從數學上來研究向量這樣一種對象就是不可少
的了。 的了。 人们可能都以为一开始向量就被定义为有大小，有方向的量。 人們可能都以為一開始向量就被定義為有大小，有方向的量。 不是的，向量进入数学一开始就 不是的，向量進入數學一開始就
是与公理化的倾向相联系的。 是與公理化的傾向相聯繫的。 可能最早可以追溯到波尔查诺。 可能最早可以追溯到波爾查諾。 他在 他在
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年发表了一本关于初等几 年發表了一本關於初等幾
何基础的书，就把点、线、面作为无定义的元素，并考虑它们的运算。 何基礎的書，就把點、線、面作為無定義的元素，並考慮它們的運算。 以后则有莫比鸟斯等人。 以後則有莫比鳥斯等人。 矩阵是 矩陣是
凯莱在 凱萊在
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年提出的，他已认识到矩阵可以用来表示各种不同类型的量例如四元数。 年提出的，他已認識到矩陣可以用來表示各種不同類型的量例如四元數。 而最重要的 而最重要的
数学家应该是格拉斯曼，关于格拉斯曼的思想我们下面再介绍。 數學家應該是格拉斯曼，關於格拉斯曼的思想我們下 面再介紹。
至于物理上的量是否用向量来表示，也经历了一个过程。 至於物理上的量是否用向量來表示，也經歷了一個過程。 例如复数可以用一对实数来表示，这 例如復數可以用一對實數來表示，這
一点可以追溯到 一點可以追溯到
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年阿尔干。 年阿爾幹。 然后就应该提到哈密尔顿把复数定义为二维向量。 然後就應該提到哈密爾頓把複數定義為二維向量。 当然，哈密尔顿 當然，哈密爾頓
想到如何把复数推广到高维情况，并且经过十多年艰苦努力终于提出了四元数的理论。 想到如何把複數推廣到高維情況，並且經過十多年艱苦努力終於提出了四元數的理論。 相当一段时 相當一段時
间，人们都看好四元数，而麦克斯韦则力主用向量来刻划场。 間，人們都看好四元數，而麥克斯韋則力主用向量來刻劃場。 现在有关向量的许多概念都始自麦克 現在有關向量的許多概念都始自麥克
斯韦。 斯韋。 介绍这一段历史是为了说明，向量概念的引入一开始就是与代数领域中的公理化、形式化的 介紹這一段歷史是為了說明，向量概念的引入一開始就是與代數領域中的公理化、形式化的
倾向密不可分的。 傾向密不可分的。 其后逐步在物理学与工程领域被广泛接受，起大作用的人一是美国物理学家吉卜 其後逐步在物理學與工程領域被廣泛接受，起大作用的人一是美國物理學家吉卜
斯。 斯。 他写的《向量分析基础》（ 他寫的《向量分析基礎》（
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）是他在耶鲁学院的讲义，并未公开出版，但广为人知，（直 ）是他在耶魯學院的講義，並未公開出版，但廣為人知，（直
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，才与威尔逊合作成了《向量分析》一书）。 ，才與威爾遜合作成了《向量分析》一書）。 另一人是英国工程师海维赛德。 另一人是英國工程師海維賽德。 他们都是把向量 他們都是把向量
分析作为一个简单便捷的记号系统来介绍的。 分析作為一個簡單便捷的記號系統來介紹的。 现在我们的教学中实际上都倾向于这一种讲法。 現在我們的教學中實際上都傾向於這一種講法。 因 因
此，对向量的本质没有下力气。 此，對向量的本質沒有下力氣。 讲线性代数则是着重于具体的矩阵计算。 講線性代數則是著重於具體的矩陣計算。 这样讲向量其后果是到了 這樣講向量其後果是到了
后来反而难以前进，而且本来以为学生们会喜欢简便的讲法，其实也不一定能遂初衷：学生们不但 後來反而難以前進，而且本來以為學生們會喜歡簡便的講法，其實也不一定能遂初衷：學生們不但
觉得难，而且觉得繁，而得不到要领。 覺得難，而且覺得繁，而得不到要領。 （未完待续） （未完待續）
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高等数学研究 高等數學研究
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