度规的意义 度量y轴时所用的单位长度和方向称为y轴的度规，记做Dy。就是＝(Dy]0,1y

：度量y轴时所用的单位长度和方向称为y轴的度规，记做Dy。就是＝(Dy]0,1y


定义4：有无穷个度规供我们选择，我们选定其中的一个称为单位度规，它的向量定义为1。记做Dx，即Dx=1。由单位度规确定的数轴我们称为单位数轴或x轴。
在欧几里得几何学上通常用英文字母为点命名，同时认为点是没有大小和方向的，这样的点我们称为欧几里得点或欧氏点。数轴上的点我们称为数轴点。由于数轴点生成的特殊性，数轴点又与欧氏点有不同的性质。数轴点是由度规度量直线生成的，因此，度规也决定了数轴点的性质。我们认为数轴点是有大小和方向的。


确定一个物理量大小和方向的过程我们称为度量。这是一个由已知量通过函数关系找到未知量的过程。这个函数关系我们称为度量函数。在人类以往的度量概念中，度规是必须存在的，也就是度量函数必须可导。
度量过程有两个要素，一个是已知量（包括实数），一个是度量函数。


在物理学的研究中是物理量对物理量的度量。如果用时间去度量路程，速度就是度规。用电流去度量电压，电阻就是度规。如果用实数去度量物理量，量纲就是度规。这个观念给定积分运算带来了好处，只要分清楚那个量是已知量，那个量是度规，就可以通过积分运算来求未知量。



度规的意义
王小舟
齐齐哈尔广播电视大学，黑龙江齐齐哈尔（161005）
E-mail：wangxiaozhou168@163.com
摘要：本文以数轴为工具定义了度规和度规积分的概念，同时证明了在一定条件下度规积分与黎曼积分等价。度规积分从另一个角度揭示了微积分的基本性质。最后指出度规是基于度量的概念，度量离不开度规的存在。
关键词：度规；度规积分；度规导数；变度规实数轴；度规度量
中图分类号：o172；o4－34 文献标识码：A
1. 引言
很久远的从前，人们就开始了对微积分探讨。320年前，牛顿和莱布尼兹做了其中最重要的工作，这就是被称作微积分基本定理的牛顿——莱布尼兹公式。
在莱布尼兹看来，微分dx是一个无穷小量，而积分则是无穷多个无穷小量f(x)dx的和。莱布尼兹使用的微积分的记号一直沿用至今。[1]
莱布尼兹时代微积分的基础并不牢固，于是又有几代的数学家为此作出了艰苦的努力。150年前，Riemann给出了现代数学分析教程中的和式极限的定积分定义。140年前，Weierstrass给出了严格的ε-δ语言的极限定义。120年前，Cantor给出了完备的实数理论。到此可以认为微积分已经建立了牢固的基础。微积分是许多代人智慧的结晶，我们可以列出很长一串为微积分作出过贡献的数学家们的名单。[2] [3]
现在人们对于微积分的理解与莱布尼兹时代已经大不相同了，例如莱布尼兹的无穷小量已经被大多数数学家抛弃了。[1] [4] [5]
目前的微积分的理论是不是已经完美了，至少我认为不是这样。暂且不说无穷小量的概念是否合理，就定积分被解释作曲边梯形的面积，导数被解释作切线的斜率来说，这个解释看不出积分和微分作为互逆运算有什么直接的联系。微积分的理论在人类认知大自然过程中具有特殊的重要意义，没有微积分的理论不可能把人送上月球，也不可能把探测器送上火星。微积分的理论在数学结构中具有特殊的重要意义，没有微积分的理论许多数学分支将失去基础。一个事物可以从多个角度去观察和研究，从另一个角度去定义微分和定积分，从另一个角度揭示微积分的基本性质，这个工作是有意义的。
2. 实数轴
我们承认实数轴的存在，并认为实数轴是对直线度量的结果。实数轴上的点与实数是一一对应的。在一条直线上定义了原点、度量方向和单位长度以后，由欧几里得几何的尺规概念可以确定实数轴上所有的有理点，由实数理论则可以定义实数轴上的所有无理点。[1] [6]
在一条直线上定义了不同的原点、度量方向和单位长度会定义出不同的实数轴。所有的实数轴组成一个集合QR。QR中的实数轴y简称为数轴y或y轴。
定义1：把一个已知数轴上的点所对应的实数称为这个点在这个数轴上的名称。
实数是实数集合的一个元素也表示数轴上的一个点，一个连续的实数的集合也表示数轴
- 1 -



上连续的点的集合。数轴上连续的点的集合是一个有方向的直线、射线或线段。以后我们可以用实数集合的区间符号表示数轴上点的集合。
定义2：y轴上的点的集合(],ab称为y轴上的一个向量，记做(],yab。
上面向量符号可以表示点的集合也可以表示向量的大小和方向。为了节约篇幅和便于读者理解，暂时不讨论负向量。
3. 度规 度规微分 度规积分 度规导数 变度规实数轴
定义3：度量y轴时所用的单位长度和方向称为y轴的度规，记做Dy。就是＝(Dy]0,1y。
在度量y轴时Dy不变，称Dy为常度规，y轴为常度规数轴。对y轴的度量可以表述为(]0,yaaD= 。在y轴上可以推出
(],(yabbDyaDybaDy=−=− (1)
于是有
(],yabbDyaDyDybaba−==−− (2)
公式（1）和公式（2）揭示了实数轴上度规和向量关系的本质。公式（1）是已知度规求向量的问题，我们称作常度规实数轴的积分问题。公式（2）是已知向量求度规的问题，我们称作常度规实数轴的微分问题。下面有两个例子。
例1：已知y轴上Dy＝1cm 则 (]3,5y＝5×1cm－3×1cm＝（5－3）cm＝2cm
例2：已知(]3,3.001z＝2光年 则 Dz＝2光年/(3.001－3)＝2000光年
数轴上一个很小的向量就可以求出度规，或者说知道一个点a与邻近点的向量就可以求出度规，这被称为度规的微分性质。用数学语言描述就是：对任意的λ＞0有
(],yaaDyλλ+= (2′) (常度规实数轴的微分公式)
定义4：有无穷个度规供我们选择，我们选定其中的一个称为单位度规，它的向量定义为1。记做Dx，即Dx=1。由单位度规确定的数轴我们称为单位数轴或x轴。
在欧几里得几何学上通常用英文字母为点命名，同时认为点是没有大小和方向的，这样的点我们称为欧几里得点或欧氏点。数轴上的点我们称为数轴点。由于数轴点生成的特殊性，数轴点又与欧氏点有不同的性质。数轴点是由度规度量直线生成的，因此，度规也决定了数轴点的性质。我们认为数轴点是有大小和方向的。
给定数轴上一点a，对任意一点b由度规方向就能知道它在a点的哪一侧，这个性质称作数轴点的方向。给定点的集合(],ab，在不同的数轴上(],ab线段占有空间的情况也不同，度规长数轴上的线段也长，这个性质称作数轴点的大小。
定义5：把y轴上点的大小和方向记做dy，称为y轴上点的微分，且dyDydxDx=。



我们可以把dy理解作Dy度量出来的点。不妨把本文定义的微分dy称为关于度规Dy的无穷小量。首先无穷小量dy是一个可以度量的量，它可以用实数来表达，由定义4和定义5可知dx就是它的度规。其次无穷小量dy用Dy度量时它的大小是0。
定义6：用符号ba()Ddy∫表示(],yab，称为y轴上a到b的度规定积分，于是
(](),()byaDdyabbaDy==−∫ （1′）(常度规实数轴的积分公式)
定义7：称DyDx为度规导数,记做,
xy。于是 dydx=,xy。就有
＝Dy,xyDx （3）
＝dy,xydx （4）
下面我们用到的函数f(x) x(∈-∞,+∞)单调增加、处处可导并且导函数连续。
定义8：将x轴上f(x)点的名称改称为x，就得到一个新的实数轴，称作f(x)轴。这一类的实数轴称为变度规数轴。于是(](]()(),(),xfxfafbab=。
定理1：在()fx轴上(](),()fxabfbfa=−
证明：(](][](),(),()()()()()fxxabfafbfbfaDxfbfa==−= ▍
在常度规数轴上引入的微分和度规定积分的概念和符号也可以延伸到变度规数轴，f(x)轴上a点到b点的度规定积分记做()()baDdfx∫，于是
()()baDdfx∫＝(](),()fxabfbfa=− （1”）
类似公式（2′）可以定义变度规数轴f(x)上点度规的概念。
定义9：在变度规数轴()fx上，x点的度规(]()0,()limfxxxDfxλλλ→+= （2”）
定理2 ：＝()Dfx()fxDx′ (5）
证明：(]()0,()limfxxxDfxλλλ→+=(]0(),()limxfxfxλλλ→+=0()()limfxfxDxλλλ→+−= 0()(lim fxfλ λλ→+−是数学分析中函数f(x)在x点的右导数，f(x)处处可导，于是
＝()Dfx()fxDx′ ▍
＝y()fx时，由公式（3）和公式（5）可知,
xy＝()fx′，度规导数与导数等价，以后可以把度规导数称为导数。由公式（4）可知在变度规数轴f(x)上，x点的微分
()dfx＝()fxdx′ （4′）
数学分析教程中的微分[7] [8]和我们这里定义的微分在哲学意义上是等价的。
如果写出()fxdx′＝，()dfx()fx应当理解作()fx′的任意一个原函数。




我们可以把dy理解作Dy度量出来的点。不妨把本文定义的微分dy称为关于度规Dy的无穷小量。首先无穷小量dy是一个可以度量的量，它可以用实数来表达，由定义4和定义5可知dx就是它的度规。其次无穷小量dy用Dy度量时它的大小是0。
定义6：用符号ba()Ddy∫表示(],yab，称为y轴上a到b的度规定积分，于是
(](),()byaDdyabbaDy==−∫ （1′）(常度规实数轴的积分公式)
定义7：称DyDx为度规导数,记做,
xy。于是 dydx=,xy。就有
＝Dy,xyDx （3）
＝dy,xydx （4）
下面我们用到的函数f(x) x(∈-∞,+∞)单调增加、处处可导并且导函数连续。
定义8：将x轴上f(x)点的名称改称为x，就得到一个新的实数轴，称作f(x)轴。这一类的实数轴称为变度规数轴。于是(](]()(),(),xfxfafbab=。
定理1：在()fx轴上(](),()fxabfbfa=−
证明：(](][](),(),()()()()()fxxabfafbfbfaDxfbfa==−= ▍
在常度规数轴上引入的微分和度规定积分的概念和符号也可以延伸到变度规数轴，f(x)轴上a点到b点的度规定积分记做()()baDdfx∫，于是
()()baDdfx∫＝(](),()fxabfbfa=− （1”）
类似公式（2′）可以定义变度规数轴f(x)上点度规的概念。
定义9：在变度规数轴()fx上，x点的度规(]()0,()limfxxxDfxλλλ→+= （2”）
定理2 ：＝()Dfx()fxDx′ (5）
证明：(]()0,()limfxxxDfxλλλ→+=(]0(),()limxfxfxλλλ→+=0()()limfxfxDxλλλ→+−= 0()(lim fxfλ λλ→+−是数学分析中函数f(x)在x点的右导数，f(x)处处可导，于是
＝()Dfx()fxDx′ ▍
＝y()fx时，由公式（3）和公式（5）可知,
xy＝()fx′，度规导数与导数等价，以后可以把度规导数称为导数。由公式（4）可知在变度规数轴f(x)上，x点的微分
()dfx＝()fxdx′ （4′）
数学分析教程中的微分[7] [8]和我们这里定义的微分在哲学意义上是等价的。
如果写出()fxdx′＝，()dfx()fx应当理解作()fx′的任意一个原函数。



的向量(],xab＝有f(x)轴的向量＝ba−()badfx∫(](),fxab＝()()fbfa−与之对应。
图中的n是整数
n+7 (b,b)
n+6 b
n+5 x
n+4
n+3 a
n+2 （a,a）
n+1 a b
n n n+1 n+2 n+3 n+4 x n+5 n+6 n+7 f
图1微积分在变度规直角坐标系下的几何解释
如果把x轴看作时间，把f(x)轴看作物体运动的位移过程，()fx′就是速度。当时间由x轴的时刻a流逝到时刻b，物体就由f(x)轴上的a点按速度()fx′移动到b点，移动的向量是f(b)－f(a)。这个解释告诉我们这样一个事实，在f(x)轴上包含了更多的信息：点的名称是时间（自变量）、函数值的变化是位移（定积分）、点的度规是速度（导数）。
6. 关于度规的哲学思考
度规的概念是由实数轴引入的，实数轴是由对直线度量得到的，度规就是对直线度量的规。不同的物理量可以理解作QR中的不同的实数轴。对物理量的度量等价于对实数轴的度量。度规是基于度量的概念，就像度量不是纯数学问题一样，度规也不是纯数学概念，度规也可以是对其它物理量度量的规。
确定一个物理量大小和方向的过程我们称为度量。这是一个由已知量通过函数关系找到未知量的过程。这个函数关系我们称为度量函数。在人类以往的度量概念中，度规是必须存在的，也就是度量函数必须可导。
度量过程有两个要素，一个是已知量（包括实数），一个是度量函数。
在数学的研究中是实数对实数的度量。一种情况是通过已知的度量函数由已知量求未知量，量的性质由定义域和值域决定。这种情况导数就是度规。求导数是微分问题。另一种情况是由已知量和已知导数找到度量函数从而求出未知量。这是积分问题。微分和积分是度量过程中的互逆问题。
在物理学的研究中是物理量对物理量的度量。如果用时间去度量路程，速度就是度规。用电流去度量电压，电阻就是度规。如果用实数去度量物理量，量纲就是度规。这个观念给定积分运算带来了好处，只要分清楚那个量是已知量，那个量是度规，就可以通过积分运算来求未知量。
在人类的实践过程中可以定义广义的度量概念，由已知量通过函数关系找到未知量的过




程中不要求函数可导，此时度规可能不存在。为了区别这两种情况，我们把度规存在的度量称为度量或度规度量，而度规不存在的度量则必须在度量的前边加上度量的性质——例如概率度量——以示区别。人们应当注意这两种不同性质的度量。
我们现在用的时间量是一个度规度量的概念。度量时间量的度规是原子震动的频率、地球自转的角速度或地球绕太阳运动的周期。在物理学的宇宙大爆炸理论中，经常见到用秒来描述事务发展的过程，而那个时候秒的度规并不存在，这与我们的认知是否相悖？那个时候的时间应当怎样来定义？[9]
我们知道，自然界中存在多维量，一维度规的概念可以延伸到多维度规。度规的概念在人类认知大自然的过程中是有重要意义的。
7. 后记
我赞同吴文俊院士和张奠宙教授对于微积分的评价和关于无穷小量的观点，有兴趣的读者可以参阅文献[4] [5]。本文在定义微分后的叙述中，给出了无穷小量的定义。
本文第4节的度规积分与黎曼积分等价的问题是崔伟业教授首先提出来的。
洛伦兹变换中已经有概念使用“度规”这个词语。本文发表前，我和我的大学同学崔伟业教授、张玉民教授在一起专门探讨了本文度规概念的用词问题。最后我们一致认为在中文中没有比“度规”更恰当的词语，决定用词不变，相信读者不会混淆。
1981年，我递交了毕业论文《度规的意义》，2006年加上了当年准备的答辩内容写了第二稿（仅是本文第2、3节的部分内容）。第二稿加上本文第4节的内容是第三稿。
感谢崔伟业教授、张玉民教授、陈一鸣教授、任宇光副教授、梁温媛副教授、研究生高宏阁、研究生李小宝和研究生王玮玮给予的各种支持和帮助。



参考文献
[1] R·柯朗，H·罗宾. 数学是什么？[M]. 左平 张怡慈 译. 北京：科学出版社，1985:98-103 564-567
[2] M·克莱因. 古今数学思想（第4册）[M]. 北大数学系 译. 上海：上海科学技术出版社，1981:7-50
[3] L.戈丁. 数学概观[M]. 胡作玄 译. 北京：科学出版社，1984:160-172 216-223
[4] 吴文俊院士作夏季学期讲座 强调数学教学. 新闻网讯 杨文国www.mmrc.iss.ac.cn/wtwu/060621.htm
[5] 张奠宙. 微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考[J]. 高等教育研究 2006，9(2).
[6] 项武义、微积分大意[M]. 北京：人民教育出版社，1978:11-24
[7] 江泽坚，吴智泉，周光亚. 数学分析（上册）[M]. 北京：人民教育出版社，1978:101-102 252-254
[8] 格·马·菲赫金哥尔茨. 数学分析原理（第一卷）[M]. 丁寿田译. 北京：人民教育出版社，1979:345-346
[9] 史蒂芬·霍金. 时间简史—从大爆炸到黑洞[M]. 许明贤 吴忠超 译. 长沙：湖南科学技术出版社，2001:(参考 第八章 宇宙的起源和命运 )
The meaning of DuGui
Wang Xiaozhou
Qiqihaer Broadcasting University, Qiqihaer, Heilongjiang (161005)
Abstract
This paper presents the conception of DuGui and the integration of DuGui, which are defined by the using of number axis as a tool. The equivalence between the integration of DuGui and the integration of Riemann at a certain condition is also proved in this paper. The integration of DuGui open out the basic character of calculous from another point of view. At last, it points out that the conception of DuGui is based on the measurement conception, while the conception of Measurement can not exist without the conception of DuGui.
Keywords: DuGui, Integration of DuGui, Derivative of DuGui, Real Number Axis with Variational DuGui, Mesurement of DuGui
- 7