高涌泉 作用量S(x(t))並不是一般的函數，因為一個點x無法經由S(x(t))對應到一實數，而必須有一整條路徑才可成立這對應關係，x(t)→S(x(t))。不過我們仍然可以把S(x(t))看成一個廣義的函數（泛函），而用類似微積分中求極值的辦法去求【瀏覽原件】，並證明【瀏覽原件】是牛頓方程式的解
黎曼度量的实质是在流形每一点的切空间定义了一个内积.
它在整个切丛上没有意义.
当我们谈论一个流形, 总是假定它已经是一个拓扑空间. 其它添加的结构必须与这个预先存在的拓扑相容.
如果要谈黎曼流形, 首先要在流形上加一个微分结构, 它与原来拓扑的相容性没有问题 --- 微分结构的定义本身依赖于预先存在的拓扑;
然后再指定一个二阶正定对称光滑张量场 g; 黎曼度量 g 的一个重要作用是可以用来定义流形上曲线的长度, 这样两点之间的距离可以定义连接两点所有曲线长度的下确界, 这样就在流形的底集合上定义了一个 "距离";
集合上的任一距离会诱导一个拓扑, 但是在黎曼流形上早就预先设定了一个拓扑, 所以如果这个有黎曼度量定义出来的距离诱导的拓扑最好与原来设定的拓扑是同一个拓扑, 所以标准的黎曼几何教材上都会就这个问题进行讨论, 而事实上新拓扑的确就是旧拓扑.
这样我们在谈论黎曼流形的时候, 连续性就没有任何歧义: 既可以用局部坐标来表达连续性, 又可以用距离来表达连续性.
在英文里, 赋予了 "距离" 的集合传统上叫做 "metric space", 这个距离传统上也叫 metric. 但是近些年由于黎曼几何在数学各个分支的渗透, 它越来越成为更基础的课程. 这样为了避免初学者混淆概念, 很多新写的教材上把原来的 "metric space" 的 "metric" 称为 "distance".
中文就更方便了, 即便把 "度量空间" 改叫做 "距离空间" 也颇为顺口.
为了强调 g 这个 "metric" 跟距离的不同, 一般都会强调说这是一个 "Riemannian metric" 而不仅仅简单叫它 "metric".
近几十年经过 Gromov 等人的工作, 很多原来在黎曼流形上研究的对象, 工具和问题, 现在已经成功地移植到了性质比较接近黎曼流形的距离空间
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