曲面是2维流形，流形要求满足第二可数性公理。因此，曲面的子曲面也满足第二可数性公理,一个曲面有可数基，就是说在曲面上的任何地盘，都可以由至多可数个小地盘拼成。不过严格说来，还要求这种地盘是“开的”

四条可数性公理小结与选择公理作者： 傅依依

第一可数性公理：在每一点处都有可数基
第二可数性公理：有可数基
Lindelof可数性公理：每一个开覆盖有可数子覆盖
可分性公理：存在一个稠密的可数子集
 
 
每一个可度量化的拓扑空间都满足第一可数性公理，第一可数性公理使得收敛序列在拓扑空间中的地位和在度量空间中的地位一样重要，比如x是A的邻接点当且仅当A有序列收敛到x；函数连续当且仅当任意序列的像也收敛到该序列极限的像。
 
PS：如果用网的概念，那么把序列换成网，并且不需要第一可数性公理就仍能成立如上论断。
 
第二可数性公理蕴涵第一可数性公理，并且不是每一个度量空间都满足该公理，但任何紧致的度量空间都满足第二可数性公理。
第二可数性公理还蕴涵Lindelof可数性公理和可分性公理，但若拓扑空间可度量化，则这三个公理互相等价。
 
遗传性：满足第一可数性公理的空间的子空间也满足第一可数性公理，第二可数性公理也有这个遗传性；满足Lindelof可数性公理的空间的闭子空间也满足Lindelof可数性公理；可分性公理没什么理想的遗传性。
 
积拓扑：满足第一可数性公理的空间的可数积也满足第一可数性公理，第二可数性公理和可分性公理也有这个可数积保持性；满足Lindelof可数性公理的空间和紧致空间的乘积也满足Lindelof可数性公理。PS：紧致性比Lindelof可数性要强。
 
连续像：这四个可数性公理都能在连续函数作用下得到保持。
 
在代数拓扑学中，一些重要的结果有曲面的同伦群和同调群、曲面的分类。曲面是2维流形，流形要求满足第二可数性公理。因此，曲面的子曲面也满足第二可数性公理，曲面的可数积也满足第二可数性公理，曲面的连续形变也满足第二可数性公理，说到这里，应该能够明白在这么严格的基础上终于可以仅凭直观来想象曲面的性态了，这就是所谓拓扑学的四两拨千斤之力。
 
曲面是啥玩意我们知道，但第二可数性公理是啥玩意？
第二可数性公理：有可数基。一个曲面有可数基，就是说在曲面上的任何地盘，都可以由至多可数个小地盘拼成。不过严格说来，还要求这种地盘是“开的”，啥叫开的就不讨论了。
 
为什么要求可数性？
我们需要把地盘想象为由至多可数个小地盘拼成，可数，就是指能数过来，我们能把自然数都给数出来，但不能把所有实数都数出来，因此这是人类理性的限制：如果数不过来，你怎么信得过有关的任何讨论呢？
 
人类笨吗？
要突破可数性的限制，就经常求助于选择公理的引入。选择公理说如果有任意多个非空盒子，则你必能从每个盒子中挑一个东西出来。有趣的是，选择公理与当前的集合论公理体系是独立的，即承认还是否定都不出现矛盾。有了选择公理，原则上就能架驽任意数量，因为选择公理和良序原理等价，良序原理说每一个集合都可以良序化，因此对任意集合，能先举出它的第一个元，然后举出它之后的元，并且必能举完。因为不可数的实数集也能良序化，因此我们能列举它任何元，但却不可能是“数”的方法，因此常常有人说“良序原理必定是错的”。
 
PS：如果涉及的是有限次和可数次选择，一般不认为是引用选择公理。因此你不必为从一个自然数中挑一个是否引用选择公理而忧心仲仲。