运动方程有多少种连续对称性...对称性是指系统所处时空的对称性，不是运动方程。一般假设的力学系统有时间平移不变性，三个空间平移不变性，两个空间旋转不变性，分别代表三种最强的守恒率。
"用拉格朗日理论很容易推出一些守恒量，以及这些守恒量的深刻根源。力学系统运动时，决定系统状态的广义坐标与广义速度随时间而变化，但这些量的某些函数，在运动时它们保持着只依赖于初始条件的恒定值。这种函数叫运动积分，也就是守恒量。用惯性参考系的一些特性，再利用拉格朗日理论很简单的就得到了这些守恒量。时间的均匀性（L不显含时间）得到能量守恒；也就是能量守恒的根源是时间的均匀性。空间的均匀性（L平移不变）得到（线）动量守恒。空间各向同性（L转动不变）得到角动量守恒。对与封闭体系，有七个守恒量（运动积分）：总能量、动量和角动量。能量是标量，只有一个分量；而动量和角动量是矢量，各有三个分量。这些守恒量和惯性参考系的时空特性深刻联系着（在牛顿力学中很难想到这些，而在拉格朗日理论中变得如此清晰）。一个量在某种变换下保持不变的性质称为相对于该变换的对称性。当拉格朗日函数L对于某个广义坐标的变化具有对称性时，就存在与该广义坐标对应的广义动量积分"
分析力学中最漂亮的理论莫过于拉格朗日力学与哈密顿力学。
直接用广义坐标来表示系统动力学性质的力学就是拉格朗日力学。这里出现了广义坐标的概念，它不同于牛顿力学中的笛卡尔坐标；应该说广义坐标比笛卡尔坐标广泛的多（当然包括笛卡尔坐标）。用牛顿力学处理约束体系问题时会非常的麻烦（当然是可以处理的），这需要用约束方程来消去不独立坐标，直到独立坐标数目等于体系的自由度数目，然后就可以解出动力学方程了。拉格朗日力学中直接用广义坐标来建立动力学方程，其中不会出现不独立坐标，体系所需要的独立坐标就是广义坐标；这就好处理多了。可以说建立一个力学体系的动力学方程所需要的独立坐标就是广义坐标；也可以说足以描述系统位置的任意量叫该系统的广义坐标。广义坐标的含义是独立参量，它可以是线量、角量或其他物理量（面积、体积、电极化强度、磁化强度等）。广义坐标的选择并不是唯一的；有许多组广义坐标都可以确定一个给定体系的状态。有时候根据具体问题选取广义坐标也是个问题，广义坐标选取的何时与否直接影响着得出的运动方程是否简单。
选取广义坐标之前需要知道该体系是一个什么样的体系；是完整约束体系（可积约束或几何约束）还是不完整（不可积）约束。约束就是对力学体系中各质点的位置，速度和加速度所加的限制，而这些约束并不能从运动方程中推出。约束可以解析的表示成约束方程，即表示成各质点的位矢、速度和加速度之间的关系式。约束物作用在系统中各质点上的力程为约束力。完整约束相对来说好处理一点，如果是微分约束那就非常的繁琐了。在完整约束中，对质点速度、加速度的限制可以化为仅仅是对质点位置的限制（当然需要一定的积分过程），在不完整约束中是做不到这些的。对于一个约束含有N个非自由质点的体系的力学问题，化为根据已知力（主动力）和已知的k个完整约束方程来求解质点系的运动规律和约束力问题；也就是，在给出符合约束方程的初始条件下联立求解运动方程和约束方程的问题（只有自己亲自出去做才能体会的到）；方程组是3N+k个标量方程，并含有6N个未知数（各位矢和约束力在坐标轴上的投影）。
从变分法的基本问题出发可推导出著名的欧拉-拉格朗日方程（我学量子场论时就是从这里开始的），它是泛函数积分式取极值的必要条件。变分法的基本问题是确定函数y（x），从而使y（x）泛函f的积分J取极值（物理上多是极小值），泛函f视为已知且积分限是固定的；而函数y（x）则要加以改变，直到J获得极值。在物理上相当于要找一条特殊路径，这条特殊路径就是物理运动真实路径。
拉格朗日方程就是用广义坐标表示的动力学方程，解该方程就给出了体系的运动状态。方程中有一个拉格朗日量（是广义坐标和广义速度的函数）是用能量表示的（而不是牛顿方程中的矢量力）。朗格朗日方程就是确定体系力学规律的方程，须用体系的广义坐标和广义速度（广义坐标的微分）来描述力学状态。拉格朗日方程是用s个独立变量来描述力学体系的运动，它和牛顿方程一样是二阶微分方程组（但比牛顿方程容易解，因为能量是标量）。
用拉格朗日理论很容易推出一些守恒量，以及这些守恒量的深刻根源。力学系统运动时，决定系统状态的广义坐标与广义速度随时间而变化，但这些量的某些函数，在运动时它们保持着只依赖于初始条件的恒定值。这种函数叫运动积分，也就是守恒量。用惯性参考系的一些特性，再利用拉格朗日理论很简单的就得到了这些守恒量。时间的均匀性（L不显含时间）得到能量守恒；也就是能量守恒的根源是时间的均匀性。空间的均匀性（L平移不变）得到（线）动量守恒。空间各向同性（L转动不变）得到角动量守恒。对与封闭体系，有七个守恒量（运动积分）：总能量、动量和角动量。能量是标量，只有一个分量；而动量和角动量是矢量，各有三个分量。这些守恒量和惯性参考系的时空特性深刻联系着（在牛顿力学中很难想到这些，而在拉格朗日理论中变得如此清晰）。一个量在某种变换下保持不变的性质称为相对于该变换的对称性。当拉格朗日函数L对于某个广义坐标的变化具有对称性时，就存在与该广义坐标对应的广义动量积分。
作为经典力学基础的牛顿三定律都可以从拉格朗日方程中推导出来；但拉格朗日力学并不是牛顿力学的另一种表述形式。拉格朗日理论的主要价值在于它采用了广义坐标作为变量，它并不限于力学量，更易于揭露物理运动的本质，用途更广。在广义坐标就是直角坐标的情况下，拉格朗日方程和牛顿方程是完全相同的。对于任何给定的力学系统，用拉格朗日方法和牛顿分析的结果都是相同的。牛顿方法强调外部原因对物体的作用（力）；而拉格朗日方法只涉及与物体有关的量（动能和势能）。在拉格朗日理论中任何时候都不引进力的概念，运动方程完全是在位形空间中以标量运算的形式而得到。能量是标量，所以拉格朗日函数对坐标变换是个不变量。这种变换可以在普通空间（有时运动方程可能非常复杂）变换到位形空间，适当选取位形空间可使某一特殊问题得到最大限度的简化。在某些情况下，要明确陈述清楚所有作用于物体上的力根本是不可能的（也是不方便的），但仍然可以给出动能和势能的表达式；这样拉格朗日理论对量子力学和量子场论很有用，因为在微观领域多时是不知道力，只知道能量。
升华的理论之理论（二）
(2010-05-25
09:08:20)
以哈密顿方程描述运动，称为哈密顿力学。哈密顿力学理论中用的变量是广义坐标和广义动量（不同于拉格朗日理论中的广义坐标的微分）；而这种广义坐标和广义动量是相互独立的，它们在哈密顿理论称为正则共轭坐标。拉格朗日方程是用S个独立变量来描述力学系统的运动，它和牛顿方程一样，是二阶微分方程组；采用正则共轭坐标可使运动微分方程由二阶降为一阶（但方程的数目由S个变为2S个），在不少情况下这种方法比拉格朗日方程求解更方便，并提供了一个在许多物理学领域内做理论推广的框架。
由朗格朗日方程可推导出哈密顿正则方程。把用广义坐标和广义速度换成用广义坐标和广义动量来描述，无非是从一组独立变量换成另一组独立变量而已，这种变换叫勒让得变换。当拉格朗日方程中的拉格朗日量函数和广义速度用哈密顿量函数和广义动量替换后的方程就是哈密顿方程了。哈密顿方程，也叫哈密顿正则方程是这样一组方程：广义坐标对时间的导数等于哈密顿量函数对广义动量的微分，广义动量对时间的导数等于负的哈密顿量函数对广义坐标的微分；它们组成2S个未知数p（t）和q（t）的2s个一阶微分方程组，代替由拉格朗日方法所得到的二阶方程。
哈密顿方程和拉格朗日方程在处理循环坐标上是有原则性不同的。在广义坐标和它对应的广义动量这一对正则共轭变量中，若某个广义坐标在哈密顿函数中不出现，那么与该坐标共轭的动量是一个运动积分，这个运动积分就是循环积分；在哈密顿函数中不出的广义坐标称为循环坐标。对于任一循环坐标，都有一对应的循环积分。若在H中是循环坐标，在L中同样也是循环坐标（通过微分关系可知），反之亦然。而这两种理论处理循环坐标的不同是因为它们所用的变量地位or关系不一样，还是？在拉格朗日方程中，拉格朗日函数对任何一个广义坐标或广义速度求偏微分时，应把其他一切广义坐标和广义速度都看作不变的常数。而在哈密顿方程中，广义坐标和广义动量本身就是独立变量，可以先用广义动量的积分常数值代入哈密顿函数以减少哈密顿函数中独立变量的数目，减少自由度，然后把结果代入哈密顿方程。
哈密顿理论中一个重要的原理就是哈密顿原理，也叫哈密顿最小作用量原理：由动力学规律（拉格朗日方程）所决定的真实运动可由泛函取极值的条件给出；这个泛函的应变量就是拉格朗日量，该泛函就叫哈密顿作用量。力学体系的真实运动是由动力学方程决定的。哈密顿原理可以从各种运动学所允许的可能运动中把真实运动挑选出来，这表明哈密顿原理本身就是动力学规律的一种表述形式。实际上确实可以从哈密顿原理导出以前所得到的各种动力学方程，因此哈密顿原理也可称作力学中的第一性原理（以后就知道它有多么的实用，场论中）。
处理任何一个动力学问题，首先总是先写出它的动力学方程，然后从数学上求解这个方程式。不论用牛顿方程、拉格朗日方程还是哈密顿方程，只要选用的广义坐标相同，所得到的微分方程组最后都是一样的；选用不同的广义坐标所得到的微分方程的形式不一样，数学上求解这些方程的难易程度可以相差很大。怎样选取广义坐标成为一个问题，想选取合适的广义坐标就要学一下正则变换。正则变换是这样一种变换：广义坐标和广义动量都变换（它们是独立的），变换后保持拉格朗日函数和哈密顿函数的定义不变，并且能保证新的哈密顿函数仍然满足正则方程。正则方程和哈密顿原理是等价的，只要使变换满足哈密顿原理的要求，就可以保证新的正则方程形式不变。正则变换可以简化新的哈密顿函数，使广义坐标尽可能的变为循环坐标。在哈密顿方程中，广义坐标和广义动量只是名称上的不同，在物理意义上并无任何差别可言，因此常把它们称为正则共轭变量。实际上任何一个力学量均可看作是正则变量，只要相应的共轭变量p，q的乘积有作用量的量纲即可，即dimpq等于dim能量乘以dim时间。
对于一个给定的力学体系，考虑一下如何判断力学量f（p，q，t）是否为运动积分。一个力学体系的性质可完全由它的哈密顿函数H决定。有了H，就可以写出正则方程，解此正则方程即可得到此力学体系的一切力学性质。用泊松括号就可以从f和H的关系中作出判断，看力学量f是否为运动积分。力学量f对时间的全微分等于f对时间的偏微分加泊松括号[H，f]（与量子力学中的对易关系比较）。可根据泊松括号的定义推出许多性质，其中向雅可比恒等式，和泊松定理（若f和g都是运动积分，则它们的泊松括号[f,g]也是运动积分）。泊松定理提供了一条寻找运动积分的新途径。
与哈密顿正则方程和哈密顿原理并列的另一理论是哈密顿-雅可比方程。在哈密顿-雅可比方程中为使新的哈密顿函数等于零（这样的方程好解），在所做的正则变换中，引入了一个哈密顿主函数S(q,t)，又称哈密顿作用函数。在哈密顿函数H为常数E时的哈密顿-雅可比方程的解，即能量守恒或广义能量守恒的求解中又引入了一个叫做哈密顿特征函数的（让我想到了量子力学中的本征函数与本征值）W(q)，这样问题就可以一步一步的求解了（说的容易做起来难，呵呵）。
哈密顿理论的动力学方程有三种不同的形式：正则方程，哈密顿原理，哈密顿-雅可比方程。虽然在经典力学中运用这些理论去求解一些问题有点杀鸡用牛刀的感觉，但在量子论和统计物理中它们大行其道。统计力学中用的就是哈密顿理论，其中的相空间就是广义坐标和广义动量所组成的空间（当时我学热统时还没有学理论力学，遇到相空间时一头雾水）。系统的一个状态可用相空间中的一个点来表示，状态随时间的变化就是点在相空间的运动所画出的相轨迹。量子力学的三种表述就是对应哈密顿理论的三个表述，著名的薛定谔波动力学方程的建立就是从哈密顿-雅可比方程着手的；狄拉克和费米所建立的路径积分形式的量子力学可以类比哈密顿原理；海森堡创建的矩阵形式的量子力学可以表示为用量子泊松括号表示的正则方程的形式。用哈密顿理论也可以推导出拉格朗日理论，是不是可以说它们是等价的呢（哈密顿原理是可以作为第一性原理的）？学到场论就知道，从经典力学创建的哈密顿理论更适用于微观领域的场论，场方程可以用哈密顿理论处理。
升华的理论之行动
(2010-05-14
14:40:00)
那是大二下学期的事情了。我这学期只专业课就选了五门（有两门根本没时间去听课）。一周一周的上课、一次一次的写作业、一天一天的自习；发现理论力学（又叫分析力学）是其中最棘手的一门专业课。开始发现它的理论漂亮而精简，可用它来处理实际物理问题却是相当的麻烦。慢慢的发现原来同学们都觉得理论力学是那么的棘手，很有挑战性哦（一旦能独立克服几个实际问题也很有成就感的）。
直到本科毕业我都认为理论力学是所有专业课中最难的，它的难不是在理论的理解上，而是在用这些理论处理繁琐的物理问题上。就难度来说，个人认为理论力学是本科四大力学之首；其次是电动力学、然后是统计力学和量子力学（不同的人有不同的认识）。当然理论力学与在读理论物理研究生阶段的课程相比也就算不了什么了。
教理论力学的那位老师挺幽默的也挺狠的；课本章节后面那么多习题，除了带星号的其余都留成作业了。发现我的课余时间大部分都用在做理论力学作业上了（晕！）。自己一个人是很难把那么多习题都搞定的，有的问题简直无从下手；不要说建立动力学方程了，广义坐标就不知如何选取。对有的问题好不容易写出了动力学方程，解起来是非常的繁琐（然后就怀疑自己是否把方程写正确了，郁闷！）。几乎每天晚上要去自习的；主楼是九点半就开始撵人了，作业还没有做完，就去理科图书馆的自习室（这里可以开到十一点）。晚上十点左右来到图书馆自习室总能遇到班上的两个同学（他们也在为理论力学的作业发愁），大家一起商量集思广益就可以多解决几个问题；有的实在解决不了的也只能放下了。
老师在课堂上只讲简单的例子，难的留给我们做（原话，呵呵）。那是一个细线拴着两个小球，一个小球在桌面上圆周运动，另一个悬挂在空中，这样的例子反复的讲来讲去；老师说改变一下条件可以把问题变的无穷复杂（我无限的赞同），很多问题通过改变初始条件可以变得非常非常的复杂。每几周老师就会派一个学生给我们讲习题课，当时我不知道那学生是博士还是硕士；几年后我站在了那个位置才知道原来是那样（教学实习），那位老师是做核物理理论的后来当了物理学院副院长。
以牛顿运动定律和力的独立作用原理作为力学原理的牛顿力学（又叫矢量力学），有一定的局限性。牛顿力学在解约束运动的问题中处理约束力问题上，不能给出一套有效的方法（不是不能解）。拉格朗日《分析力学》的著成标志着分析力学的建立，后面有哈密顿、庞加莱等很多人的努力理论力学日臻完善。分析力学中完全用数学分析的方法来解决所有的力学问题，而无需借助以往矢量力学中的几何方法。它放弃了以牛顿定律作为力学的基本原理，而是把整个系统看做统一的对象；用统一的方法加以研究，采用了整个物理学中所共有的物理量，就是能量做为力学本身的基本物理量，以广义坐标来描述系统的运动状态。分析力学把抽象的数学研究与具体的物理内容深刻的结合起来，其中的方法教牛顿力学更便于推广到量子力学、量子场论等物理学其他领域
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