Thursday, April 9, 2015

期权 bs model 方差为1d t 的无穷小随机变量。模型中关键的假设是 , 资产价格服从对数正态分布, 平方反比力—行星的轨道运动


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金融期权定价模型与金融风险管理Ξ
杨斯迈
(昆明理工大学　管理与经济学院 , 云南　昆明　650093)
[摘　要] 金融期货是一种具有独特功能的非常重要的衍生金融工具 , 对规避金融风险有重要意义 , 其
作为一种金融资产表现为一种特定的权利。B- S 期权模型开创性地表达了这种期权定价理论 , 二项式模型
则将各种金融期权定价模型推向简化和实用化。
[关键词] 金融期货定价模型 ; 金融衍生工具 ; 规避风险
[中图分类号] F83019 　 [文献标识码] A 　 [文章编号] CN 53 - 1160/ C (2002) 01 - 0041 - 05
Option Pricing Model and Financial Risks Management
YANG Si - mai
( The Faculty of Management & Economics, Kunming University of Science & Technology , Kunming, Yunnan 650093 , China)
Abstract: Option is one of the very important financial derivation tools with unique functions,
which is of significance in avoiding financial risks and a special right as an asset. B - S Option Pricing
Model clearly presents this option pricing theory. Binomial Model reduces various option pricing models
to their simplicity and practicality.
Key words : Option Pricing Model ; financial derivation tools; avoid risks
　　在现在金融理论和实践中 , 期权 (option)
是理论最复杂、应用最灵活、功能最完善的一种
金融工具。期权实践始于商品期权 , 在经历好几
个世纪之后 , 金融期权才于 20 世纪 70 年代末创
立 , 到 80 年代才被广泛应用。但是由于期权变化
的多样性及实用性 , 期权及其组合正在日趋成为
人们争相使用的套期保值和投机工具。期权作为
一种衍生金融工具 , 在控制和管理金融风险方面
应用范围广泛 : 其原理既可直接用于股票、股指、
债券、货币、利率与汇率及商品的风险管理 , 也
可与远期利率协议、期货、互换、甚至期权本身
等金融衍生工具结合起来构成各种期权组合 , 以
更有效的方式管理和控制金融风险。
一、期权作为金融衍生工具的独特性
远期利率协议 (forward rate agreement ,
FRA) 金融期货 (financial futures, FF) 、互换
(Swap) 等衍生金融工具都能成功和有效地管理
及控制金融风险 , 其基本作用方式是将未来市场
变动的不确定性加以确定。但是 , 未来的不确定
性 , 既可能是不利的风险 , 也可能是有利的风险。
所以 , 上述这些金融工具在规避了不利风险的同
时 , 也丧失了把握有利风险机会。在此 , 本文将
风险定义为 :“未来事件的不确定性”。
期权 (option) 的独特性在于 : 它使期权拥
第 2 卷　第 1 期
昆明理工大学学报(社会科学版)
Vol . 2 　No . 1
2002 年 3 月
Journal of Kunming University of Science and Technology
Mar. 2002
Ξ [收稿日期] 2001 - 10 - 19
[作者简介] 杨斯迈(1944～) , 男 , 回族 , 教授 , 主要研究方向 : 企业管理、金融.

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有者 (多方) 在避免对自身不利结果的同时 , 保
留了获得对自身有利结果的权利。为此 , 作为经
济交易中的必要成本 , 多方要向期权的出售者
(空方) 支付期权费 (premium) 。
为理解期权的这种独特性 , 首先讨论 FRA 、
FF 、Swap 的两个共性 ———线性和对称性。
例如 , 某投资者以 4 %的协定利率买了名义
本金 200 万元的 3 ×6FRA , 最终将按市场参考利
率与协议利率间的差异确定的金额进行结算支付。
若市场利率高于 4%, 则投资者获益 ; 若市场利
率低于 4%, 则投资者将亏损 , 市场利率高低与
投资者损益呈线性关系。下图表明了市场利率与
结算总量之间的线性关系。
图 A 　远期利率协议 ( FRA) 下的支付情况
图 B 　远期债券合同多空双方支付情况
图 B 显示市场协定价格为 160 元的远期债券
合同多空双方支付的情况 , 其交易的期望是零 ,
多空双方支付具有对称性 ; 多方之盈 (亏) 恰好
为空方的亏 (盈) 。
期权运作原理则不同 : 多空双方的支付不再
具有对称性 , 它允许多方的市场上获益而不承担
损失。下例图中可看出多空双方的支付不再具有
对称性。
图 C 　期权合同中多空双方的支付情况
从图 C 中看出 , 多空双方的支付上下对称 ,
但左右不对称。
期权的独特性之处还在于 , FRA 、FF 、
Swap 等金融工具一身兼有权利和义务两方面 ,
符合人们对信用关系的传统理解 ; 而期权将权利
和义务分开 : 期权的多方 , 不管买入的是看涨期
权还是看跌期权 , 只有权利而没有义务 ; 而期权
的空方 , 则只有义务而放弃和卖掉了权利。
金融期权有看涨期权 (call option , 买权) 和
看跌期权 (put option , 卖权) 两种基本类型。在
交易中 , 投资者又可分为期权购买者 (option
buyer , 多方) 和期权出售者 (option seller , 空
方) 这两类基本交易者。金融期权的两种基本类
型与两类基本交易者的不同组合 , 可形成金融期
权交易的四种基本策略 : 买进看涨期权、卖出看
涨期权、买进看跌期权和卖出看跌期权。看涨期
权 (call option) 是期权合约的最主要类型 , 也称
买权。它赋予期权购买者有权向期权出售者在某
一特定时间内以协定价格 (strike price ) 买进规
定数量的标的资产 , 但又不强迫期权的购买者去
履约。
期权作为一种新兴而迅速推广应用的衍生金
融工具 , 其独特性不像其它衍生金融工具具有线
性和对称性 , 而是使期权的多方只有权利而没有
义务。为此 , 拥有期权的多方需向空方支付期权
费 (premium) , 作为一种走向均衡状态的补偿。
从而 , 在期权交易中 , 确定公开的期权费即期权
定价就成为重要问题。期权定价理论和模型的确
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昆明理工大学学报 (社会科学版) 　　　　　　　　　　　　　第 2 卷

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立 , 是在有效市场假设条件下以无风险套利定价
原理为基础的。
二、期权定价模型
西方主流经济学研究的基本方法是基于供给
和需求之间均衡的存在性及变动性的均衡分析。
而现代金融理论分析则是对金融交易赖以存在的
金融市场中某项金融资产的“头寸”(金融资产的
持有或短缺) 进行估值和定价 , 并将这项头寸与
其他金融头寸组合起来 , 构架一个在市场均衡时
不能产生不承受风险的利润的组合头寸 , 以“无
套利”的分析方法测算出该项头寸在市场均衡时
的均衡价格。
包括期权在内的金融衍生工具有助于投资者
有效地管理金融风险 , 并由此要求对衍生金融工
具定价。但直到 20 世纪 70 年代以前 , 金融研究
的成果涉及到包括期权定价在内的衍生工具方法
时 , 只能从理论严格定义的角度确定对风险的补
偿 , 然而在实践中 , 这种严格理论定义却不具可
行性。直到 1973 年 , 美国芝加哥大学教授费舍 1
布莱克 (Fisher Black ) 和默顿 1 斯科尔斯 (My2
ron Scholes) 提出了有史以来的第一个期权定价
模型 , 他们成功解决了期权定价中的风险补偿问
题。他们发现 , 进行期权定价不需要进行任何风
险补偿。
( 一) Black - Scholes 模型
期权定价理论在于寻找期权的均衡价格 , 这
种均衡价格是通过市场实现的。
Black - Scholes 定价模型下 , 依赖于 8 个假
设 :
(1) 市场上不存在套利机会 , 即标的资产可
以自由买卖 , 且可以被卖空。
(2) 不存在影响收益的任何外部因素 , 如税
收、交易成本或保险金。
(3) 在期权到期日前 , 标的资产无任何红利、
利息等收益的支付。
(4) 无风险利率为常数 , 即投资者可以同一
无风险利率无限制地进行借入和贷出。
(5) 期权为欧式的。欧式期权 ( European
Style ) 是相对于美式期权 (American Style ) 而
言。无论是看涨期权 (call option) 通过期权合约
具有的购买某标的资产的权力 , 或看跌期权 (put
option) 通过期权合约所具有的出售某标的资产
的权力 , 在行使权力时 , 欧式期权在确定的日期
执行 , 美式期权在确定日期之前执行。
(6) 证券或资产交易是连续的 , 标的资产价
格的变化是连续的 , 且是均匀的 , 既无跳空上涨 ,
又无跳空下跌。
(7) 标的资产价格和利率的波动在整个交易
期间为已知常量。
(8) 标的资产价格的变动符合随机游动 , 即 :
d S = μS d t +σS d z
其中 ,d S 为标的资产无穷小变化值;d t 为时
间的无穷小变化值;μ为标的资产在每一无穷小的
平均收益率;σ为标的资产价格在每一无穷小期限
内平均收益率的标准差; dz 是均值为 0d t 、方差为
1d t 的无穷小随机变量。模型中关键的假设是 , 资
产价格服从对数正态分布。[2]
期权交易中 , 为获得权利 , 期权的多方需向空
方支付期权费 , 其期权费的确定由内在价值
(intrinsic value) 和时间价值 (time value) 两部分
构成。期权的内在价值反映了期权合约的协定价格
( x) 与相关标的资产市场价格(s) 之间的关系 :当
看涨期权在标的资产的市价高于协定价格或看跌
期权在标的资产的市价低于其协定价格时 ,具有内
在价值 ,即实值(in - the money) ,期权内在价值为
正时 ,期权多方会执行期权。期权内在价值为负时 ,
即虚值(out - of the money) 时 , 期权的多方会放
弃执行期权;期权的时间价值是指期权购买者希望
随时间的推移相关标的资产价格变动有可能使期
权的内在价值增值而愿意支付的高于内在价值部
分的期权费。
如以 S t 表示时刻 t 的市场价格; Rt +1 是 t + 1
时刻的收益率 ,为此 , 用相对价格的对数来定义标
的资产价格从 S t 变化至 S t +1 的收益率 :
Rt +1 = ln ( S t +1/ S t)
(1)
可假设时刻 t 相对于时刻 0 的收益率 γt 即
ln ( S t/ S 0) 服从正态分布 :
Rt = ln ( S t/ S 0) ～ N (μt ,σ t)
(2)
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第 1 期　　　　　　　　　　　　　　　杨斯迈 : 金融期权定价模型与金融风险管理

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其中 ,μ为平均收益率 ,σ为平均收益率的标
准差。由(2) 式知 ,
S t/ S 0 = exp [N(μt ,σ t) ]
(3)
E[ S t/ S 0 ] = μt
(4)
由(4) 式及对数正态分布的性质可得 :
E[ S t/ S 0 ] = exp (μi +σ2
t / 2)
(5)
以上的分析仅仅表现了资产的价格行为。由此
出发 ,深入探讨金融资产和期权的公平价格 ,为此 ,
引入数学期望值的定义。任何金融资产的公正价格
都是其预期价值。同样的原理也适用于期权 , 则看
涨期权到期日的预期价值为 :
E[ Cγ] = E[max ( S r - X) ,0]
(6)
其中 , E[ Cγ 是看涨期权在到期日的期望值;
Sγ 是到期日标的资产的价格; X 是期权的协定价。
如以 ,ρ = P(S r > X) 则(5) 式可根据期望的
定义 ,改写成如下形式 :
E[ Cr ] = ρ ×{ E[S r > X} + (1 - ρ) ×0
= ρ ×{ E[S r | S r > X ] - X} (7)
公式(6) 给出了看涨期权到期日价格的期望
表达式。为与实际吻合 , 公式 (6) 必须折算成当前
值。由公式 (5) 知价格服从对数正态分布 , 于是导
出公式 :
E[ S t/ S 0 ] = exp (μt +σ2
t / 2)
= exp [μ +σ2/ 2) t ] = e n
(8)
设γ = μ +σ2/ 2 为折算要用的连续无风险复
合利率 ,所以期权交易是的公平价格 ( C 为看涨期
权价格 , P 是看跌期权价格 , S 0 是标的资产原始价
格) 为 :
C = P ×e- n ×{ E[S r | S r > X ] - X} (9)
由此 , 导出 Black - Scholes 看涨期权定价公
式 :
C = N(d2) e- n [ S 0 enN(d2)/ N(d1) - X]
= S 0 N(d1) - Xe- nN(d2)
(10)
d1 =
ln ( S 0/ X) + ( r +σ2/ 2) t
σ t
(11)
d2 =
ln ( S 0/ X) + ( r - σ2/ 2) t
σ t
= d1 - σ t
(12)
在此 ,假设 S 0 = 100 ,X = 120 ,γ = 0112 ,μ
= 10 % ,σ = 20 %,t = 1 年 ,可得 :
d1 = 012116 ,
d2 = - 014116
C = 100 ×N (- 012116) - 120 ×e- 0112 ×N
( - 014116) = 5140
实际应用中 ,往往遇到与以上八个假设限定条
件不符的情况 ,可通过简化这些假设来调整 Black
- Scholes 定价模型。例如对于货币期权 ,标准的 B
- S 期权定价模型公式(10) 修改为 :
C = se- rbt N(d1) - Xerpt N(d2)
d1 =
ln (S/ X) + (rp - rb +σ2/ 2) t
σ t
d2 = d1 - σ t
(13)
其中 , S 是即时汇率;γb 是基础货币的连续复
合利率;γp 是定价货币的连续复利率。
看涨期权与看跌期权具有平价关系 (put -
call parity theorem) , 由此 , 通过看涨期权价格的
计算即可求出看跌期权价格。
(二) 期权定价的二项式模型 ( binomial
model )
布莱克和斯科尔教授创造的期权定价模型是
现代金融学发展的里程碑 : 它不仅第一次提出了
期权定价的可靠方法 , 而且以后的许多修正模型
涵盖了众多的期权和对应资产的定价问题。然而
在以后的理论深化中 , 也发现其有重要的理论缺
陷 : 首先 , Black - Scholes 模型必须在一系列严
格假设前提下才具有理论意义 , 尤其界定了股价
的行为特征是决定该模型的关键因素 ; 再则 , 实
证分析表明 , 许多期权的标的资产的对数相对价
格并不是正态分布 , 这就从定量的角度表明 , 这
些期权以 Black - Scholes 模型定价是不可靠的。
此时 , 需要另一种期权定价方法 : 二项式模型。[3]
运用 B- S 模型观察一个欧式买入期权及其
标的金融资产 : 发现对于任意一个未来时间 , 金
融资产的价格在时间 t 时的价格为 S , 它可能在
时间 t +Δt 时上升到 US 或下降至 ds 。假定该金
融资产期权价格在时间 t 时为 C , 在时间 t + Δt
时随资产价格上升为 US 时而至 Cup , 若金融资产
价格下降为 ds 时 , 期权价格下降为 Cdow n 。这表
明了 B- S 模型中的一个重要假设是标的资产价
格的变动符合随机游动 (random walk) 规律 ,
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即经过一段时间 , 其价格可能上涨 , 也可能下跌 ,
具有随机性。从这一基本条件出发 , 考克斯 (J ・
cox) 等人于 1979 年发表了《期权定价 : 一种被
简化的方法》一文 , 以简便的方法导出一种实用
的期权定价模型 ———二项式模型 (binomial mod2
el) 。多期二项式说明 , 期限分割越多 , 所得的期
权价格越接近和稳定于 B- S 模型所决定的价格。
二项式模型与 B - S 模型一样 , 采用的仍然是有
效市场条件下的无风险套利定价原理。
1. 单期模型
首先讨论时刻 t 的看涨期权。假设某标的资产
现行价格为 S ,在 t + Δt 时 ,价格上涨到 US 的概
率为ρ,价格下跌至 d S 的概率就为 1 - ρ。若看涨
期权现行价值为 C ,协定价格为 x ,则在 t + Δt 时
期价值分别为 Cup 和 Cdown :
Cup = max[(us - X) ,0]
Cdown = max[(us - X) ,0]
(14)
这里 C 是未知数 ,可通过二项式模型确定。对
此 ,假定投资者卖出一个看涨期权的同时 , 用借贷
的资金量 B 去买 h 单位的标的资产( h 称作套头率
hedge ratio) 令 R = e
γt ,γ是连续无风险复合利
率 ,则 :
h =
Cup - Cdown
(u - d)s
B =
dCup - uCdown
(u - d) R
(15)
则可简化得到单期期权价值表达式 :
C =
ρCup + (1 - ρ) Cdown
R
(16)
单期期权价值表达式中的 “套头率”h
(hedge ratio) 是投资者卖出一个看涨期权的同时
用借贷的资金去买标的资产单位数量 , 它是理解
期权定价和进行期权套利操作的关键变量。由公
式 (15) 可清楚的看出 , 看涨期权贴现价值是期
权到期日之看涨期权价值关于标的资产价格上涨
概率ρ和下跌概率 1 -ρ的加劝平均数的现值 , 贴
现率为此期间的连续复合无风险利率 i 。
2. 多期模型
从单期模型拓展到多期模型 , 计算的规则与
单期模型完全一样。只需把标的资产价格变动的
期限分割两个或两个以上的小期限。多期二项式
模型说明 : 期限分割越多 , 所得的期权价格越接
近和稳定于 B- S 模型决定的价格。
在实际应用中 ,对于取定的期数 N ,常用下式
来确定 U 、d 和 R ,
u = exp (σ t/ N)
d = exp ( - σ t/ N)
(17)
R = exp (- rt/ N)
其中 ,σ是收益率标准差;γ是连续无风险复
合利率。
下面 ,举例说明二项式定价多期模型是对 B -
S 模型的改进和简化 :将此方法应用于上例 , 将期
权权限分割成 10 个小期限 ,即 N = 10 ,又由于 S
= 100 ,X = 120 ,σ = 20 %,t = 1 年 ,γ = 12 % ,则
由公式(17) 可得 :U = 11065288 ,d = 01938713 ,
R = 11012072 ,ρ = 01569675 ,1 - ρ = 01420430 ,
最后可得到该期权的公平价格 C = 5140 ,与本文
使用 B - S 模型 ,公式(10) 时所举例的结果一致。
[参　考　文　献]
[1] 　唐旭等. 金融理论前沿课题 [M]. 北京 : 中国金
融出版社 , 2001.
[2] 　杨云红. 高级金融理论 [M]. 武汉 : 武汉大学出
版社 , 2001.
[3] 　陈雨露. 现代金融 [M]. 北京 : 中国人民大学出
版社 , 2000.
[责任编辑 : 黄　丽]
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第 1 期　　　　　　　　　　　　　　　杨斯迈 : 金融期权定价模型与金融风险管理




胡克定律平方反比二次型 的結果 (無引號)：
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