“最速降线”摆线等时性 就是在光速随高度下降而增加（加速度恒为重力加速度 g）的介质里光线传播的路径。用这样的类比思想，约翰成功地算出了这条曲线就是前面提到的摆线。

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摆线_百度文库

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2010年11月19日 - ... 原理最速降线摆线的定义摆线别称及原因摆线的性质摆线参变量方程摆线的 ... 时，若沿着A，B 间的摆线，滑落所需时间最短，因此摆线又称最速降曲线。 ... 瓦里斯，惠更斯，约翰·伯努里，莱布尼兹，牛顿等等）热心于研究这一曲线的 ...

 

 

数学变分法最速降线求解和摆线等时性_视频在线观看- 56.com

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2008年9月6日 - 数学变分法最速降线求解和摆线等时性. ... 发布时间. 视频时间. 时间倒序. 发布顺序. 发布时间. 加载中. 发送. 首页> 科教> ...

 

 

最速降线问题 - 中华数学竞赛网 - 圣才学习网

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2012年7月24日 - 因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，所以摆线（旋轮线）又称等时曲线。 数学家十分关注最速降线问题，大数学家欧拉也在1726年开始发表 ...

 

 

最速降线 - 文档检索 - 维普网

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组合机床的发展及概念自控线王茂伟 分享者:kehai 时间:2014-06-03 关键词:组合 ... 中的海伦”，在物理中称为“最速降线”。摆线是一类重要的曲线，齿轮的齿的纵断面、 ...

 

 

一小球在大碗里向下滚动，它是在上面滚得快，还是在下边滚 ...

www.zhihu.com/question/22554451

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按投票排序 按时间排序 ... 雷鸣、翁武、知乎用户 等人赞同 ... 1) 如果大碗的横截面是一个最速降线(摆线_百度百科)，在条件1成立的前提下，可以看作是小球在一根

 

 

 

 

模式识别与人工智能 - 北京玛格泰克科技发展有限公司

manu12.magtech.com.cn/.../showArticleBySubjectScheme....

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45条记录 - 黎曼流形上半调图像的协方差建模与贝叶斯分类方法. 模式识别与人工智能 2013 ... 一种基于光学原理的多目标智能优化算法. 模式识别与人工智能 2012 ...

数学家集体相，看你能认出多少大牛来 - Matrix67.com

www.matrix67.com/blog/archives/4236

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2011年3月19日 - 他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎 ... 他首先建立了光学的数学理论，然後把这种理论移植到动力学中去。

拟常曲率黎曼流形的有关性质- 中国学术期刊网络出版总库

222.91.161.204:8080/grid2008/brief/detailj.aspx?...

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... 师范大学数学系；. 【摘要】 <正> 在[1],[2]中,白正国教授指出拟常曲率黎曼流形的曲率张量的形式是: .... 新型席夫碱的合成及光学性质研究 [J]. 广州化工. 2011 (03); [2] ...

融合李群理论与特征子空间基的图像目标跟踪-Image object ...

jcta.alljournals.ac.cn/cta_cn/ch/.../view_abstract.aspx?file...

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基于协方差描述子和黎曼流形的语音情感识别[J].模式识别与人工智能 ... 基于黎曼流形的平面目标识别[J].自动化学报 ... 设计与实施[J].光学精密工程,1994,2(5):42-47.

复活节闲扯：一场激动人心的数学公开挑战赛| 科学人| 果壳网 ...

www.guokr.com/article/22018/?page=5

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2011年4月24日 - 一块塑料板上开着几个圆形的大洞，还有几块较小的圆形塑料片，不同半径处留有一些孔。 ... 是“最小作用量原理”（principle of least action）在几何光学中的特例。 .... 其实是黎曼流形上为了使路程最短，我们会不由自主的沿着测地线走.

局部对称 - 登录

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期刊论文. 谱对局部对称黎曼流形的影响. 作者: 欧阳崇珍;. 来源 : 南昌大学学报(理科版) 1995 02. 关键词: 拉普拉斯算子;谱;局部对称;共形平坦;hahner－Kaehler流形;.

部分讨论的汇集_流形_782_新浪博客

blog.sina.com.cn/s/blog_647e8a1a0100gr12.html

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2010年1月31日 - 辛结构，黎曼流形，泊松结构，测度空间等等。 .... 和哈密顿雅可比方程的解一一对应，其等值面是拉格朗日子流形，该等值面就是波动光学中的波前。

最速降线问题

“想象一个小球，仅受重力，从点 A 出发沿着一条没有摩擦的斜坡滚至点 B。怎样设计这条斜坡，才能让小球在最短的时间内到达点 B？”

这个在数学史上被称为“最速降线”的知名问题，最早是由著名的意大利科学家伽利略（Galileo Galilei）于 1630 年提出来的。他在研究后认为最速降线应该是圆弧，但可惜的是这个答案并不是正确的。时间又过了 60 多年，1696 年 6 月，来自瑞士巴塞尔（Barsel，这座城市不仅是数学世家伯努利的故乡，也是欧拉的故乡，有一个由欧拉解决的著名数论问题就是以这座城市命名的）的约翰・伯努利（Johann Bernoulli）在《教师学报》（Acta Eruditorum）上又重新提出这个问题，并向全欧洲的数学家提出公开挑战。这个别出心裁却又十分容易理解的问题吸引了当时全欧洲的数学家，而最后给出了正确解答的人也都是数学史上赫赫有名的巨人。这也让这次挑战成为了数学史上最激动人心的一场公开挑战。
数学家之间公开挑战的传统要追溯到 16 世纪在意大利的博洛尼亚（Bologna）。16 世纪初的博洛尼亚曾是欧洲数学思想的大熔炉，全欧洲的学生都会来到博洛尼亚大学。他们甚至还“发明”了一项新的观赏运动——数学比赛。这听起来有些匪夷所思，但在当时确实有大批的观众从各地涌来，围观数学家们互相之间用数学斗法。其中最有名的一次，是在塔塔里亚（Tartaglia）和费奥（Fior）间上演的，是一场关于求出一元三次方程通解的世纪智力大战。
言归正传，在约翰・伯努利发出挑战后的半年里，他收到的唯一一份答案来自《教师学报》的主编，他的老师莱布尼茨（Gottfriend Wilhelm Leibniz）。在莱布尼茨的要求下，他将接受答案的最后期限推迟到 1697 年的复活节，以便有更多的数学家能参与到这场挑战中来。
我们都知道，过两点的直线段是两点间的最短路径。但使质点的运动时间最短的运动轨迹，却不是那么的显而易见。这个问题和以往人们见过的那些求极值的问题是有本质区别的。借助微积分，人们可以求出一个函数的极值；但最速降线问题要求的并不是某个传统函数的极值点，而是要在一簇曲线（过 A、B 两点的所有曲线）中，求出能让质点运动时间最短的那条。这是一个以函数（小球的运动轨迹）为自变量，以实数（小球运动的时间）为函数值的函数，也就是所谓的泛函。我们要求的就是这样一个泛函的极值。正如后文将要介绍的那样，这类问题形成了一个全新的数学分支——变分学。
1697 年的复活节很快就到了，约翰・伯努利一共收到了五份正确答案。这五份答案分别来自他自己，他的老师莱布尼茨，他的哥哥雅各布・伯努利（Jakob Bernoulli），他的学生洛必达（Guillaume Francois Antonie de L'Hospital），还有一位来自英国的匿名数学家。最后这份答案虽然没有署名，但显然出自赫赫有名的牛顿（Issac Newton）之手。虽然五人的解法各不相同，但他们的答案全都一样——最速降线就是摆线。

同一个答案

所谓摆线（cycloid），就是当圆沿一条直线运动时，圆周上一定点所形成的轨迹。其实当时的数学家对这种曲线并不陌生，帕斯卡和惠更斯都曾研究过这一重要的曲线。但大部分人都没有想到，这条线同时也是人们苦苦追寻的最速降线。
而我们大家对摆线也不陌生。还记得小时候玩过的那种能够画出各种漂亮曲线的玩具吗？一块塑料板上开着几个圆形的大洞，还有几块较小的圆形塑料片，不同半径处留有一些孔。把这些看似普通的小圆片放进大圆孔中，再将圆珠笔插在小孔里并带动小圆片沿着大圆的圆周运动，就能在纸上留下各种美丽的曲线。这些曲线也都是摆线，只不过是另一种被称为“内摆线”（hypocycloid）的摆线。它们是由给定圆在另一个圆内运动时，圆周上一定点形成的轨迹。

不同的解法

让我们回到众人给出的最速降线的解法上。莱布尼茨、牛顿、洛比达都是用他们擅长的微积分来解决这个问题的。伯努利兄弟的解法就值得特别地说一说了。
约翰的解法应该是最漂亮的解法了。他利用了费马原理（Fermat's principle），将小球的运动类比成光线的运动。费马原理又叫做“最短光时”原理，说的是光线在传播时总会选择光程极短的那条路径。那么，“最速降线”就是在光速随高度下降而增加（加速度恒为重力加速度 g）的介质里光线传播的路径。用这样的类比思想，约翰成功地算出了这条曲线就是前面提到的摆线。
这种解法出人意料地用到了费马原理，实在是太巧妙了！在物理学中，费马原理被认为是“最小作用量原理”（principle of least action）在几何光学中的特例。 而最小作用量原理则是物理学定律普遍遵循的规律，甚至被称为“物理定律的定律”。
不知你想过没有，当我们将一个小球抛出后，它为什么会沿着所谓的抛物线运动？你可能会说，因为小球只受重力作用，根据牛顿第一定律，它在水平方向上速度恒定不变；而根据牛顿第二定律，它在竖直方向上做匀变速运动。这两个运动合起来就使得小球的运动轨迹成了一条抛物线。
这确实不错，但现在让我们换一个角度来考虑这个问题。从整体的角度考虑，小球在被抛出后，为什么不沿着其他的路径运动，却总是沿着抛物线运动呢？同样，我们在考察了连接小球起点和终点的所有曲线后，会发现只有在沿着抛物线运动时，小球的动能和势能的差在运动过程中对时间的积分（这就是所谓的“作用量”）才是最小的。注意，在这里我们同样是在一簇曲线中，求出一条曲线使得某个量达到极值。这种在一簇曲线中，求出某条曲线使得函数取到极值的思想就是变分的核心思想。也就是说，我们又是在用变分求泛函的极值。
再回过头来看看约翰・伯努利的哥哥——雅各布・伯努利的解法。虽然雅各布的解法相对于约翰的解法来说更复杂更麻烦，但他的解法更具有一般性，体现了变分的思想。约翰的学生，伟大的数学家欧拉吸收了这一思想，并从 1726 年开始发表相关的论文，最终于 1744 年首先给出了这类问题的解法，并创立了变分学这一新的数学分支。投资者用它来计算最大利润，工程师用它来计算最小损耗，建筑师用它来优化架构。它成为了微积分理论中最强大的工具之一。