Friday, April 3, 2015

景新在<康德的五指>一文中说,“欧氏几何的公理是综合命题,而且也不是先验的,必须接受经验的检验,而各定理则是分析命题。只要公理正确,那些定理就是正确的。”

 欧氏几何公理不必是经验命题

  作者:abada

  景新在<康德的五指>一文中说,“欧氏几何的公理是综合命题,而且也不是
先验的,必须接受经验的检验,而各定理则是分析命题。只要公理正确,那些定
理就是正确的。”

  实际上,欧氏公理只有对应于现实,做某种物理对应和物理理解的时候,才
成为经验命题。那时这些公理就对应了物理定律,而不是纯粹的数学公理了。例
如,把欧氏几何中的“直线”概念对应于真空中的光线路径,如此,光线走的是
直线,这个命题结合欧氏几何公理,就是存在对错的经验命题。(在日常生活中,
木匠判断他锯的木条是否“直”,基本方法也是用眼睛瞄一瞄木条线缘,看与木
条一端点到另端点发出的光线是否吻合。这里的基本假设是光线走的是直线,光
线对应于直线。)

  而在纯粹的数学家眼中,欧氏几何的公理,可以是纯粹的分析命题。希尔伯
特把欧氏几何公理体系进行了完善,证明了这些公理的完备性和无矛盾性。所有
的概念,都从那些基本的、不定义的概念出发,给出严格定义。而那些不定义的
概念,本身可以不对应于现实,而只是由这些概念(符号)之间的关系命题确定
其符号意义。这些概念的意义蕴涵在它们的逻辑演算关系中。把“直线”换成
“汪汪”也无关紧要,只要把体系中的所有“直线”字汇都如此转换即可。如:
“对于任意两个不同的点A、B,存在着汪汪a通过每个点A、B.”,这在数学家
看来没有什么问题,因为他们可以不把这些公理当作经验命题。

  广义相对论把黎曼几何很好地与物理现实做出了某种对应(如真空光线对应
于四维黎曼时空的短程线)。但在黎曼几何之外,存在许多不能如此对应的几何
学,在数学家眼里,它们没有“错”,就如欧氏几何与黎曼几何在数学家眼中无
对错之分一样。好的物理学家,可以把每种几何学用不同的方式对应于不同的现
实模型,找到不同的应用领域。新数学是一种发现,新数学如何良好地对应某种
现实是另一种发现,虽然这些过程可以是互动的。

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