Friday, April 10, 2015

Schwarz定理（也稱為克萊羅定理），二階導數的對稱性不成立的病態例子。当函数不满足克莱洛定理的前提的时候，例如其导数不连续，则不存在对称性

[PDF]to download the PDF file. - 中研院數學研究所
w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d371/37101.pdf

論最新的電影、運動, 那一類的事情。 如果要討論 ..... 階導數和二階導數, 就這樣, 然後還有複分析、 柯西積分。 基本上只要 .... 我入行的時候做非交換規範場論(non-.
 
 
Symmetry of second derivatives。根據Schwarz定理（也稱為克萊羅定理），當函數的二階導數連續在一個
 
 
這是Symmetry of second derivatives。根據Schwarz定理（也稱為克萊羅定理），當函數的二階導數連續在一個點，偏導數的交換點。
 
 

二阶导数的对称性- 维基百科，自由的百科全书

zh.wikipedia.org/wiki/二阶导数的对称性

轉為繁體網頁
数学中，二阶导数的对称性（也称为混合导数的相等）指取一个n 元函数. f(x_{1},x_{2}, \dots ,x_ ... 1 黑塞矩阵是典型对称的; 2 对称性的正式表述; 3 克莱罗定理. 3.1 克莱罗常数 .... 可以構造出二階導數的對稱性不成立的病態例子。若導數作為施瓦茲分布 ...

  • 什麼是一個例子，一個函數的混合偏導數[數學] \壓裂{\部分^ 2 ...

    www.readingcabin.com/article/03abbce9785d5f4474d29268efacf80b/

    ... 導數的x和y =偏導數y和x？”： ---- 這是Symmetry of second derivatives。根據Schwarz定理（也稱為克萊羅定理），當函數的二階導數連續在一個點，偏導數的交換點。

  • 衍生物（数学）最新熱門話題_Derivatives (mathematics)_第6 ...

    www.readingcabin.com/topic/7631e6db2d73c2f3c8b8bb380c518cec/6/

    智能翻譯高階導數的測試狀態，F（X），可在一個區間，在那裡然後，如果n為偶數， ... 根據Schwarz定理（也稱為克萊羅定理），當函數的二階導數連續在一個點，偏導數 ...

  • 數學真魅: 數學常用辭彙Glossary of Maths terms

    aishuxue.blogspot.com/2012/01/glossary-of-maths-terms.html

    2012年1月13日 - Cauchy-Schwarz inequality 柯西－許瓦爾茲不等式 ceiling function 上 ... Ceva Theorem, Ceva's Theorem 塞瓦定理 .... Cramer's rule 克萊瑪法則

  • [PDF]數學科常用英漢辭彙

    www.edb.gov.hk/attachment/sc/curriculum.../glossary05112012.pdf

    2012年11月5日 - 反導數，逆導數，反微商，逆微商 antilogarithm .... Cauchy-Schwarz inequality. 柯西－許瓦爾茲 ... 塞瓦定理 chain rule. 鏈式法則 chance. (1)機會；(2)概率，或然率，機率 change of .... 克萊瑪法則 critical point ...... 二階導數，二次導數.

  • 数学科常用英汉词汇_百度文库

    wenku.baidu.com/view/48827f87b9d528ea81c779c8.html?re=view

    2011年10月1日 - ... 的） 可數集可數無限逆時針方向，反時針方向反例數數，計數克萊瑪法則臨界點 ... 的導數從基本原理求導數微分法數字9 數學科常用英漢辭彙2007年12月17 .... 分割）比黃金分割勾股定理斜率，傾斜量克圖，圖形，圖像圖表紙圖解法圖示， ..... 割線割線法，正割法秒二階導數，二次導數二階常微分方程（式） 第二象限第 ...

  • 新增網頁1 - 數學系

    www.math.nthu.edu.tw/~hwang/mathnounn.htm

    Blaschke, W. J. E. 布拉施克 ... Brouwer-Poincare theorem 布勞維-龐加萊定理 .... Clairaut differential equation 克萊羅方程 ..... derivative of higher order 高階導數 ...... Schwartz kernel theorem 許瓦爾茲核定理 ... second order process 二階過程

  • [DOC]A

    www.hkedcity.net/citizen_files/aa/cb/kl5566/.../word_translation.doc

    Cauchy-Schwarz inequality 柯西- 許瓦爾茲不等式. central limit .... Carmer's rule 克萊瑪法則. criterion 準則 ... differential mean value theorem 微分中值定理. differentiate 求...的導數. differentiate ...... quadratic convergence 二階收歛性. quadratic ...

  • 吳新謀,什麼是吳新謀,吳新謀釋義_華文詞源

    www.43577.com/show/488333.shtml

    他1938年在法國科學院發表論文【SurunthéorèmedelordRayleigh】（論瑞利（Rayleigh）定理），在僅有速度的初始分布函數二階導數的連續性條件下推廣了與完全流體 ...

  • [PDF]abacus 算盤absence 無,不存在absolute maximum 絕對極大 ...

    cs.nju.edu.cn/wuxb/mathterms.pdf

    algebraic addition theorem 代數加法定理 algebraic .... arithmetic fundamental theorem 算術基本定理 ..... derivative of order n n 階導數 ...... Klein bottle 克萊因瓶 ...... Schwarz inequality 施瓦茨不等式 ... secondary 次的,二階的,二級的,第二的.



    • 二阶导数的对称性[编辑]
    维基百科，自由的百科全书
    跳转至： 导航、 搜索
    数学中，二阶导数的对称性（也称为混合导数的相等）指取一个 n 元函数
    f(x_{1},x_{2}, \dots ,x_{n})
    的偏导数可以交换。如果关于x_{i}的偏导数用一个下标i表示，则对称性断言二阶偏导数f_{ij}满足等式
    f_{ij}=f_{ji}
    从而它们组成一个 n×n 对称矩阵。有时这也称为杨定理（Young's theorem）。


    黑塞矩阵是典型对称的[编辑]

    f 的二阶偏导数称为 f 的黑塞矩阵。主对角线之外的元素是混合导数；即关于不同两个变量相继之导数。
    在最正常的情形黑塞矩阵实际上是对称矩阵；但从数学分析的观点来看这不是一个安全的论述，在特定一个点除了二阶导数的存在之外还需进一步的假设。克莱罗定理给出了关于 f 的一个充分条件使其成立。

    对称性的正式表述[编辑]

    用符号表示，对称性说，例如
    \frac {\partial}{\partial x} \left( \frac { \partial f }{ \partial y} \right) = \frac {\partial}{\partial y} \left( \frac { \partial f }{ \partial x} \right).
    这个等式也可写成
    \partial_{xy} f = \partial_{yx} f.
    或者，此对称性可利用微分算子 Di 写成一个代数论述，Di 是关于 xi 取偏导数：
    Di . Dj = Dj . Di.
    由这个关系得知由 Di 生成的常系数微分算子环是交换的。但须自然地设定这些算子的一个定义域。容易验证对单项式对称性成立，从而我们可取 xi 的多项式为定义域。事实上光滑函数也行。

    克莱罗定理[编辑]

    在数学分析中，克莱罗定理（Clairaut's theorem）或施瓦兹定理（Schwarz's theorem）[1]，以亚历克西·克莱罗与赫尔曼·施瓦兹命名，断言如果
    f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}
    在 \mathbb{R}^n 中任何一点 (a_1, \dots, a_n), 有连续二阶偏导数，则对 \forall i, j \in \mathbb{N} \backslash \{0\}: i,j \leq n,
    \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\, \partial x_j}(a_1, \dots, a_n) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\, \partial x_i}(a_1, \dots, a_n).
    换句话是，这个函数在那一点的偏导数交换。确立这个定理的一个简单方法（当n = 2, i = 1, 且j = 2，很容易推到一般）是运用格林定理求f的梯度。

    克莱罗常数[编辑]

    这个定理的一个副产品是克莱罗常数（Clairaut's constant，亦称卡罗拉公式或克莱罗参数），涉及球面大圆上一点的维度与方位角。一个特定大圆等于它在赤道处的方位角，或弧道路，\widehat{\Alpha}\,\!：
    \sin(\widehat{\Alpha})=\Big|\cos(\phi_q)\sin(\widehat{\alpha}_q)\Big|.\,\!

    分布理论描述[编辑]

    也可利用分布（distribution）理论回避有这种对称性的解析问题。首先任何函数的导数（假设可积）可以定义为一个分布。第二分部积分将对称性问题丢给测试函数，这是光滑的当然满足对称性。从而，在分布的意义下，对称性总满足。（另一个方法，若定义了函数的傅立叶变换，注意到在变换中偏导数成为更显然交换的乘法算子）。

    对称性的要求[编辑]

    当函数不满足克莱洛定理的前提的时候，例如其导数不连续，则不存在对称性。
    这个函数f(x,y)在它的原点没有对称的二阶导数
    展示非對稱的一個例子如下：
    f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2+y^2} & \mbox{ for } (x, y) \ne (0, 0)\\ 0 & \mbox{ for } (x, y) = (0, 0). \end{cases}
    尽管这个函数处处连续，但它的代数导函数在原点没有定义。沿着x轴的其他地方y的导数为\partial_y f|_{(x,0)}=x，所以
    \partial_x\partial_y f|_{(0,0)} = \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac { \partial_y f|_{(\epsilon,0)}-\partial_y f|_{(0,0)} } \epsilon = 1.
    反之亦然，沿着y轴的其他地方x的导数为\partial_x f|_{(0,y)}=-y，所以\partial_y\partial_x f|_{(0,0)} = -1。那就是说，在(0,0)处\partial_{xy}f\ne\partial_{yx}f，尽管 f 的混合導數存在，且在 (0,0) 之外處處連續。注意到它與克莱罗定理并不矛盾，因為導數在 (0,0) 不連續。 一般地，極限運算的交換未必交換，兩個變量情形下，在 (0, 0) 附近考慮
    f(h,k) - f(h,0) - f(0,k) + f(0,0)
    的兩個極限過程，先令 h → 0 以及先令 k → 0。這兩個過程未必交換（參見極限運算的交換）：看最先作用的那個一階項。可以構造出二階導數的對稱性不成立的病態例子。若導數作為施瓦茲分布是對稱的，這類例子屬于實分析中的精細理論，逐点值在其中起作用。当看作一个分布的时候，二阶导数值可以在任意点集中的改变，只要Lebesgue测度为0。由于在这个例子中，黑塞矩阵在(0,0)外所有点对称，Hessian矩阵看作施瓦茨分布是对称的事实，不存在矛盾。

    李理论[编辑]

    更高级的一个讨论是这样的：考虑一阶微分算子 Di 为欧几里得空间中的无穷小算子。即 Di 在某种意义下生成平行于 xi-轴平移的单参数群。显然这些群互相交换，从而我们希望无穷小生成元也交换；李括号
    [Di, Dj] = 0
    便是其反映的方式。或者说，一个坐标关于另一个坐标的李导数是零。
    Posted by at

    No comments:

    Post a Comment

    Subscribe to: Post Comments (Atom)