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2009年2月10日星期二
逃出No-Go定理的网眼之Mermin-Wagner-Hohenberg-Coleman 定理
/直中要害 2009. 02. 12
故事
1973年同时出现了两篇文章。S. Coleman 的文章证明：两维量子场论的连续对称性不能自发破缺。证明并不难：假如某个连续对称性自发破缺了，则物理谱中必有无质量的Nambu-Goldstone玻色子态；这与“两维两维量子场论中没有任何物理的局域算子可以创生无质量的粒子态”相矛盾。后者是因为，从两点关联函数的谱表示可以知道，两维中任何无质量态的创生都会贡献给两点函数一个非正定的项--C log(x^2) ，从而破坏正定性，因此任何这样的局域算子都不是物理的。
总而言之；一，量子涨落的总体总是遵循对称性的，当量子涨落占重要地位时，任何对称性的自发破缺都将不可能（因此，将任何量子场论体系限制在一个有限的空间内并稳定下来以后，所有的对称性通常都会恢复。）。二，两维带连续对称性的理论中，量子涨落已经占据了重要地位（废话！）。
其实，在统计物理中，相应的定理更早几年前 Mermin, Wagner 以及Hohenberg就开始讨论并得到相应结论了。这里热力学涨落将取代前面量子涨落的位置摧毁任何连续对称性的破缺效应。
另外，熟知的朗道相变理论告诉人们：连续相变总是和对称性自发破缺紧密联系。因此，按当时人们的认识，Coleman的定理多少意味着，一个仅有连续对称性的两维体系不能发生连续相变！
1973年出现的另一篇有趣文章就研究了一个这样的体系。在Kosterlitz 和 DJ Thouless的这篇经典文章中。他们研究了平面格点上SO(2)自旋的海森堡模型。他们发现，有连续相变！他们发现，这个体系有一个临界温度，系统的温度低于它时就存在长程序，高过临界温度后就只有短程序！(在他们之前苏联物理学家Berezinsky于1970年已经研究了这个体系，但是文章发在苏联的期刊上。)
这不是与S Coleman等人相矛盾吗？谁对？矛不矛盾？
后来人们才弄清楚，S Coleman 与BKT 双方都对。两维连续对称性不能自发破缺，同时SO(2)模型的确有从长程序到短程序的连续相变。关键点在于，连续相变并不一定伴随着对称性自发破缺！
事实上，平面SO(2)模型有稳定的Vertex激发（带了拓扑量子数），在低温时Vertex与Anti-vertex 结成对，这些对于体系的热力学行为影响不大。人们只需要考虑相涨落，长程上体系由一个自由场论描写，两点相之间(或说SO(2)自旋之间)有长程关联。但是，当温度高到一定的时候，反温度乘上配对解开所需的能量将低于相应位形的Entropy。 因此，vertex与anti-vertex 趋于不结对，vertex-antivertex 对的解开导致了相变。高于临界温度vertex-antivertex气体产生了一个“德拜”屏蔽效应，破坏长程序。在临界点处vertex涨落是marginal扰动，长程上体系流到一个非平凡的固定点，有代数长程关联，自旋关联临界指数为1/8。
场论讨论
下面，我们通过简化版的场论分析来说明BKT的发现。首先, 把SO(2)的自旋写成J=exp(iA). 先不考虑vertex, 则体系的配分函数由对A的合适路径积分给出，这个积分的权是
W[A]=exp[-1/(4pi T)\int (dA)^2 ]
其中dA表示对A偏导, (dA)^2表示把两个这样的偏导点乘起来，pi就是圆周率，T是温度。(原谅我不会在博客里面输入公式)
下面我们加上vertex的贡献。当有一个vertex奇异性时，我们围绕着它取一个无穷小的小圆圈C，抠去C的里面，这样就把A场奇异的地方抠掉了。我们用一个常数g来标记小圆圈内部位形对路径积分的贡献。然后我们把A场在C上的位形(这是由vertex确定下来的)固定下来作为边界条件。最后让我们的路径积分在这个附加了一个小圆圈C作为边界的平面上进行。整个veterx的贡献就是g乘上C外面位形的这个路径积分。
事实上，由单vertex的定义（它携带拓扑量子数1），A在C上的位形可以简单地刻画为，绕着C逆时针走一圈，A的场值增加2pi. 如果我们考虑的是anti-vertex的话，那就是减少2pi.
对于带拓扑量子数为2的vertex, 我们可以设想它是由两个单vertex紧紧靠在一起形成的。但是由于vertex与vertex之前总是相互排斥的，所以两个单vertex总是趋向于相互分开，这样的位形能量才更低，所占的积分权也就更大。因此，我们忽略所有带更高拓扑量子数的vertex, 而仅仅只考虑单vertex, 单anti-vertex, 以及由它们形成的稀薄气体（这里面当然还有不少漏洞，筒子们将就自己补充吧。）。
原则上，我们可以对每一个这样的稀薄气体位形算出相应的路径积分，算的方法就是上面算单个vertex位形的简单推广。我们将所有这些贡献，包括没有vertex的位形，都加起来。最后就得到了体系的配分函数：
\sum_{m, n}(1/m!)(1/n!)g^{m+n}\pathint[A]_{m, n} W[A]
其中\pathint[A]_{m, n}表示在带了m个稀稀疏疏的vertex小圆，稀稀疏疏的n个anti-vertex 小圆的平面上对A场位形的泛函积分, 并且对各vertex的位置坐标积分。除以m! 以及n!是因为考虑到全同粒子的统计效应。 g^{m+n}就是前面说过的各小圆里面的贡献。
到此为止，看起来一切都很好，问题是......问题是，实际上我们连单个veterx都还没有真正计算出来呢! 下面我们就来作这个计算.
对偶
还是从没有vertex的位形出发。简言之（可能会过于示意性了，其实差不多也就是这样），我们模仿傅里叶变换，把对A场的路径积分变到对某个B场的路劲积分。为此我们注意到\pathint[A]W[A]
等价于
Z=\pathint[A, B]exp[i/(2pi)\int (dB)/\(dA)]W[A]
其中，(dB)/\(dA)表示(dB)与(dA)的外积。这是因为，将那个指数因子分部积分一下可以看出它自动是平凡的，因此对B的泛函积分只带来一个无穷大的平凡常数因子，这个后面很容易正规化掉的.
现在我们交换A，B泛函积分的顺序。注意到我们现在考虑的是拓扑上平庸的场位形，对A的泛函积分与对dA的泛函积分基本上的一样的，所差的东东可以忽略。因此我们先对dA积分，很容易算出来，结果是
Z'=\pathint[B]exp[-T/(4pi)\int (dB)^2]
也就是说，\pathin[A]W[A] 完全等价于上面Z'的表达式。
现在，比方说你要算\pathint[A](W[A]dA)。你只要等价地算
\pathint[B](iT*dB)exp[-T/(4pi)\int (dB)^2]
其中，*dB是微分形式的对偶运算。为什么呢？筒子们自己去弄来玩玩就知道了，这里一步一步推可能反而不容易看明白。
这么弄来弄去，到底有什么意义呢？恩，意思就在于，这么一弄，我们就真的可以把vertex的贡献给算出来了。
Vertex 的贡献
我们现在来算单个Vertex的贡献。还记得吗？在A场的描写中，一个单vertex就是一个抠去内部的小圆盘，沿着其边缘C转一圈，A场增加2pi。在路径积分中，它是作为边界条件进入的。不妨设这个vertex是放在p点的.
我们还是从Z出发，只是现在对A的路径积分得考虑到C上的边界条件，不妨将这个新泛函积分记为Z[C]吧！如前讨论过的一样，积去Z[C]中的B是容易的，结果就是我们要求的单vertex对Ａ泛函积分的贡献。
现在先积去Ｚ[C]中的A场，其它的与我们在上一节的计算一样，单是因子exp[i/(2pi)\int dB/\dA], 现在多贡献出了一个边界项
exp[i/(2pi)B(p)\int_C dA]
由于绕C一圈A加2pi, 所以最后的结果就是
Z'[C]=\pathint[B]exp[iB(p)]exp[-T/(4pi)\int (dB)^2]
哈哈，算出来了! 看到没? 那样弄来弄去也不是完全没有用的。
这个计算告诉我们，在B场描写中，vertex 完全可以用局域场算子创生出来，这个算子就是exp[iB(x)], 它在x点创生出了一个单vertex. 要创生反vertex的话，就应该用算子exp[-iB(x)].
现在我们可以将vertex anti-vertex 的稀薄气体都算出来了，很简单，在B场描写中它就是贡献一个因子
exp[g\int Cos(B)]
嘛。筒子们想一想，是不是这样？其中的积分这是来自我们对vertex位置的积分嘛！
哈哈！现在整个配分函数在B描写中就变成了
ZI=\pathint[B]exp{-T/(4\pi)\int (dB)^2+g\int Cos(B) }
我们用符号ZI来提醒我们，我们是作了单vertex以及稀薄气体近似的。
回到故事
绕了一圈，现在又可以回到我们的故事来了。从ZI的表达式可以看出来。在低温的时候，相位涨落很大，他们抹平了vextex 项的贡献。长程上我们可以完全忽略vertex, 可以很容易用A场的描写算出相关联
《exp[iA(x)]exp[-iA(0)]》~(1/x^2)^{T/2}.
在高温的时候，相位刚性很大，vertex项的贡献很重要，B场基本上被固定在了pi 。在这个附近展开，容易看到有Gap。体系只有短程序。
临界的情形是可以这么来确定，我们看什么时候Cos(B)，也就是vertex涨落，是一个Marginal 扰动。从B描写的标准场论计算可以得到这个临界的条件是
1/(2T)=2 即 T=1/4
当Ｔ＞1/４时，Cos(B)是相关项，体系有Gap，长程上重正化群流向平庸。当T〈 1/4 时， Cos(B)是无关项，长程上重正化群流向一个自由的玻色子CFT。 相算子的长程关联就是前面算得的(1/x^2)^{T/2}。当在T=1/4的临界点时，相算子的关联为(1/x^2)^{1/8}, Cos(B)是Marginal项，当g=0时体系在长程上流向一个Z2 orbifold 的c=1 CFT, Cos(B)是沿着orbifold分支的deformation。
前面说过，我们作了单vertex的近似。可以预料di-vertex 应该贡献一个类似Cos(2B)的项。当温度高到1时侯，Cos(2B)也将由无关转变为相关项。因此我们的单vertex近似其实只在T小于1的时候才是比较好的。温度高到一定的时候，带各种拓扑量子数的vertex都有其重要性，di-vertex 可能分开成两各单vertex, 俩单vertex 可能形成一个di-vertex, 等等等等，这样的过程将在长程上不断地进行。比方说吧，你用手（哈哈，小样，烫不死你！）划拉一下，激发一个高拓扑量子数的vertex。这个vertex 会分开分开，一直分到，比方说k-vertexv吧，其涨落成为相关涨落。这个时候从单vertex 一直到k-vertex, 它们的涨落、转化、相互作用都将很重要。让我们试想一下，假如k是一个很大的数，大到使得k-vertex成为一个宏观东东，会怎么样？有点点像湍流了吗？同志们！
不管怎么样，从开头到结尾，SO(2)对称性都没有破缺，A场本身就没有获得过真空期待值。因此，虽然发生了连续相变，但并没有连续对称性的自发破缺。Coleman的No-Go定理虽然是一张致密的网，不过BKT相变却不在这张网的范围之内。擦边而过，有惊无险。
参考文献
1. N.D. Mermin, H. Wagner: "Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models", Phys. Rev. Lett. 17, 1133–1136 (1966)
2. P.C. Hohenberg: "Existence of Long-Range Order in One and Two Dimensions", Phys. Rev. 158, 383 (1967)
3. Sidney Coleman: "There are no Goldstone bosons in two dimensions", Commun. Math. Phys. 31, 259 (1973)
4. J. M. Kosterlitz & D. J. Thouless, "Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems", Journal of Physics C: Solid State Physics, Vol. 6 pages 1181-1203 (1973)
预告：后面打算写的是，“逃出No-Go定理的网眼之Coleman-Mandula 定理”， 以及“逃出No-Go定理的网眼之Weinberg-Witten定理”。不过，没想到要花这么多时间，掐头去尾抠中间，这一篇也花了我整整半天。所以，下面这两个网眼可能要长时间推后。不过，计划这三个就是一个系列，不会太监的！
故事
1973年同时出现了两篇文章。S. Coleman 的文章证明：两维量子场论的连续对称性不能自发破缺。证明并不难：假如某个连续对称性自发破缺了，则物理谱中必有无质量的Nambu-Goldstone玻色子态；这与“两维两维量子场论中没有任何物理的局域算子可以创生无质量的粒子态”相矛盾。后者是因为，从两点关联函数的谱表示可以知道，两维中任何无质量态的创生都会贡献给两点函数一个非正定的项--C log(x^2) ，从而破坏正定性，因此任何这样的局域算子都不是物理的。
总而言之；一，量子涨落的总体总是遵循对称性的，当量子涨落占重要地位时，任何对称性的自发破缺都将不可能（因此，将任何量子场论体系限制在一个有限的空间内并稳定下来以后，所有的对称性通常都会恢复。）。二，两维带连续对称性的理论中，量子涨落已经占据了重要地位（废话！）。
其实，在统计物理中，相应的定理更早几年前 Mermin, Wagner 以及Hohenberg就开始讨论并得到相应结论了。这里热力学涨落将取代前面量子涨落的位置摧毁任何连续对称性的破缺效应。
另外，熟知的朗道相变理论告诉人们：连续相变总是和对称性自发破缺紧密联系。因此，按当时人们的认识，Coleman的定理多少意味着，一个仅有连续对称性的两维体系不能发生连续相变！
1973年出现的另一篇有趣文章就研究了一个这样的体系。在Kosterlitz 和 DJ Thouless的这篇经典文章中。他们研究了平面格点上SO(2)自旋的海森堡模型。他们发现，有连续相变！他们发现，这个体系有一个临界温度，系统的温度低于它时就存在长程序，高过临界温度后就只有短程序！(在他们之前苏联物理学家Berezinsky于1970年已经研究了这个体系，但是文章发在苏联的期刊上。)
这不是与S Coleman等人相矛盾吗？谁对？矛不矛盾？
后来人们才弄清楚，S Coleman 与BKT 双方都对。两维连续对称性不能自发破缺，同时SO(2)模型的确有从长程序到短程序的连续相变。关键点在于，连续相变并不一定伴随着对称性自发破缺！
事实上，平面SO(2)模型有稳定的Vertex激发（带了拓扑量子数），在低温时Vertex与Anti-vertex 结成对，这些对于体系的热力学行为影响不大。人们只需要考虑相涨落，长程上体系由一个自由场论描写，两点相之间(或说SO(2)自旋之间)有长程关联。但是，当温度高到一定的时候，反温度乘上配对解开所需的能量将低于相应位形的Entropy。 因此，vertex与anti-vertex 趋于不结对，vertex-antivertex 对的解开导致了相变。高于临界温度vertex-antivertex气体产生了一个“德拜”屏蔽效应，破坏长程序。在临界点处vertex涨落是marginal扰动，长程上体系流到一个非平凡的固定点，有代数长程关联，自旋关联临界指数为1/8。
场论讨论
下面，我们通过简化版的场论分析来说明BKT的发现。首先, 把SO(2)的自旋写成J=exp(iA). 先不考虑vertex, 则体系的配分函数由对A的合适路径积分给出，这个积分的权是
W[A]=exp[-1/(4pi T)\int (dA)^2 ]
其中dA表示对A偏导, (dA)^2表示把两个这样的偏导点乘起来，pi就是圆周率，T是温度。(原谅我不会在博客里面输入公式)
下面我们加上vertex的贡献。当有一个vertex奇异性时，我们围绕着它取一个无穷小的小圆圈C，抠去C的里面，这样就把A场奇异的地方抠掉了。我们用一个常数g来标记小圆圈内部位形对路径积分的贡献。然后我们把A场在C上的位形(这是由vertex确定下来的)固定下来作为边界条件。最后让我们的路径积分在这个附加了一个小圆圈C作为边界的平面上进行。整个veterx的贡献就是g乘上C外面位形的这个路径积分。
事实上，由单vertex的定义（它携带拓扑量子数1），A在C上的位形可以简单地刻画为，绕着C逆时针走一圈，A的场值增加2pi. 如果我们考虑的是anti-vertex的话，那就是减少2pi.
对于带拓扑量子数为2的vertex, 我们可以设想它是由两个单vertex紧紧靠在一起形成的。但是由于vertex与vertex之前总是相互排斥的，所以两个单vertex总是趋向于相互分开，这样的位形能量才更低，所占的积分权也就更大。因此，我们忽略所有带更高拓扑量子数的vertex, 而仅仅只考虑单vertex, 单anti-vertex, 以及由它们形成的稀薄气体（这里面当然还有不少漏洞，筒子们将就自己补充吧。）。
原则上，我们可以对每一个这样的稀薄气体位形算出相应的路径积分，算的方法就是上面算单个vertex位形的简单推广。我们将所有这些贡献，包括没有vertex的位形，都加起来。最后就得到了体系的配分函数：
\sum_{m, n}(1/m!)(1/n!)g^{m+n}\pathint[A]_{m, n} W[A]
其中\pathint[A]_{m, n}表示在带了m个稀稀疏疏的vertex小圆，稀稀疏疏的n个anti-vertex 小圆的平面上对A场位形的泛函积分, 并且对各vertex的位置坐标积分。除以m! 以及n!是因为考虑到全同粒子的统计效应。 g^{m+n}就是前面说过的各小圆里面的贡献。
到此为止，看起来一切都很好，问题是......问题是，实际上我们连单个veterx都还没有真正计算出来呢! 下面我们就来作这个计算.
对偶
还是从没有vertex的位形出发。简言之（可能会过于示意性了，其实差不多也就是这样），我们模仿傅里叶变换，把对A场的路径积分变到对某个B场的路劲积分。为此我们注意到\pathint[A]W[A]
等价于
Z=\pathint[A, B]exp[i/(2pi)\int (dB)/\(dA)]W[A]
其中，(dB)/\(dA)表示(dB)与(dA)的外积。这是因为，将那个指数因子分部积分一下可以看出它自动是平凡的，因此对B的泛函积分只带来一个无穷大的平凡常数因子，这个后面很容易正规化掉的.
现在我们交换A，B泛函积分的顺序。注意到我们现在考虑的是拓扑上平庸的场位形，对A的泛函积分与对dA的泛函积分基本上的一样的，所差的东东可以忽略。因此我们先对dA积分，很容易算出来，结果是
Z'=\pathint[B]exp[-T/(4pi)\int (dB)^2]
也就是说，\pathin[A]W[A] 完全等价于上面Z'的表达式。
现在，比方说你要算\pathint[A](W[A]dA)。你只要等价地算
\pathint[B](iT*dB)exp[-T/(4pi)\int (dB)^2]
其中，*dB是微分形式的对偶运算。为什么呢？筒子们自己去弄来玩玩就知道了，这里一步一步推可能反而不容易看明白。
这么弄来弄去，到底有什么意义呢？恩，意思就在于，这么一弄，我们就真的可以把vertex的贡献给算出来了。
Vertex 的贡献
我们现在来算单个Vertex的贡献。还记得吗？在A场的描写中，一个单vertex就是一个抠去内部的小圆盘，沿着其边缘C转一圈，A场增加2pi。在路径积分中，它是作为边界条件进入的。不妨设这个vertex是放在p点的.
我们还是从Z出发，只是现在对A的路径积分得考虑到C上的边界条件，不妨将这个新泛函积分记为Z[C]吧！如前讨论过的一样，积去Z[C]中的B是容易的，结果就是我们要求的单vertex对Ａ泛函积分的贡献。
现在先积去Ｚ[C]中的A场，其它的与我们在上一节的计算一样，单是因子exp[i/(2pi)\int dB/\dA], 现在多贡献出了一个边界项
exp[i/(2pi)B(p)\int_C dA]
由于绕C一圈A加2pi, 所以最后的结果就是
Z'[C]=\pathint[B]exp[iB(p)]exp[-T/(4pi)\int (dB)^2]
哈哈，算出来了! 看到没? 那样弄来弄去也不是完全没有用的。
这个计算告诉我们，在B场描写中，vertex 完全可以用局域场算子创生出来，这个算子就是exp[iB(x)], 它在x点创生出了一个单vertex. 要创生反vertex的话，就应该用算子exp[-iB(x)].
现在我们可以将vertex anti-vertex 的稀薄气体都算出来了，很简单，在B场描写中它就是贡献一个因子
exp[g\int Cos(B)]
嘛。筒子们想一想，是不是这样？其中的积分这是来自我们对vertex位置的积分嘛！
哈哈！现在整个配分函数在B描写中就变成了
ZI=\pathint[B]exp{-T/(4\pi)\int (dB)^2+g\int Cos(B) }
我们用符号ZI来提醒我们，我们是作了单vertex以及稀薄气体近似的。
回到故事
绕了一圈，现在又可以回到我们的故事来了。从ZI的表达式可以看出来。在低温的时候，相位涨落很大，他们抹平了vextex 项的贡献。长程上我们可以完全忽略vertex, 可以很容易用A场的描写算出相关联
在高温的时候，相位刚性很大，vertex项的贡献很重要，B场基本上被固定在了pi 。在这个附近展开，容易看到有Gap。体系只有短程序。
临界的情形是可以这么来确定，我们看什么时候Cos(B)，也就是vertex涨落，是一个Marginal 扰动。从B描写的标准场论计算可以得到这个临界的条件是
1/(2T)=2 即 T=1/4
当Ｔ＞1/４时，Cos(B)是相关项，体系有Gap，长程上重正化群流向平庸。当T〈 1/4 时， Cos(B)是无关项，长程上重正化群流向一个自由的玻色子CFT。 相算子的长程关联就是前面算得的(1/x^2)^{T/2}。当在T=1/4的临界点时，相算子的关联为(1/x^2)^{1/8}, Cos(B)是Marginal项，当g=0时体系在长程上流向一个Z2 orbifold 的c=1 CFT, Cos(B)是沿着orbifold分支的deformation。
前面说过，我们作了单vertex的近似。可以预料di-vertex 应该贡献一个类似Cos(2B)的项。当温度高到1时侯，Cos(2B)也将由无关转变为相关项。因此我们的单vertex近似其实只在T小于1的时候才是比较好的。温度高到一定的时候，带各种拓扑量子数的vertex都有其重要性，di-vertex 可能分开成两各单vertex, 俩单vertex 可能形成一个di-vertex, 等等等等，这样的过程将在长程上不断地进行。比方说吧，你用手（哈哈，小样，烫不死你！）划拉一下，激发一个高拓扑量子数的vertex。这个vertex 会分开分开，一直分到，比方说k-vertexv吧，其涨落成为相关涨落。这个时候从单vertex 一直到k-vertex, 它们的涨落、转化、相互作用都将很重要。让我们试想一下，假如k是一个很大的数，大到使得k-vertex成为一个宏观东东，会怎么样？有点点像湍流了吗？同志们！
不管怎么样，从开头到结尾，SO(2)对称性都没有破缺，A场本身就没有获得过真空期待值。因此，虽然发生了连续相变，但并没有连续对称性的自发破缺。Coleman的No-Go定理虽然是一张致密的网，不过BKT相变却不在这张网的范围之内。擦边而过，有惊无险。
参考文献
1. N.D. Mermin, H. Wagner: "Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models", Phys. Rev. Lett. 17, 1133–1136 (1966)
2. P.C. Hohenberg: "Existence of Long-Range Order in One and Two Dimensions", Phys. Rev. 158, 383 (1967)
3. Sidney Coleman: "There are no Goldstone bosons in two dimensions", Commun. Math. Phys. 31, 259 (1973)
4. J. M. Kosterlitz & D. J. Thouless, "Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems", Journal of Physics C: Solid State Physics, Vol. 6 pages 1181-1203 (1973)
预告：后面打算写的是，“逃出No-Go定理的网眼之Coleman-Mandula 定理”， 以及“逃出No-Go定理的网眼之Weinberg-Witten定理”。不过，没想到要花这么多时间，掐头去尾抠中间，这一篇也花了我整整半天。所以，下面这两个网眼可能要长时间推后。不过，计划这三个就是一个系列，不会太监的！
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