If you have a basis for the Lie algebra, you can talk of these basis vectors as being "generators for the Lie group". This is true in the sense that, by using the exponential map on linear combinations of them, you generate (at least locally) a copy of the Lie group. So they're sort of "primitive infinitesimal elements" that you can use to build the local structure of the Lie group from.
[PDF]Chapter 7 Continuous Groups, Lie Groups, and Lie Algebras
www.cmth.ph.ic.ac.uk/people/d.vvedensky/groups/Chapter7.pdf
Consider a set of elements R that depend on a number of real continuous
parameters, R(a) ´ R(a1; a2; : : : ; ar). These elements are said to form
a continuous group if they ful¯ll the requirements of a group (Section
2.1) and if there is some notion of `proximity' or `continuity' imposed
on the elements of the group in the sense that a small change in one
of the factors of a product produces a correspondingly small change in
their product. If the group elements depend on r parameters, this is
called an r-parameter continuous group.
In general terms, the requirements that a continuous set of elements
form a group are the same as those for discrete elements, namely, closure
under multiplication, associativity, the existence of a unit, and
an inverse for every element.
http://www.ccthere.com/article/4084737
vector field, where potential is force, and we need basis or generators
基因的实质既不是DNA也不是RNA，而是它们所记录的信息
核酸是一种有机大分子，分为DNA和RNA两种，分别由4种不同的“碱基”以不同次序连列而成。这四种碱基以编码的方式记录了生命体的所有的信息，这个生命的信息，就称之为“基因”。
希望这样的原则能为科幻小说家提供创造新的奇异生命形式的灵感，毕竟，只是满足这样简单的条件该不会太困难吧。不过令人惊讶的是，就目前所知，仍然只有一类物质可以有完全的把握能满足这看来简单的原则。而宇宙创造这个物质用了150亿年。这个独一无二的神奇物质就是：以核酸为基础的“基因”。无论是人、动物、植物还是细菌，简单测定体内成分，所有生物体都是由蛋白、脂肪、糖类和核酸等多种有机物组成的复杂的结构，这里面，核酸的比例其实不算高。但只有核酸才是生命的载体，可以复制、可以产生变化的是核酸，而所有其它物质都不过是核酸为了达成进化的目的而请的雇工而已。
那么核酸就是生命本身吗？我觉得还不是，“基因”才是生命本身。对生物学有了解的朋友们可能会有些困惑了：“基因”与“核酸”难道不是一回事吗？按照教科书的解释，基因是指携带有遗传信息的核酸序列。那就是说基因是一小段核酸喽。可这就带来了许多问题：核酸有DNA和RNA两种，彼此可惜相互拷贝，基因到底是DNA还是RNA片段呢？如果按照有些教科书上说的是DNA的话，多数染色体DNA上有大量垃圾片段，需要剪切以后才能发挥功能，这些垃圾片段算不算基因的一部分呢？所以，基因的实质既不是DNA也不是RNA，而是它们所记录的信息。
从化学的角度，核酸是一种有机大分子，分为DNA和RNA两种，分别由4种不同的“碱基”以不同次序连列而成。这四种碱基以编码的方式记录了生命体的所有的信息，这个生命的信息，就称之为“基因”。基因作为信息，是超越物质的存在，它甚至经常可以从一种物质转换到另一种物质上（如从DNA拷贝到RNA上），而完全不影响它的内涵。有些科学家推测，最初的生命信息甚至可能是从晶体粘土一类的物质开始的，后来才通过某种方式复制到核酸上。以后科技进步，或许可以将基因以其他方式传递，比如电脑芯片什么的。无论基因信息储存在粘土、DNA、RNA还是计算机硬盘里，它的信息如果没有改变，那就还是原来的那个基因。这也完全印证了我们开始讨论的“生命不死”时所分析的，不死的是生命的信息。如果说核酸是一本书的话，基因就是写在书里的内容。当你说“我特别喜欢这本书”时，你喜欢的到底是刻着字的纸张，还是里面记载的内容？如果把书里的内容可在光盘上，你不会觉得就变成另一本书了吧？
四、不死的秘密 [ swordi ] 于:2015-01-06 13:16:54 复:4083769
生者不死。生命最了不起的核心在于她独有的在亿万年的时间尺度中不断对抗死亡的超绝能力。那么生命是怎样做到这一点的呢。我们在前文中提到的生命定义里所说的“达尔文式的进化”又是怎么一回事呢？让我们还是从本源之处开始我们的推演。
刚才我们提到，宇宙间每一个存在都有自己独特的信息。反过来，每一个独特的信息本身也就代表了一个存在。当这样的信息确实可以被用来“复活”原来的存在，那么“信息”与“存在”在某种意义上就可以划上等号了。就像我手中这台THINKPAD电脑，如果有一天它染了病毒或是任何其他原因坏了——死了，我可以用备份程序重建一个一模一样的，于是它获得了“重生”。当然，在这个例子里，是“我”而不是电脑自己使之获得重生的，但无论如何，我的电脑跟原来没什么两样，它“复活”了！从这个角度来说，只要备份程序还在，我的电脑其实不算是死了。
写到这里，有没有谁灵机一动：“死亡”好像也没有那么不可战胜嘛？你看，如果有办法将自己的信息复制无数份，那么死了一个备份还有许多备份存在，不就可以对抗死亡了吗？那么生命不死的秘密在于复制与繁殖吗？嗯，当你这样思考时，你的确已经开始接近生命不死的秘密了。
在自然界里，这样可以自己复制自身的情形不算常见，但也不是绝无仅有。我所居住的圣迭戈市是一个风景优美的海滨城市，气候宜人，唯一的自然灾害就是山火，我隔几年就会经历一次。山火从一个小小的着火点，通过吞噬周围的野草树木迅速壮大，形成恐怖的火龙。有时一个着火的枝条被风吹到远处，就可能开始一个新的着火点，形成一个新的山火——这不就是原来火龙的复制吗？这样的复制无疑推迟了火龙耗尽燃料而熄灭或被救火队员扑灭的时间，也就是说推迟了火龙的死亡。说起来，火龙甚至能对风、地形等不同情况作出不同的反应，就像是真有生命的灵性一样。
另一个自我复制的例子，当一小颗食盐晶体掉在饱和食盐溶液中，这颗晶体就会以自己为核心复制更多的具有相同结构的晶体。一颗小盐粒现在成了一团大盐球。一颗雨滴从天而降，这原本会彻底溶解（消灭）原来的那颗盐晶粒子，但现在的大盐球却岿然不动。哈，我们的食盐晶体通过复制自身结构的方式成功逃脱了一次死亡的威胁！
但食盐晶体的好运也就到此为止了：在上一次复制的过程中，它已经用光了溶液中的原材料，现在没法再扩增了。它既不能想办法找到更多的原材料，也没法利用其它东西作原料，当下一次更大的雨水向它冲来时，终究还是难逃一死——只是略略推迟了一些而已。
你看，自我复制的确是生命逃脱死亡的起点，但光有这一点还不够。因为自我复制需要消耗资源、需要特定的环境条件，所以这种简单的复制不可能无限进行下去。当资源耗尽、环境变化时，复制无法继续时，死亡的命运也就接踵而至了。所以，不管是火龙还是晶体，没人会觉得它们真是生命。
那么如何才能持续逃脱死神的追逐，活得像个生命一样呢？如何不断适应新的环境变化，获取新的资源，从而持续复制呢？
对于生命的要素，多数当今的生物学家的基本已经有了共识，每个人的措辞可能不同，但主要的关键词如“复制”、“变异”等都是必不可少的。根据我自己的总结，需要同时具备这样三个条件：
1. 具有自我复制能力；
2. 能够独立产生可被复制的变异；
3. 这些变异中有可能（但不必然）有利于其自我复制的进行，从而被自然拣选。
具备了这三个条件，结果就是可以在遗传和变异的基础上适应环境的变化而发生繁衍进化，或者说，是可以独立完成达尔文式的进化了。所以这也让我们回到前面Gerald Joyce给出的定义：“生命是一个能进行达尔文式进化的自我维持的化学体系”。我们其实可以用一句话直截了当的定义生命：生命在于进化，能进化的就是生命！
以进化与否来作为生命的标准，这有别于传统生物学中使用过的描述性的分类标准，与其说这是一个分类标准，毋宁说是一个抽象的逻辑原则。可以这样说，无论其外在表现如何，无论是否有细胞的结构，是否由蛋白质与核酸组成，是否是有机物构成的，甚至极端的说，如果把上面定义里的“化学”两字去掉，其实可以说，无论其物理基础是否物质性的，凡符合这样三条原则的，它就必然会因应环境而进行达尔文式的自我进化以适应环境，从而都可以说是一种生命的形式。
希望这样的原则能为科幻小说家提供创造新的奇异生命形式的灵感，毕竟，只是满足这样简单的条件该不会太困难吧。不过令人惊讶的是，就目前所知，仍然只有一类物质可以有完全的把握能满足这看来简单的原则。而宇宙创造这个物质用了150亿年。这个独一无二的神奇物质就是：以核酸为基础的“基因”。无论是人、动物、植物还是细菌，简单测定体内成分，所有生物体都是由蛋白、脂肪、糖类和核酸等多种有机物组成的复杂的结构，这里面，核酸的比例其实不算高。但只有核酸才是生命的载体，可以复制、可以产生变化的是核酸，而所有其它物质都不过是核酸为了达成进化的目的而请的雇工而已。
那么核酸就是生命本身吗？我觉得还不是，“基因”才是生命本身。对生物学有了解的朋友们可能会有些困惑了：“基因”与“核酸”难道不是一回事吗？按照教科书的解释，基因是指携带有遗传信息的核酸序列。那就是说基因是一小段核酸喽。可这就带来了许多问题：核酸有DNA和RNA两种，彼此可惜相互拷贝，基因到底是DNA还是RNA片段呢？如果按照有些教科书上说的是DNA的话，多数染色体DNA上有大量垃圾片段，需要剪切以后才能发挥功能，这些垃圾片段算不算基因的一部分呢？所以，基因的实质既不是DNA也不是RNA，而是它们所记录的信息。
从化学的角度，核酸是一种有机大分子，分为DNA和RNA两种，分别由4种不同的“碱基”以不同次序连列而成。这四种碱基以编码的方式记录了生命体的所有的信息，这个生命的信息，就称之为“基因”。基因作为信息，是超越物质的存在，它甚至经常可以从一种物质转换到另一种物质上（如从DNA拷贝到RNA上），而完全不影响它的内涵。有些科学家推测，最初的生命信息甚至可能是从晶体粘土一类的物质开始的，后来才通过某种方式复制到核酸上。以后科技进步，或许可以将基因以其他方式传递，比如电脑芯片什么的。无论基因信息储存在粘土、DNA、RNA还是计算机硬盘里，它的信息如果没有改变，那就还是原来的那个基因。这也完全印证了我们开始讨论的“生命不死”时所分析的，不死的是生命的信息。如果说核酸是一本书的话，基因就是写在书里的内容。当你说“我特别喜欢这本书”时，你喜欢的到底是刻着字的纸张，还是里面记载的内容？如果把书里的内容可在光盘上，你不会觉得就变成另一本书了吧？
基因就是生命的本质，生命其实就是基因！虽然大千世界千奇百怪的物种数不胜数，从外表看来天差地别，但它们的核心远没有它们的外表看来那么大，老虎与海藻说到底都不过是披着不同马甲的“基因”而已。
对了，佛家说“骷髅红颜”，要我们抛开皮囊幻象的束缚，莫非就是在揭示出我们真正的生命是作为信息而存在的基因，与承载她的血肉躯壳并非同一的道理吗？善哉！
刚才我们提到，宇宙间每一个存在都有自己独特的信息。反过来，每一个独特的信息本身也就代表了一个存在。当这样的信息确实可以被用来“复活”原来的存在，那么“信息”与“存在”在某种意义上就可以划上等号了。就像我手中这台THINKPAD电脑，如果有一天它染了病毒或是任何其他原因坏了——死了，我可以用备份程序重建一个一模一样的，于是它获得了“重生”。当然，在这个例子里，是“我”而不是电脑自己使之获得重生的，但无论如何，我的电脑跟原来没什么两样，它“复活”了！从这个角度来说，只要备份程序还在，我的电脑其实不算是死了。
写到这里，有没有谁灵机一动：“死亡”好像也没有那么不可战胜嘛？你看，如果有办法将自己的信息复制无数份，那么死了一个备份还有许多备份存在，不就可以对抗死亡了吗？那么生命不死的秘密在于复制与繁殖吗？嗯，当你这样思考时，你的确已经开始接近生命不死的秘密了。
在自然界里，这样可以自己复制自身的情形不算常见，但也不是绝无仅有。我所居住的圣迭戈市是一个风景优美的海滨城市，气候宜人，唯一的自然灾害就是山火，我隔几年就会经历一次。山火从一个小小的着火点，通过吞噬周围的野草树木迅速壮大，形成恐怖的火龙。有时一个着火的枝条被风吹到远处，就可能开始一个新的着火点，形成一个新的山火——这不就是原来火龙的复制吗？这样的复制无疑推迟了火龙耗尽燃料而熄灭或被救火队员扑灭的时间，也就是说推迟了火龙的死亡。说起来，火龙甚至能对风、地形等不同情况作出不同的反应，就像是真有生命的灵性一样。
另一个自我复制的例子，当一小颗食盐晶体掉在饱和食盐溶液中，这颗晶体就会以自己为核心复制更多的具有相同结构的晶体。一颗小盐粒现在成了一团大盐球。一颗雨滴从天而降，这原本会彻底溶解（消灭）原来的那颗盐晶粒子，但现在的大盐球却岿然不动。哈，我们的食盐晶体通过复制自身结构的方式成功逃脱了一次死亡的威胁！
但食盐晶体的好运也就到此为止了：在上一次复制的过程中，它已经用光了溶液中的原材料，现在没法再扩增了。它既不能想办法找到更多的原材料，也没法利用其它东西作原料，当下一次更大的雨水向它冲来时，终究还是难逃一死——只是略略推迟了一些而已。
你看，自我复制的确是生命逃脱死亡的起点，但光有这一点还不够。因为自我复制需要消耗资源、需要特定的环境条件，所以这种简单的复制不可能无限进行下去。当资源耗尽、环境变化时，复制无法继续时，死亡的命运也就接踵而至了。所以，不管是火龙还是晶体，没人会觉得它们真是生命。
那么如何才能持续逃脱死神的追逐，活得像个生命一样呢？如何不断适应新的环境变化，获取新的资源，从而持续复制呢？
对于生命的要素，多数当今的生物学家的基本已经有了共识，每个人的措辞可能不同，但主要的关键词如“复制”、“变异”等都是必不可少的。根据我自己的总结，需要同时具备这样三个条件：
1. 具有自我复制能力；
2. 能够独立产生可被复制的变异；
3. 这些变异中有可能（但不必然）有利于其自我复制的进行，从而被自然拣选。
具备了这三个条件，结果就是可以在遗传和变异的基础上适应环境的变化而发生繁衍进化，或者说，是可以独立完成达尔文式的进化了。所以这也让我们回到前面Gerald Joyce给出的定义：“生命是一个能进行达尔文式进化的自我维持的化学体系”。我们其实可以用一句话直截了当的定义生命：生命在于进化，能进化的就是生命！
以进化与否来作为生命的标准，这有别于传统生物学中使用过的描述性的分类标准，与其说这是一个分类标准，毋宁说是一个抽象的逻辑原则。可以这样说，无论其外在表现如何，无论是否有细胞的结构，是否由蛋白质与核酸组成，是否是有机物构成的，甚至极端的说，如果把上面定义里的“化学”两字去掉，其实可以说，无论其物理基础是否物质性的，凡符合这样三条原则的，它就必然会因应环境而进行达尔文式的自我进化以适应环境，从而都可以说是一种生命的形式。
希望这样的原则能为科幻小说家提供创造新的奇异生命形式的灵感，毕竟，只是满足这样简单的条件该不会太困难吧。不过令人惊讶的是，就目前所知，仍然只有一类物质可以有完全的把握能满足这看来简单的原则。而宇宙创造这个物质用了150亿年。这个独一无二的神奇物质就是：以核酸为基础的“基因”。无论是人、动物、植物还是细菌，简单测定体内成分，所有生物体都是由蛋白、脂肪、糖类和核酸等多种有机物组成的复杂的结构，这里面，核酸的比例其实不算高。但只有核酸才是生命的载体，可以复制、可以产生变化的是核酸，而所有其它物质都不过是核酸为了达成进化的目的而请的雇工而已。
那么核酸就是生命本身吗？我觉得还不是，“基因”才是生命本身。对生物学有了解的朋友们可能会有些困惑了：“基因”与“核酸”难道不是一回事吗？按照教科书的解释，基因是指携带有遗传信息的核酸序列。那就是说基因是一小段核酸喽。可这就带来了许多问题：核酸有DNA和RNA两种，彼此可惜相互拷贝，基因到底是DNA还是RNA片段呢？如果按照有些教科书上说的是DNA的话，多数染色体DNA上有大量垃圾片段，需要剪切以后才能发挥功能，这些垃圾片段算不算基因的一部分呢？所以，基因的实质既不是DNA也不是RNA，而是它们所记录的信息。
从化学的角度，核酸是一种有机大分子，分为DNA和RNA两种，分别由4种不同的“碱基”以不同次序连列而成。这四种碱基以编码的方式记录了生命体的所有的信息，这个生命的信息，就称之为“基因”。基因作为信息，是超越物质的存在，它甚至经常可以从一种物质转换到另一种物质上（如从DNA拷贝到RNA上），而完全不影响它的内涵。有些科学家推测，最初的生命信息甚至可能是从晶体粘土一类的物质开始的，后来才通过某种方式复制到核酸上。以后科技进步，或许可以将基因以其他方式传递，比如电脑芯片什么的。无论基因信息储存在粘土、DNA、RNA还是计算机硬盘里，它的信息如果没有改变，那就还是原来的那个基因。这也完全印证了我们开始讨论的“生命不死”时所分析的，不死的是生命的信息。如果说核酸是一本书的话，基因就是写在书里的内容。当你说“我特别喜欢这本书”时，你喜欢的到底是刻着字的纸张，还是里面记载的内容？如果把书里的内容可在光盘上，你不会觉得就变成另一本书了吧？
基因就是生命的本质，生命其实就是基因！虽然大千世界千奇百怪的物种数不胜数，从外表看来天差地别，但它们的核心远没有它们的外表看来那么大，老虎与海藻说到底都不过是披着不同马甲的“基因”而已。
对了，佛家说“骷髅红颜”，要我们抛开皮囊幻象的束缚，莫非就是在揭示出我们真正的生命是作为信息而存在的基因，与承载她的血肉躯壳并非同一的道理吗？善哉！
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