协作渗透的结晶——指标定理与第二届阿贝尔奖- 与欧氏空间拓扑等价但不与微分拓扑等价,这意味着在四维空间中有2 种不同的微分结构,而在其它维数的空间只有一种.

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2014年12月27日 - 协作渗透的结晶——指标定理与第二届阿贝尔奖, f.r,l 一协作渗透的结晶指标定理与第二届阿贝尔奖诸平(宝鸡文理学院编辑邵,陕西宝鸡721007) ...

 

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2014年12月27日 - 在阿蒂亚的带领下,1982 年年仅25 岁的唐森纳证明了存在一个奇怪的四维空间,它与欧氏空间拓扑等价但不与微分拓扑等价,这意味着在四维空间中 ...

 

 

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2014年12月27日 - ... 它与欧氏空间拓扑等价但不与微分拓扑等价,这意味着在四维空间中有2 种不同的微分结构,而在其它维数的空间只有一种.由于这一发现和其它工作 ...

 

谈几何（十）

(2011-07-14 16:57:43)

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标签： 几何之美

分类： 数理

第九回里，A-S指数定理将流形上的椭圆微分算子的指数（算子的零模数差），与流形上的大范围拓扑性质相联系。为了看清这一点，我们可以沿着这样的路走一遭：

 

1，  同伦群、同调群。

 

这里的关键是二者用以描述和刻画流形的非平庸拓扑性质（比如刻画有洞的球体）的角度是什么？二者的生成元是什么？我们知道通论研究的是映射本身（k环路），因此对于一个m维流形，可以有任意高阶同伦群，这使得同伦群的研究相对复杂，比如连二维球面S^2的同伦群都没有完全解决。相反同调论研究的是同胚映射的像（对流形的剖分，k单形），因此没有高于流形维数m阶的同调群，这使得用同调群研究流形的拓扑性质更为容易。同时我们在对流形上的拓扑障碍的分析中可以看到，同调群和同伦群相互关联。在熟悉了一般同调论之后，推广的上同调论，谐和形式，层上同调论就易于理解。

 

2，  纤维丛理论

 

    纤维丛理论是对一般流形上切从的推广。这里的关键是弄清楚：底流形，底流形自身的结构函数（和乐群）;底流形上（纤维的）结构函数，即规范群，以及规范群上同调；联络，联络是取值在规范群李代数上的底流形上的一形式，以及联络空间上同调；轨道空间，联络空间上每一点还可以做任意规范变换，因此要把规范群给抹掉，以及轨道空间上同调。

 

    底流形可以有结构，这个结构对其和乐群有限制。比如偶维流形上如果有近复结构，那么和乐群为GL（m,C），进一步如果近复结构可积（无挠），则上升为复结构，这时和乐群约化为U（m），再进一步如果该复结构是Ricci平的（第一陈类为零），和乐群就约化到了SU（m）。

 

    纤维是与底流形切从无关的k矢丛，是内部自由度。比如Minkowski空间M^4上的Yang-Mills场，就是时空流形上的主SU（2）丛，那么衡量M^4上是否可以处处有k个SU（2）标架，就是拓扑障碍分析的关键所在了。注意这个规范群SU（2）并非底流形M^4上的和乐群，M^4可以共形紧致化到的是S^1XS^3/z_2。

 

    由于物理体系有规范不变性，所以动力学变量实际上是轨道空间上的泛函。但是场论中的基本变量是联络。因此我们首先需要分析轨道空间的同调群，再分析联络空间的同调群，并找出二者的关系。Cech-de Rham 双复形理论和Dirac算子族指标定理用两种不同的视角研究了二者的关系。

 

    至此我们已经超出了对A-S指标定理的说明，可以看出对纤维丛上大范围拓扑性质的分析要点何在。关于此在物理上的应用，主要有单极子、瞬子、θ真空、量子反常。以量子反常为例，Abel场的轴矢流反常可以完全用A-S指标定理得到而无需进行微扰论的计算，非Abel场的反常（自洽反常和协变反常）有相同的拓扑根源，可以用Cech-de Rham 双复形理论进行拓扑障碍的递降继承分析，同样无需进行微扰论计算而得到