熱力學極限- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia
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热力学极限_百度百科
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[PPT]基礎物理總論— 熱力學與統計力學 - 物理學系 - 東海大學
phys.thu.edu.tw/~ctshih/teach/fundamental/statistics.ppt
热力学极限--中国百科网
www.chinabaike.com/article/.../200805111466517.html
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macroscopic limit - 巨觀極限
terms.naer.edu.tw/detail/1328596/
Ising模型中配分函数为什么当N趋向于无穷时取贡献最大的一项？
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3 个回答
1.将N，V取无穷，N/V保持有限的极限被称为“热力学极限”(thermodynamic limit)，在这种极限下我们忽略了所有热力学涨落（热力学涨落正比于
）。
2.对一维Ising模型来说，我们常常让链首尾相接，因此不存在“边界”的概念，没有边界态。另一方面，我们在研究Ising模型时本就比较关注“体积内”的物理。当然，如果我们给体系加上适当的BCS相互作用，那么一个有限的Ising链可能产生非平庸的边界态（Majorana费米子），这就是所谓的Kitaev模型，但这是另一个故事了。总之，取无限长链(
)和热力学极限在Ising模型中是完全恰当的。
3.利用传递矩阵(transfer matrix)方法，一维Ising模型的配分函数可以写为
，当我们取的极限时，两个本征值中
,因此后一项可以忽略。这就像
,两者差距不大，但
，第一个数字接近于阿伏伽德罗常数的平方，第二个数字还不够在北上广买套房。
======================================================================
评论中 @曾博提到涨落随自由度增大而减小的证明。对一般情况的严格证明，我不知道有没有，即便有，也应该需要一定的数学条件。但粗略地说，下面的论证可以多少体现其物理意义，
假设物理量
具有可加性，即在N个粒子组成的系统中
可以写为每个粒子的和。如果对每一个粒子，
的期望![E[z_i]=z_0](http://zhihu.com/equation?tex=E%5Bz_i%5D%3Dz_0)
，方差![E[(z_i-z_0)^2]=\sigma_{z_0}^2](http://zhihu.com/equation?tex=E%5B%28z_i-z_0%29%5E2%5D%3D%5Csigma_%7Bz_0%7D%5E2)
，
容易知道![E[z]=Nz_0](http://zhihu.com/equation?tex=E%5Bz%5D%3DNz_0)
。与此同时，方差
![\sigma_z^2=E[(z-E(z))^2]=\sum_{i,j}E[(z_i-z_0)(z_j-z_0)]=N\sigma_{z_0}^2+\sum_{i\ne {j}}E[(z_i-z_0)(z_j-z_0)]](http://zhihu.com/equation?tex=%5Csigma_z%5E2%3DE%5B%28z-E%28z%29%29%5E2%5D%3D%5Csum_%7Bi%2Cj%7DE%5B%28z_i-z_0%29%28z_j-z_0%29%5D%3DN%5Csigma_%7Bz_0%7D%5E2%2B%5Csum_%7Bi%5Cne+%7Bj%7D%7DE%5B%28z_i-z_0%29%28z_j-z_0%29%5D)
最右边的第二项体现了粒子间的关联，在许多情况下最终为0或很小（如理想气体中各粒子运动相互独立，每一项关联都是0），因此我们得到了
上面的推导肯定是不完备的，但基本是物理的，没有对分布有特别的假设，也没有复杂的数学考虑。了解概率论的同学应该能看出来，这个推导其实与中心极限定理十分相关，也类似于布朗运动的随机行走模型。
2.对一维Ising模型来说，我们常常让链首尾相接，因此不存在“边界”的概念，没有边界态。另一方面，我们在研究Ising模型时本就比较关注“体积内”的物理。当然，如果我们给体系加上适当的BCS相互作用，那么一个有限的Ising链可能产生非平庸的边界态（Majorana费米子），这就是所谓的Kitaev模型，但这是另一个故事了。总之，取无限长链(
3.利用传递矩阵(transfer matrix)方法，一维Ising模型的配分函数可以写为
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评论中 @曾博提到涨落随自由度增大而减小的证明。对一般情况的严格证明，我不知道有没有，即便有，也应该需要一定的数学条件。但粗略地说，下面的论证可以多少体现其物理意义，
假设物理量
容易知道
最右边的第二项体现了粒子间的关联，在许多情况下最终为0或很小（如理想气体中各粒子运动相互独立，每一项关联都是0），因此我们得到了
上面的推导肯定是不完备的，但基本是物理的，没有对分布有特别的假设，也没有复杂的数学考虑。了解概率论的同学应该能看出来，这个推导其实与中心极限定理十分相关，也类似于布朗运动的随机行走模型。
cooper edward，graduate student
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In the thermodynamic limit, as N approaches infinity, the free energy is -kTln(Big eigenvalue+ small eigenvalue)....you will see that the small value is zero as compared to big value in thermodynamic limit. Thus the contribution from the small eigenvalue is ignored and exact in the thermodynamic limit. If the ising chain is finite, then ignore the contribution from small eigenvalue is just a valid approximation.
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