拓撲相互作用在高份子系統尤
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Thursday, April 2, 2015
拓撲相互作用在高份子系統, 利用熱擾動(布朗運動)去把一個有一處剪; 所謂的拓樸不變量就是在同胚映射作用下不變的數學量
拓撲相互作用在高份子系統尤
拓撲相互作用在高份子系統尤
2012年2月27日 - 因此我們引進了拓樸不變量的概念，所謂的拓樸不變量就是在同胚映射作用下不變的數學量。例如由拉示性數 \chi(X) 是拓樸不變量，基本群 \pi_{1}(X) ...
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錯數(整數)，而k 則標示拓撲不同的結。C 是一個拓. 撲不變量，兩個有不同C 值的結必是拓撲. 不相同。 圖二. 但用來辨別拓撲不同的結，C 卻不是一個很好的拓.
為重要，它主宰系統的動力行為，亦影響高份子的
整體結構。但如何有系統的來探測結的拓撲相互作
用 ? 古語有云: “解鈴還需繫鈴人”，以此作逆向
思考，則如欲瞭解結之性質，可嘗試去解開之。把
漫談繩結的一些物理與歷史
漫談繩結的一些物理與歷史
黎璧賢
國立中央大學物理系及複雜系統中心
e-mail: pylai@fermi.phy.ncu.edu.tw
∎ 楔子
很多人都會試過去解開一紽紏纏不清的打結繩
團的經驗，而繩團的結越多將需要更多的時間與耐
性去解開它。隨機或粗暴的動作往往會使事情更
糟，耐心不足的最後會放棄或拿起剪刀。結在我們
的日常生活中隨處可見，如打領帶用繩索縛東西等
等。有人說結很像夜空中的星星，它們都有無窮的
數目，也同樣的美麗和令人著迷（如圖一）。
圖一
數學上對結(Knot)有比較嚴謹的定義，結是
一條在三維中的閉合曲段，在空間中可有不同的交
錯纏擾而構成拓撲不同的結（圖一）。對兩個拓撲不
同的結，無論如何去解或作連續變化(不可剪斷)，
將無法把其中一個結變成另一個。反之，如果在有
限步之 Reidemeister Moves 內可將一個結化成另一
個，則此二結實為同一種結。在數學上對拓撲不同
的結作分類是個有趣的未解問題。對拓撲不同的結
最基本的命名是 Ck（見圖一），其中 C 是有效交錯
數(essential crossings)，是結投影在平面上之最少交
錯數(整數)，而 k 則標示拓撲不同的結。C 是一個拓
撲不變量，兩個有不同 C 值的結必是拓撲
不相同。
圖二
但用來辨別拓撲不同的結，C 卻不是一個很好的拓
撲不變量，因對複雜的結 C 有很高的簡併度。如圖
一所示，C=5 時有兩種不同的結，C=6 時有三個。
目前已找出所有少於 C=14 的結，結的數目和 C 的
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關係如圖二所示，對複雜的結(C 值大)其簡併度隨 C
作指數增長。近代發現的拓撲不變量，如亞歷山大
(Alexander)鍾斯，(Jones)多項式及 Vassiliev 不變量
等，能較為有效辨認不同的結，但對複雜的結，仍
未有一個拓撲不變量是和拓撲不同的結有一一對應
的關係。
∎ 繩結在人類文明的歷史
從考古學研究顯示，人類在遠古時期已懂得使
用繩結，這可從洞穴人其遺留下來的帶孔的石製工
具間接得知。如在周口店洞穴中發現用骨製的針和
有穿孔的貝殼(後舊石器時期, 約在一萬八千年
前)。及後在各處古人類文明歷史中都有繩結使用的
記載。如在中國的古書<周易>就明確記有『上古結
繩而治』,<莊子>中亦有提及遠古時代人物如神農,
伏羲,軒轅黃帝等使用繩結來記事。漢朝的<易註>
也記有上古時結繩以記事，大事以大結記之，小事
則用小結。遠在符號和文字發明前，古人類已利用
繩結作記錄工具，數字亦利用多個繩結的組合來表
示和計算。如圖三之古中國繩結表示完結之意。此
外,南美州的印加(Inca)古文明(公元前 1400-1560 年)
就利用繩結來建立一套算數及記數的系統籍以作稅
務及交易的運算。結之所以被用作記憶的工具，除
了材料方便之外，很重要的原因是繩段間不能相互
穿透交錯，這種強大的拓撲相互作用有記憶能力：
拓撲不同的結永不一樣，除非把繩剪斷和黏合。
圖三
∎ 在科學領域中出現的結
雖然繩結在人類生活中有久遠之歷史，但以科
學方法去描述或探討結(knot)的性質卻是近二百多
年的事情。最早有數學的記載是高斯在 1794 年其電
磁學理論研究中有關磁力線穿透兩個環狀導線中的
電感(inductance)，他寫下了環繞數(Linking number)
的公式，在現今之結理論概念中仍是個基本工具。
高斯遺留下來的手稿畫有不少結的圖示和筆記，清
楚顯示他認為結的研究在數學上是一個重要的問
題。雖然高斯在結或拓撲學上的研究不多，但受他
影響的學生對結理論卻有很大的貢獻。高斯的學生
Listing 以投映平面圖來表示結，亦嘗試建立拓撲不
變量。後來英國數學家 Tait 等人花了多年時間有系
統的找出少於 C=10 的結及其圖示。到 1900 年時，
結的圖表已幾達 C=11，但要辨別拓撲不同的結，一
個有效的不變量是很重要的。Alexander 於 1928 發
現建立多項式作為結的拓撲不變量，亞歷山大多項
式在結理論及結的完全圖表一直是很有用的工具。
及後 Reidemeister 發現可把對結的所有拓撲不變動
作皆可化為連串的三種 Reidemeister moves
(1932)，都對結理論以及後來物理中的 Yang-Baxter
方程有很大影響。70 年代著名數學家 Conway 亦對
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結理論有重要貢獻。重大突破發生於 1983 年當鍾斯
發現了他的 Jones polynomial，及後結理論有爆炸性
的發展，亦與統計物理及量子群論有非常密切的關
係。
其實把結和物理連在一起的想法早在百多年前
已出現，Lord Kelvin(William Thompson)在 1860 年
代提出不同原子元素是拓撲不同的質數結，存在以
太(ether)之中，而元素的穩定性是因為結的強拓撲
限制令其維持同一種結。原子在極高能量下可變為
另一元素被解釋成結被高能量剪開後再重新形成另
一種結。當然這是個錯誤的理論。直至近十數年，
因為鍾斯多項式的突破，結和物理又有緊密的連
係，主要是在統計力學中晶格模型可解系統及
Yang-Baxter 方程跟結有關。此外，Witten 在 1988
年亦發現鍾斯多項式亦很自然的出現在 2+1 維的拓
撲量子場論中；穩定的結解在三維經典場論中的
Skyrme 模型出現； 一些非線性動力系統在相空間
或實空間出現有結的週期或極限環行為。上述的物
理領域相關例子都是抽象和數學化，跟直觀的物理
相去較遠。另一方面，在生物､化學､物理及數學
不同科學領域中亦有一些科學家對結本身的物理性
質有興趣。例如: 自然界有出現帶結的環 DNA 份
子，特別的拓撲 (topoisomerase)可令 DNA 的拓撲
結構改變; 化學上可以人工合成的結份子，而成份
相同但拓撲不同的份子可以有不同的化學性質; 結
對宏觀繩索張力及拉斷的影響；以至可利用光鉗攝
抓 DNA 或 actin 份子來打結等等。
∎ 繩結中的分類與拓撲作用
我對結感到有興趣的是它所包含的拓撲相互作
用，就是繩段之間不可穿透而糾纏在一起的效應
(entanglement effects)。這作用很容易理解，但不易
有正確的量化描述。拓撲相互作用在高份子系統尤
為重要，它主宰系統的動力行為，亦影響高份子的
整體結構。但如何有系統的來探測結的拓撲相互作
用 ? 古語有云: “解鈴還需繫鈴人”，以此作逆向
思考，則如欲瞭解結之性質，可嘗試去解開之。把
結用高份子的模型來處理，可以方便地進行電腦模
擬及測量其結構和動力學等物理性質。在份子微觀
尺度下可利用熱擾動(布朗運動)去把一個有一處剪
斷的結來解開。圖四上方乃一個 C=20 的結在熱平
衡下的形態，在 t=0 時隨機地在一處把高份子剪
斷，然後測量繩段完全解開所需之平均時間。圖四
下方乃此剪斷之結經過很久之後完全解開的形態。
圖四
一般簡單的想法是如果結的 C 值越大，必然需要更
長的時間(τ)去完全解開，但結果出乎意外，顯示有
些 C 值較小的結比更複雜的結(C 值較大)需要更長
的時間去完全解開。如圖五所示 71 結比
81,82,92,101,112,121 等結要更久才解開，而解開時
間與 C 是非單調增加。這表示結的詳細拓撲結構很
重要。但如果把這些結作適當的分類，則可發現所
有這些質數結(prime knots)的平均解開時間在同一
組群內有隨 C 作直線增加的有趣行為。如圖六所
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示，一些組群有較長的τ，意味這些組群的結有較
強的拓撲相互作用。
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圖五
圖六
圖七是部份組群的結圖，組群內之結每成員的
C 值增加二。可以想像拓撲不同的結帶有不同的拓
撲自由能，在把結剪斷後，拓撲自由能平均在時間
τ內耗散至線性高份子之狀態。由τ與 C 在同一組群
的性關係，可推測結的拓撲自由能譜亦分組為等距
之能譜。這對拓撲自由能有比較定量的了解。如圖
八示意之拓撲自由能譜，可以想像拓撲在環狀 DNA
中提供一單位「拓撲子」(topolon)能量而使環狀DNA
增加兩個交結。
圖七
在另一方面，對未有剪斷質數結的 Writhe 數的
統計平均量<Wr>亦發現存有類似的分組及隨 C
作量子化增加的行為。Writhe 數是一幾何量，基本
上是把線段投映交叉依其方位定為+1 或-1(見圖
九)，然後全部相加。平均量<Wr>是再從不同角度
投映後的平均，對手征不變(chiral symmetric)的結，
<Wr>為零。圖九為<Wr>從電腦模擬得到的結果，
顯示有同樣的組群及線性行為。
圖八
+1
-1
圖九
∎ 結語
繩結中拓撲作用仍有很多未清楚之處，利用統
計物理和高份子物理的研究方法有希望對此可以有
深入的認識，從而對各領域如拓撲學、生物鏈狀份
子、理論物理模型之基本拓撲相互作用及現象有所
了解。亦可設計一些實驗去探討結的物理性質，如
可放置一帶結之金屬鏈於振動台上(見圖十)，以探
討結之統計平均性質，例如上述之平均解結時間等。
圖十
參考資料:
● History and Science of Knots, Series on Knots
and Everything vol. 11, edited by J.C. Turner and
P. van de Griend (World Scientific 1996)
● C.C. Adams, The Knot Book (Freeman, NY
1994)
● Knot and Physics, Series on Knots and
Everything vol. 1, edited by L.H. Kauffman
(World Scientific 1993)
● F.Y. Wu, Rev. Mod. Phys. 64, 1099 (1992)
● Y.J. Sheng, P-Y. Lai, and H.K. Tsao, Phys. Rev. E
58, R1222 (1998); 61, 2895 (2000)
● J.Y. Huang and P-Y. Lai, Phys. Rev. E 63, 021506
(2001)
● P-Y. Lai, Y.J. Sheng and H.K. Tsao, Phys. Rev.
Lett. 87, 175503 (2001)
● P-Y. Lai,, Chin. J. Phys. 40, 107 (2002)
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結用高份子的模型來處理，可以方便地進行電腦模
擬及測量其結構和動力學等物理性質。在份子微觀
尺度下可利用熱擾動(布朗運動)去把一個有一處剪
斷的結來解開
為重要，它主宰系統的動力行為，亦影響高份子的
整體結構。但如何有系統的來探測結的拓撲相互作
用 ? 古語有云: “解鈴還需繫鈴人”，以此作逆向
思考，則如欲瞭解結之性質，可嘗試去解開之。把
結用高份子的模型來處理，可以方便地進行電腦模
擬及測量其結構和動力學等物理性質。在份子微觀
尺度下可利用熱擾動(布朗運動)去把一個有一處剪
斷的結來解開。圖四上方乃一個 C=20 的結在熱平
衡下的形態，在 t=0 時隨機地在一處把高份子剪
斷，然後測量繩段完全解開所需之平均時間
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