web.phys.ntnu.no/~mika/skript_qft7.pdf
Thus local U(1) gauge invariance requires the existence of a massless ... tions of n2 − 1 gauge bosons with matter, using as a single parameter the gauge coupling g. ... Since the number of generators is m = n2 − 1 for SU(n), the groups SU(2).
定域规范变换能够改变场量的拉格朗日量，这意味着与定域规范变换有关的内禀空间的转动扭曲了粒子或场所在的坐标系的时空变量——位置变量与时钟变量，形成了一个弯曲的纤维丛镶嵌在平直或弯曲的时空坐标的底流形上；或者说内禀空间的转动产生了力的效应，就像轮胎各点之间独立运动导致轮胎表面伸缩出现弹性力；这种新产生的内禀空间扭转力是用规范场产生的规范势来表示的，类似于引力场或者非惯性运动扭曲时空坐标产生引力效应或惯性力效应。因此，规范场也具有引力场的曲率特征，比如杨-米尔斯场描述了电荷空间的平行位移，并决定电荷空间的曲率特征。在阿贝尔群U(1)的情况下，电荷空间的曲率张量与电磁场强度张量一致，这就成功地把电磁场几何化了。但是，将这种场与时空本身的性质关联起来的大量尝试尚未成功[7,p9-11]。赵国求等人提出的粒子量子波动的曲率特征，可以借助于康普顿物质波与代表电磁场的纤维环丛的曲率联系起来，量子曲率并不代表时空底流形的曲率，所以将几何化电磁场与时空性质联系起来的努力在量子曲率解释中也没有成功。直到后来发现了两个超对称变换等效于彭加勒变换，才出现内禀空间的转动与时空流形的变换联系起来的希望。
时空中的变换群，若群参数为常数，则只是运动学意义上的变换群，对应运动学意义上的对称性
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-19 19:16 标题: 学习中遇到的疑问，请教sage兄和季候风兄
目前我每周都有几天时间系统地打一些基础，在学习过程中，时常会遇到一些疑问。
请教sage兄和季候风兄：
在广义相对论中，跟广义协变性对应的变换群，其独立的群参数一共有多少个（没有办法，我找不到文献解答，只好在这里求助了）？
我们知道，无挠的四维黎曼时空的曲率张量，最多有20个独立分量。曾经有人告诉我说，跟广义协变性对应的变换群，其独立的群参数一共有20个，我不知道这二者之间是否有什么关系。
如果仅仅从一组时空坐标变换到另一组时空坐标的表达式来看（仅仅要求变换矩阵可逆），这个4×4变换矩阵所构成的变换群，最多有16个独立参数。
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-20 10:19 编辑 ]
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-20 01:20
假定跟广义协变性对应的变换群，的确有20个独立参数，我自己是通过这样猜测来理解的，不知道对不对（没有办法，我实在找不到相关文献来提供标准答案）：
1）我们知道，彭加勒群有10个独立参数，但它只是一个运动学意义上的群，如果要把广义相对论中的广义协变性包括进去，还要考虑有动力学内容的变换群（局域化的对称群）。
2）让彭加勒群的10个独立参数，都成为故有时的函数，这样，就还要考虑这10个独立参数对故有时τ的导数（比如取τ=0时的值）。这样，就有20个独立参数了，它们同时概括了运动学和动力学内容，后者和“惯性系与加速系之间的变换”有关。
3）如果把彭加勒群的10个独立参数看做广义坐标，则这10个独立参数对故有时的导数，相当于10个独立的广义速度（或者通过某个变换换成10个独立的广义动量）。如果是上述这样，那么把彭加勒群的10个独立参数看做广义坐标，再把它们对故有时的导数构造出对应的广义动量来，得到的20维群流形，就相当于20维的“辛流形”了。
此外，我的感受是：广义相对论的美，除了其原有的美，还有把它纳入nonAbel规范场的语言框架时所体现出来的美。把广义相对论纳入nonAbel规范场的语言框架时，需要把部分时空分量指标看作是不同场的编号指标，这样就得到联络1形式和曲率2形式，它们分别与规范势和场强张量相对应。在QCD中，不同场的编号指标是色指标（统称为“荷指标”），由于色荷与惯性质量是两回事，所以在这里，荷指标与时空分量指标是分开的。而引力场就不同，由于荷质量与惯性质量等价，所以表示不同场的编号指标（“荷指标”）同时也是时空分量指标。当然，这也可以换一个角度来说，与引力场对应的规范变换群，是时空空间中的变换群，所以“荷指标”同时也是时空分量指标；而QCD中的规范群是内部空间中的变换群，所以荷指标不同于时空分量指标。
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-22 01:33 编辑 ]
作者: 季候风 时间: 2010-12-21 04:56
群的所谓“独立参数” 是一个模糊的概念。
对于有限维李群，如果其李代数线性同构于![\mathbb R^n]( "\mathbb R^n")
, 则我们说有 n 个独立参数。
对于无限维李群，显然这个答案不是你想要的，因为有无穷个独立参数。
物理学家在这种情况下用 “独立参数” 指代函数。
对于微分同胚群，它的确有李代数，就是时空流形上的所有切矢量场组成的李代数。
如果流形比较复杂，这个李代数也许并不线性同构于任何函数空间。
但对于拓扑平凡的流形（![\mathbb R^4]( "\mathbb R^4")
), 要指定一个切矢量场，只需要指定
在自然基下的分量即可。所以这个李代数同构于![\big(C^\infty(\mathbb R^4) \big)^4]( "\big(C^\infty(\mathbb R^4) \big)^4")
,
或者说，微分同胚群有四个 “独立参数”
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-21 09:57
谢谢季兄
物理学中群的“独立参数”，通常好像特指跟生成元一一对应的参数吧。例如，彭加勒群的10个独立参数是：
1）三维空间转动变换，有三个空间转动角，它们构成三个参数；
2）时间轴与空间轴之间的伪转动（即三个空间方向上的Lorentz boost），有三个伪转动角（即惯性系之间的、三个方向上的相对速度），它们构成三个参数；
3）四维时空平移变换x^μ→x^μ+a^μ，又有四个参数a^μ（μ=0,1,,2,3）。
换句话说，我是在上述含义下，想知道广义相对论中与广义协变性对应的群参数数量。当然，我们知道，规范场论中，从整体规范变换到局域规范变换，生成元个数没有变，相应的群参数的个数也就没有变。人们试图把广义相对论纳入规范场论的语言框架时，曾经以为对应的规范变换，就是局域化的彭加勒变换。但实际上又发现，广义相对论中涉及到的“规范变换”，要比局域化的彭加勒变换还要广泛，比如说，局域化的彭加勒变换还是10个独立的群参数，而广义相对论中涉及到的“规范变换”，有20个群参数。我想知道广义相对论中涉及到的“规范变换”，其群参数到底有多少个，它们具体对应哪些参数（其中应该包含彭加勒群的10个参数）
我在2楼，是在假定的确有20个独立参数的前提下，试图给出这20个参数一个等价的描述。在通常的描述中，也许不是象2楼这么说的，但本质上可以与2楼的描述等价起来。
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-21 11:13 编辑 ]
作者: Non 时间: 2010-12-21 21:09 标题: GL(4,R)
4-dimension symmetric General linear group GL(4,R), with 10 independent parameters. four parameters more than Lorentz group.
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-21 23:31 标题: 回复 5# 的帖子
既然如此，为何局域彭加勒变换，不能概括广义相对论中涉及到的任意可逆的坐标变换呢？人们都说，任意可逆的坐标变换群，要比局域的彭加勒群大（因而独立的群参数会更多），这正是令我迷惑的地方：我不知道这多出来的那些独立群参数，到底是哪些群参数？
作者: 季候风 时间: 2010-12-22 11:40
引力作为规范理论，只需要把平移局域化就够了。
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-22 18:08 标题: 回复 7# 的帖子
由于引力荷是能量动量张量，而能量动量张量是时空平移不变时的Noether荷，因此很多人一开始都以为引力对应的规范场论，其规范变换只是时空平移变换，但很快发现不是这样。最起码，还要包含局域的Lorentz变换。即使是局域的彭加勒变换，都无法概括与引力相关的全部规范变换。
作者: 季候风 时间: 2010-12-22 21:29
任何变换都能写成局域平移变换：
![x'_\mu = f_\mu (x) = x_\mu + (f_\mu(x)-x_\mu)]( "x'_\mu = f_\mu (x) = x_\mu + (f_\mu(x)-x_\mu)")
令![a_\mu(x) = f_\mu(x) - x_\mu]( "a_\mu(x) = f_\mu(x) - x_\mu")
则![x'_\mu = x_\mu + a_\mu(x)]( "x'_\mu = x_\mu + a_\mu(x)")
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-23 00:43 标题: 回复 9# 的帖子
我去年这个时候，在昌海兄的主页上也表达过你的这个看法，但是无人回应
我发这栋楼的帖子，就是想弄明白，这一切的一切，到底是怎么回事。
上周我兴冲冲地跟别人讨论我的一个idea，结果人家说，这就是暗能量啊（我以前只知道暗能量这个名词）！
这么说，如果我从一开始就学物理搞物理，可能十几年前就给出“暗能量”的预言了![]()
因为如果那样的话，我会十几年前就开始正式学广义相对论。
我从去年这个时候开始系统学广义相对论，但是每次到了来年开学，又会停下来，因为我只有年底才有时间做自己想做的事情。
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-23 00:45 编辑 ]
作者: 季候风 时间: 2010-12-23 03:35
那你现在打算相信谁？
我已经给出了一个数学上的理由和一个物理上的理由，说明答案是 4.
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-23 09:43 标题: 回复 11# 的帖子
我想是这样：
通常的规范场论中，规范变换无论是整体的还是局域的，都对应同样多的生成元。例如QCD中，SU(3)群的群参数，无论是常数（对应整体规范变换）、还是与时空坐标有关（对应局域规范变换），生成元都是8个。
而在引力理论中，整体时空平移变换只有4个生成元。如果把时空坐标的任何局域变换，都看作是局域的时空平移变换，那么一旦时空平移变换局域化了，生成元至少会变成10个。这一点跟以上不同。
我不知道是不是因为这个原因，人们还是没有把局域化的Lorentz变换等等，视作局域的时空平移变换。无论怎样，引力的规范场论，始终与其他的规范场论有所不同，也许这是因为，前者与时空空间中的变换群有关而后者与内部空间上的变换群有关，或者说对引力而言，荷与惯性质量合二为一；而对其他规范场，荷是荷，惯性质量是惯性质量。
这就是我想同时请教你和sage兄的原因，如果你们两个同时从数学和物理的角度，给出同样的答案，那我心里有谱了![]()
。
作者: 季候风 时间: 2010-12-23 22:01
再给一个理由：
广义相对论与规范理论的类比，在数学上相当于切丛与 “外在矢量丛” 的类比。
所谓 “外在向量丛”，就是在底流形坐标变换下，局部平凡化不变的丛。
（如果局部平凡化随着底流形坐标变换而变，则是 “张量丛” 或者 “旋量丛”。）
外在向量丛的规范变换是矩阵函数 （转移函数）![a_{ij}(x)]( "a_{ij}(x)")
,
比如， SU(3) 规范理论的转移函数就是 3*3 矩阵值函数，满足幺正条件和行列式条件，
所以是 8 个独立函数决定的。
切丛则不同，其转移函数（即规范变换）是 Jacobi 矩阵![(\partial x'_\mu/ \partial x_\nu) (x)]( "(\partial x'_\mu/ \partial x_\nu) (x)")
,
虽然含有 16 个函数，但它们来自于 4 个函数![x'_\mu = x'_\mu(x)]( "x'_\mu = x'_\mu(x)")
的偏导数，
所以在泛函意义上它们不是独立的，而只有原来的 4 个函数是 “独立” 的。
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-24 09:45 标题: 回复 13# 的帖子
季兄能否把最后一段说得更清楚一点？这个地方我没有听明白，谢谢！
有多少个独立函数，跟有多少个独立的导函数，是不同的——函数与函数的导函数，是相互独立的。一个自由度变量，跟它的对某参数的导数，是两个独立的自由度变量。
作者: 季候风 时间: 2010-12-24 22:39
几个参（函）数 “独立” 的意思，就我的理解，就是它们可以任意取。
最简单的比如四个平移参数，互相之间没有关系，“独立”，不存在约束，所以可以任取四个常数做坐标平移。
而一个函数的偏导数之间就存在约束。比如四元函数的四个偏导数之间就不是独立的。
任取四个函数，当然不一定正好构成一个四元函数的四个偏导数。
所以说，在切丛的转移矩阵（Jacobi 矩阵）中，矩阵元不能任取，存在约束。
但是广义坐标变换中四个函数![x_\mu' =x_\mu'(x)]( "x_\mu' =x_\mu'(x)")
就是可以任取的，它们是独立参（函）数。
作者: faltings 时间: 2010-12-25 01:37 标题: 回复 15# 的帖子
不赞同，这儿的情况比frobenus定理包含的情况要大，不一定要可微。
矩阵就是对称的GL(4,R)
作者: sage 时间: 2010-12-25 03:20 标题: 回复 15# 的帖子
那我心里有谱了
=======================
For the peace of your mind, I completely agree with 季兄. I think he has explained it to you very well, I cannot do better. Let me just tell you some of my own ways of understanding it.
1) The standard statement is that general relativity is a gauge theory, gauging the space-time translation (Poincare).
To understand this statement, it is necessary to understand what do we mean by gauging a symmetry. Of course, we need to
start with a global symmetry of the system. At the same time, the very important consequence of gauging is the
introduction of new dynamics, new degrees of freedom (the gauge fields). We all know gauging U(1) E&M means that we must
introduce photon.
In this sense, it is easy to understand why Lorentz transformation is not being gauged. Starting with an inertia frame, Lorentz
boost will not introduce gravitational effect. However, to make equations covariant under Poincare, it is necessary to
introduce gravitational field.
2) Here is another way to count the number 4. Maxwell equation cannot fix all 4 components of the vector potential, because
the Maxwell equations are not independent. In fact, one relation (Bianchi) exist among them. Therefore, Maxwell equations will
leave one degree of freedom unfixed. We all know that this is the one gauge degree of freedom of U(1). Similarly, 10 Einstein
equations are not independent. Bianchi identities of the left-hand side means 4 degrees of freedom unfixed. And, we all know that
this is the 4 gauge degree of freedom of general relativity.
3) Here is my guess where the number 20 comes from. Einstein equations are in general 2nd order differential equations of g_munu.
In principle, the relevant physical quantities can be g_{munu} (10 d.o.f), first derivatives g_{munu,gamma} (40), secondary
derivatives g_{munu,alpha beta} (100). However, many of them can be transformed away by gauge transformations. Say I am doing a
general coordinate transformation, x->x'. The functions I can use (to transform g_munu is its derivatives) are (schematically,
and partial derivatives, of course) dx/dx' (16 of them), d^2 x/(dx'dx') (40 of them), d^3 x/(dx' dx' dx') (80 of them). Now the 10 of 16 dx/dx'
can be used to set g_{mu nu} to flat eta_munu. The rest of 6 belongs to Lorentz and rotation (which as we have discussed not relevant for
gravitational dynamics). Then we use the 40 d^2 x/dx'dx' to set all 1st derivatives g_{munu, gamma} to be zero. Then among the 100
2nd derivatives (g_{munu,alpha beta}), we can set 80 of them to zero by using 80 d^3x/(dx'dx'dx'). Therefore, there are 20 physical components
in Riemann tensor (can not be gauged away).
Most of what I said here is, of course, in Weinberg.
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-25 11:35
谢谢sage兄和季兄，这个问题，经过你们这么一讨论，我现在基本上有一点谱了![]()
虽然还是存在一些疑问，只有随着我知识的增长，逐渐自己弄明白
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-26 11:37 编辑 ]
作者: Non 时间: 2010-12-25 14:37 标题: As for the extra 4 parameters
The extra 4 parameters are responsible for "changing" length in 4-dimension, having nothing to do with Poincare transformation (translation). You know Lorentz transformation conserves the "length" in 4-D.
[ 本帖最后由 Non 于 2010-12-25 06:40 编辑 ]
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-28 00:07 标题: 回复 19# 的帖子
我明白你说的意思了，谢谢！
其实只要拿支笔在纸上写一写就明白了：
x^μ=a^(μν)y_ν+a^μ
只要不再有“保持线元长度不变”这个限制，a^(μν）就有16个，再加上四个a^μ，共20个参数
在无穷小局域变换下，可以统一地看作是局域时空平移变换
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-28 09:39 编辑 ]
作者: 季候风 时间: 2010-12-28 03:10 标题: 回复 20# 的帖子
问题是这20个参数为常数的变换有任何物理意义吗？
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-28 09:50 标题: 回复 21# 的帖子
一般而言，时空中的变换群，若群参数为常数，则只是运动学意义上的变换群，对应运动学意义上的对称性。但是，这里仍然包含有只在广义相对论中才有的非平凡性——其中包含让四维时空线元长度任意改变的变换，这是在整体的彭家勒群变换中所没有的。
如果仅仅只是想知道到底有哪20参数，这可以提供一个答案，如此而已。有意义的，当然是局域化的变换群，此时就正如你所说，所有无穷小的局域变换，都对应局域的时空平移变换（不过跟整体时空平移变换群不同，此时群参数还是20个）。
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-28 20:26 编辑 ]
作者: 季候风 时间: 2010-12-29 01:19
呵呵，钻一下牛角尖：与其把这个作为 “20个参数”的解释，还不如放弃“20个参数”这种说法，
因为这种解释本身非常误导，暗示引力是把整个庞加莱对称性局域化的结果，而这并不正确。
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-29 08:40 标题: 回复 23# 的帖子
我见过不少专业文献，那里的确是把局域化的庞加莱对称性群看作是引力规范场论的部分规范对称群（比庞加莱更广泛的一般线性群，才是引力规范场论的全部规范对称性群），但我不知道自己记忆是否有误。
也许，这是一种历史上的一种约定成俗吧![]()
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-29 09:41 编辑 ]
作者: sage 时间: 2010-12-29 12:14 标题: 回复 24# 的帖子
Do you have a reference?
If it is like you said, then the article you have seen is wrong. There is clear answer, not a matter of convention.
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-30 01:20 标题: 回复 25# 的帖子
我看的文献有点老（很可能过时了），比如80年代Mills有篇文章，综述规范场的基本思想。从此文中，Mills似乎表明，他给出non-Abel规范场，似乎是受启发于广义相对论对引力场的处理。今天的人却似乎颠倒了过来，用规范场的思想去解读广义相对论中的引力场。虽然一个涉及内部空间，一个涉及时空空间，从微分几何的角度来看，二者的确有着类似的数理逻辑，有着类似的思想框架。
Mills在这篇文章里，就提到即使是局域化的庞加莱群，也不能覆盖与引力相关的全部仿射变换群。同时他还说（大意）：令人感到惊讶的是，能动张量是引力源，按照规范场论的逻辑框架，时空平移变换群应该就可以概括引力场的全部规范群，然后却发现事实并非如此。
在细节上，我不能保证有没有记忆错误。我看的是那篇文章的中文版，发表在国内80年代的《自然》杂志上
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-30 01:22 编辑 ]
目前我每周都有几天时间系统地打一些基础，在学习过程中，时常会遇到一些疑问。
请教sage兄和季候风兄：
在广义相对论中，跟广义协变性对应的变换群，其独立的群参数一共有多少个（没有办法，我找不到文献解答，只好在这里求助了）？
我们知道，无挠的四维黎曼时空的曲率张量，最多有20个独立分量。曾经有人告诉我说，跟广义协变性对应的变换群，其独立的群参数一共有20个，我不知道这二者之间是否有什么关系。
如果仅仅从一组时空坐标变换到另一组时空坐标的表达式来看（仅仅要求变换矩阵可逆），这个4×4变换矩阵所构成的变换群，最多有16个独立参数。
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-20 10:19 编辑 ]
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-20 01:20
假定跟广义协变性对应的变换群，的确有20个独立参数，我自己是通过这样猜测来理解的，不知道对不对（没有办法，我实在找不到相关文献来提供标准答案）：
1）我们知道，彭加勒群有10个独立参数，但它只是一个运动学意义上的群，如果要把广义相对论中的广义协变性包括进去，还要考虑有动力学内容的变换群（局域化的对称群）。
2）让彭加勒群的10个独立参数，都成为故有时的函数，这样，就还要考虑这10个独立参数对故有时τ的导数（比如取τ=0时的值）。这样，就有20个独立参数了，它们同时概括了运动学和动力学内容，后者和“惯性系与加速系之间的变换”有关。
3）如果把彭加勒群的10个独立参数看做广义坐标，则这10个独立参数对故有时的导数，相当于10个独立的广义速度（或者通过某个变换换成10个独立的广义动量）。如果是上述这样，那么把彭加勒群的10个独立参数看做广义坐标，再把它们对故有时的导数构造出对应的广义动量来，得到的20维群流形，就相当于20维的“辛流形”了。
此外，我的感受是：广义相对论的美，除了其原有的美，还有把它纳入nonAbel规范场的语言框架时所体现出来的美。把广义相对论纳入nonAbel规范场的语言框架时，需要把部分时空分量指标看作是不同场的编号指标，这样就得到联络1形式和曲率2形式，它们分别与规范势和场强张量相对应。在QCD中，不同场的编号指标是色指标（统称为“荷指标”），由于色荷与惯性质量是两回事，所以在这里，荷指标与时空分量指标是分开的。而引力场就不同，由于荷质量与惯性质量等价，所以表示不同场的编号指标（“荷指标”）同时也是时空分量指标。当然，这也可以换一个角度来说，与引力场对应的规范变换群，是时空空间中的变换群，所以“荷指标”同时也是时空分量指标；而QCD中的规范群是内部空间中的变换群，所以荷指标不同于时空分量指标。
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-22 01:33 编辑 ]
作者: 季候风 时间: 2010-12-21 04:56
群的所谓“独立参数” 是一个模糊的概念。
对于有限维李群，如果其李代数线性同构于
对于无限维李群，显然这个答案不是你想要的，因为有无穷个独立参数。
物理学家在这种情况下用 “独立参数” 指代函数。
对于微分同胚群，它的确有李代数，就是时空流形上的所有切矢量场组成的李代数。
如果流形比较复杂，这个李代数也许并不线性同构于任何函数空间。
但对于拓扑平凡的流形（
在自然基下的分量即可。所以这个李代数同构于
或者说，微分同胚群有四个 “独立参数”
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-21 09:57
谢谢季兄
物理学中群的“独立参数”，通常好像特指跟生成元一一对应的参数吧。例如，彭加勒群的10个独立参数是：
1）三维空间转动变换，有三个空间转动角，它们构成三个参数；
2）时间轴与空间轴之间的伪转动（即三个空间方向上的Lorentz boost），有三个伪转动角（即惯性系之间的、三个方向上的相对速度），它们构成三个参数；
3）四维时空平移变换x^μ→x^μ+a^μ，又有四个参数a^μ（μ=0,1,,2,3）。
换句话说，我是在上述含义下，想知道广义相对论中与广义协变性对应的群参数数量。当然，我们知道，规范场论中，从整体规范变换到局域规范变换，生成元个数没有变，相应的群参数的个数也就没有变。人们试图把广义相对论纳入规范场论的语言框架时，曾经以为对应的规范变换，就是局域化的彭加勒变换。但实际上又发现，广义相对论中涉及到的“规范变换”，要比局域化的彭加勒变换还要广泛，比如说，局域化的彭加勒变换还是10个独立的群参数，而广义相对论中涉及到的“规范变换”，有20个群参数。我想知道广义相对论中涉及到的“规范变换”，其群参数到底有多少个，它们具体对应哪些参数（其中应该包含彭加勒群的10个参数）
我在2楼，是在假定的确有20个独立参数的前提下，试图给出这20个参数一个等价的描述。在通常的描述中，也许不是象2楼这么说的，但本质上可以与2楼的描述等价起来。
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-21 11:13 编辑 ]
作者: Non 时间: 2010-12-21 21:09 标题: GL(4,R)
4-dimension symmetric General linear group GL(4,R), with 10 independent parameters. four parameters more than Lorentz group.
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-21 23:31 标题: 回复 5# 的帖子
既然如此，为何局域彭加勒变换，不能概括广义相对论中涉及到的任意可逆的坐标变换呢？人们都说，任意可逆的坐标变换群，要比局域的彭加勒群大（因而独立的群参数会更多），这正是令我迷惑的地方：我不知道这多出来的那些独立群参数，到底是哪些群参数？
作者: 季候风 时间: 2010-12-22 11:40
引用:
原帖由 星空浩淼 于 2010-12-21 09:57 发表
谢谢季兄
物理学中群的“独立参数”，通常好像特指跟生成元一一对应的参数吧。例如，彭加勒群的10个独立参数是：
1）三维空间转动变换，有三个空间转动角，它们构成三个参数；
2）时间轴与空间轴之间的伪转动（即三个空间方向上的Lore ...
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-22 18:08 标题: 回复 7# 的帖子
由于引力荷是能量动量张量，而能量动量张量是时空平移不变时的Noether荷，因此很多人一开始都以为引力对应的规范场论，其规范变换只是时空平移变换，但很快发现不是这样。最起码，还要包含局域的Lorentz变换。即使是局域的彭加勒变换，都无法概括与引力相关的全部规范变换。
作者: 季候风 时间: 2010-12-22 21:29
任何变换都能写成局域平移变换：
令
则
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-23 00:43 标题: 回复 9# 的帖子
我去年这个时候，在昌海兄的主页上也表达过你的这个看法，但是无人回应
我发这栋楼的帖子，就是想弄明白，这一切的一切，到底是怎么回事。
上周我兴冲冲地跟别人讨论我的一个idea，结果人家说，这就是暗能量啊（我以前只知道暗能量这个名词）！
这么说，如果我从一开始就学物理搞物理，可能十几年前就给出“暗能量”的预言了
我从去年这个时候开始系统学广义相对论，但是每次到了来年开学，又会停下来，因为我只有年底才有时间做自己想做的事情。
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-23 00:45 编辑 ]
作者: 季候风 时间: 2010-12-23 03:35
那你现在打算相信谁？
我已经给出了一个数学上的理由和一个物理上的理由，说明答案是 4.
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-23 09:43 标题: 回复 11# 的帖子
我想是这样：
通常的规范场论中，规范变换无论是整体的还是局域的，都对应同样多的生成元。例如QCD中，SU(3)群的群参数，无论是常数（对应整体规范变换）、还是与时空坐标有关（对应局域规范变换），生成元都是8个。
而在引力理论中，整体时空平移变换只有4个生成元。如果把时空坐标的任何局域变换，都看作是局域的时空平移变换，那么一旦时空平移变换局域化了，生成元至少会变成10个。这一点跟以上不同。
我不知道是不是因为这个原因，人们还是没有把局域化的Lorentz变换等等，视作局域的时空平移变换。无论怎样，引力的规范场论，始终与其他的规范场论有所不同，也许这是因为，前者与时空空间中的变换群有关而后者与内部空间上的变换群有关，或者说对引力而言，荷与惯性质量合二为一；而对其他规范场，荷是荷，惯性质量是惯性质量。
这就是我想同时请教你和sage兄的原因，如果你们两个同时从数学和物理的角度，给出同样的答案，那我心里有谱了
作者: 季候风 时间: 2010-12-23 22:01
再给一个理由：
广义相对论与规范理论的类比，在数学上相当于切丛与 “外在矢量丛” 的类比。
所谓 “外在向量丛”，就是在底流形坐标变换下，局部平凡化不变的丛。
（如果局部平凡化随着底流形坐标变换而变，则是 “张量丛” 或者 “旋量丛”。）
外在向量丛的规范变换是矩阵函数 （转移函数）
比如， SU(3) 规范理论的转移函数就是 3*3 矩阵值函数，满足幺正条件和行列式条件，
所以是 8 个独立函数决定的。
切丛则不同，其转移函数（即规范变换）是 Jacobi 矩阵
虽然含有 16 个函数，但它们来自于 4 个函数
所以在泛函意义上它们不是独立的，而只有原来的 4 个函数是 “独立” 的。
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-24 09:45 标题: 回复 13# 的帖子
季兄能否把最后一段说得更清楚一点？这个地方我没有听明白，谢谢！
有多少个独立函数，跟有多少个独立的导函数，是不同的——函数与函数的导函数，是相互独立的。一个自由度变量，跟它的对某参数的导数，是两个独立的自由度变量。
作者: 季候风 时间: 2010-12-24 22:39
几个参（函）数 “独立” 的意思，就我的理解，就是它们可以任意取。
最简单的比如四个平移参数，互相之间没有关系，“独立”，不存在约束，所以可以任取四个常数做坐标平移。
而一个函数的偏导数之间就存在约束。比如四元函数的四个偏导数之间就不是独立的。
任取四个函数，当然不一定正好构成一个四元函数的四个偏导数。
所以说，在切丛的转移矩阵（Jacobi 矩阵）中，矩阵元不能任取，存在约束。
但是广义坐标变换中四个函数
作者: faltings 时间: 2010-12-25 01:37 标题: 回复 15# 的帖子
不赞同，这儿的情况比frobenus定理包含的情况要大，不一定要可微。
矩阵就是对称的GL(4,R)
作者: sage 时间: 2010-12-25 03:20 标题: 回复 15# 的帖子
那我心里有谱了
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For the peace of your mind, I completely agree with 季兄. I think he has explained it to you very well, I cannot do better. Let me just tell you some of my own ways of understanding it.
1) The standard statement is that general relativity is a gauge theory, gauging the space-time translation (Poincare).
To understand this statement, it is necessary to understand what do we mean by gauging a symmetry. Of course, we need to
start with a global symmetry of the system. At the same time, the very important consequence of gauging is the
introduction of new dynamics, new degrees of freedom (the gauge fields). We all know gauging U(1) E&M means that we must
introduce photon.
In this sense, it is easy to understand why Lorentz transformation is not being gauged. Starting with an inertia frame, Lorentz
boost will not introduce gravitational effect. However, to make equations covariant under Poincare, it is necessary to
introduce gravitational field.
2) Here is another way to count the number 4. Maxwell equation cannot fix all 4 components of the vector potential, because
the Maxwell equations are not independent. In fact, one relation (Bianchi) exist among them. Therefore, Maxwell equations will
leave one degree of freedom unfixed. We all know that this is the one gauge degree of freedom of U(1). Similarly, 10 Einstein
equations are not independent. Bianchi identities of the left-hand side means 4 degrees of freedom unfixed. And, we all know that
this is the 4 gauge degree of freedom of general relativity.
3) Here is my guess where the number 20 comes from. Einstein equations are in general 2nd order differential equations of g_munu.
In principle, the relevant physical quantities can be g_{munu} (10 d.o.f), first derivatives g_{munu,gamma} (40), secondary
derivatives g_{munu,alpha beta} (100). However, many of them can be transformed away by gauge transformations. Say I am doing a
general coordinate transformation, x->x'. The functions I can use (to transform g_munu is its derivatives) are (schematically,
and partial derivatives, of course) dx/dx' (16 of them), d^2 x/(dx'dx') (40 of them), d^3 x/(dx' dx' dx') (80 of them). Now the 10 of 16 dx/dx'
can be used to set g_{mu nu} to flat eta_munu. The rest of 6 belongs to Lorentz and rotation (which as we have discussed not relevant for
gravitational dynamics). Then we use the 40 d^2 x/dx'dx' to set all 1st derivatives g_{munu, gamma} to be zero. Then among the 100
2nd derivatives (g_{munu,alpha beta}), we can set 80 of them to zero by using 80 d^3x/(dx'dx'dx'). Therefore, there are 20 physical components
in Riemann tensor (can not be gauged away).
Most of what I said here is, of course, in Weinberg.
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-25 11:35
谢谢sage兄和季兄，这个问题，经过你们这么一讨论，我现在基本上有一点谱了
虽然还是存在一些疑问，只有随着我知识的增长，逐渐自己弄明白
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-26 11:37 编辑 ]
作者: Non 时间: 2010-12-25 14:37 标题: As for the extra 4 parameters
The extra 4 parameters are responsible for "changing" length in 4-dimension, having nothing to do with Poincare transformation (translation). You know Lorentz transformation conserves the "length" in 4-D.
[ 本帖最后由 Non 于 2010-12-25 06:40 编辑 ]
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-28 00:07 标题: 回复 19# 的帖子
我明白你说的意思了，谢谢！
其实只要拿支笔在纸上写一写就明白了：
x^μ=a^(μν)y_ν+a^μ
只要不再有“保持线元长度不变”这个限制，a^(μν）就有16个，再加上四个a^μ，共20个参数
在无穷小局域变换下，可以统一地看作是局域时空平移变换
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-28 09:39 编辑 ]
作者: 季候风 时间: 2010-12-28 03:10 标题: 回复 20# 的帖子
问题是这20个参数为常数的变换有任何物理意义吗？
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-28 09:50 标题: 回复 21# 的帖子
一般而言，时空中的变换群，若群参数为常数，则只是运动学意义上的变换群，对应运动学意义上的对称性。但是，这里仍然包含有只在广义相对论中才有的非平凡性——其中包含让四维时空线元长度任意改变的变换，这是在整体的彭家勒群变换中所没有的。
如果仅仅只是想知道到底有哪20参数，这可以提供一个答案，如此而已。有意义的，当然是局域化的变换群，此时就正如你所说，所有无穷小的局域变换，都对应局域的时空平移变换（不过跟整体时空平移变换群不同，此时群参数还是20个）。
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-28 20:26 编辑 ]
作者: 季候风 时间: 2010-12-29 01:19
呵呵，钻一下牛角尖：与其把这个作为 “20个参数”的解释，还不如放弃“20个参数”这种说法，
因为这种解释本身非常误导，暗示引力是把整个庞加莱对称性局域化的结果，而这并不正确。
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-29 08:40 标题: 回复 23# 的帖子
我见过不少专业文献，那里的确是把局域化的庞加莱对称性群看作是引力规范场论的部分规范对称群（比庞加莱更广泛的一般线性群，才是引力规范场论的全部规范对称性群），但我不知道自己记忆是否有误。
也许，这是一种历史上的一种约定成俗吧
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-29 09:41 编辑 ]
作者: sage 时间: 2010-12-29 12:14 标题: 回复 24# 的帖子
Do you have a reference?
If it is like you said, then the article you have seen is wrong. There is clear answer, not a matter of convention.
作者: 星空浩淼 时间: 2010-12-30 01:20 标题: 回复 25# 的帖子
我看的文献有点老（很可能过时了），比如80年代Mills有篇文章，综述规范场的基本思想。从此文中，Mills似乎表明，他给出non-Abel规范场，似乎是受启发于广义相对论对引力场的处理。今天的人却似乎颠倒了过来，用规范场的思想去解读广义相对论中的引力场。虽然一个涉及内部空间，一个涉及时空空间，从微分几何的角度来看，二者的确有着类似的数理逻辑，有着类似的思想框架。
Mills在这篇文章里，就提到即使是局域化的庞加莱群，也不能覆盖与引力相关的全部仿射变换群。同时他还说（大意）：令人感到惊讶的是，能动张量是引力源，按照规范场论的逻辑框架，时空平移变换群应该就可以概括引力场的全部规范群，然后却发现事实并非如此。
在细节上，我不能保证有没有记忆错误。我看的是那篇文章的中文版，发表在国内80年代的《自然》杂志上
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-30 01:22 编辑 ]
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