在一个流形上通过度量联络等几何量得到一个和最后和几何无关的量，那它就是一个拓扑不变量, 对已有的拓扑量，如何用几何手段来构造

在一階邏輯裡，任何formula依賴一個模型(model)（其中包括一個論域(domain)和一個詮釋函數(interpretation)，而詮釋函數中又包括述詞(predicate)詮釋、常元(constant)詮釋和函數(function)詮釋）和一個變元指派函數(variable assignment)來決定其真、假。而變元指派函數的功能就是：輸入任意一個自由變元(free variable)，都會輸出唯一一個論域(domain)裡的物件(object)。

因此一個含有自由變元的formula如Px，在一階邏輯裡也有確定的真、假



知乎用户，历史爱好者

知乎用户、吴帆、MarkII 等人赞同
前面已经有人说过物理的应用，我简单说说数学方面的。指标定理诞生于拓扑学大发展的二十世纪四五十年代。从拓扑学诞生开始其中心问题就是判断两个空间是否同胚。为此大家就一直在寻找各种各样的拓扑不变量作为判断根据。但是构造出来的拓扑不变量一般都比较复杂，很难计算和应用，从而产生了一种思潮，即拓扑量的几何化，这也是现代微分几何的开端。几何的优点在于直观可计算（不是容易计算）。如果我们能够在一个流形上通过度量联络等几何量得到一个和最后和几何无关的量，那它就是一个拓扑不变量。接下来的问题就是对已有的拓扑量，如何用几何手段来构造。最早的几何化尝试应该要追溯到高斯。高斯-博内特公式将曲面的欧拉示性数几何化为高斯曲率的积分。现代拓扑学中，第一个应该是德拉姆对上同调群的几何化。但真正开启现代微分几何大门的是陈省身对高维欧拉示性数的几何化。接下来希策布鲁赫在其影响下推广了黎曼-洛赫定理并将拓扑量signature几何化。最后是阿蒂亚-辛格把之前的几个特例综合在一起并加以推广就是我们现在看到的指标定理。至于微分算子指标方面，这里先不理他。所以，从历史看，指标定理不是为了解决某个具体问题而出现的，而是发源于一次现代数学的理论思潮，其贡献是结构性的而不是针对某个问题。其次，指标定理可以算是一只下金蛋的鸡。和费马大定理不同，指标定理下蛋不是通过对问题证明的探索而是问题已经证好后对新证明的探索。除了代数基本定理以外，我们很难看到一个定理有了十个证明（可能更多）后大家还在孜孜不倦的寻找新的证明。因为指标定理研究的是几何结构与拓扑结构之间的关系，简单的叙述背后隐藏的东西过于庞大以致于几个不同证明都说不干净，而且每一个新证明都会给人以新的启示甚至有时会影响一个学科的诞生。在这些证明中，第一个配边证明的影响较小，它只是推广了希策布鲁赫的黎曼-洛赫定理的证明，是配边理论的集大成者和终结者，对后续影响较小。第一个重要影响是格洛腾迪克对希策布鲁赫定理的推广中构造了K群。而通过形式类比，阿蒂亚-辛格通过构造拓扑K群给出了指标定理的第二个证明。这两个系列的文章开创了K理论这个现代数学方向。接下来的理论飞跃出现于七十年代，源于热方程证明的出现。这个证明给出了一个分析办法使得指标变成了局部可计算的量（之前只是理论上可算）。这种想法的推广使得很多拓扑不变量都可以通过对热核渐进展开的计算得到，是拓扑量几何化的里程碑，里面的矿现在还没挖干净，这一套理论影响了现代数学很多分支，后续大多数指标定理的新证明都是此想法的继续。指标定理研究的第三个高潮就是 前面有人提到的物理应用。为了严格化威顿的想法，数学界同时出现了若干证明，其中也有中国人的贡献。其中最有创意的是 比斯姆 的概率证明，在全世界掀起了一股用概率论解决几何问题的热潮。接下来，阿兰。孔涅 回到了问题的源头，用非交换几何理论给出了源于K理论证明的新证明。也是非交换几何这一理论的源头之一。目前，指标定理的直接应用已经很少，但由各种各样新证明衍生出来的理论却一直在蓬勃发展，也还有新证明在不断涌现。现在指标定理已经成了几何化的一个标杆，每构建一个新的几何框架，大家都要想一想此框架下指标定理是否成立，如果成立，说明这个几何框架有拓扑内涵，就会减少被遗弃的风险。最后回答问题：指标定理的深刻在于通过众多的证明对数学内在结构的探索，从这个方面就可以奠定他在现代数学中的地位。我称赞它，我读过它的十个证明（读懂是另外一回事）。但即使一个证明没读过的人也可以称赞它，因为他们可能是通过指标定理衍生出来的若干理论来了解它的重要性的。




闲论Atiyah-Singer指标定理（2）─雅俗两故事，AS定理的实质
AS指标定理果真有所称之奇妙威风？无有夸大暗炒之嫌？要回答这些问题，我们必须了解AS指标定理讲了些什么。先让我们讲一个小故事。听鼓。晨钟暮鼓，寺庙常规。据说，一般和尚都能够根据钟鼓之音得知钟鼓是否完好，有的高僧则可以由钟鼓之音得知气候演变进而推得世道之走向，小则为善男信女解疑释惑，指点迷津，大则为皇室社稷消灾引福，护国安民。却说明朝初年，五台山因为助开国君朱元璋有功，获皇上特别褒扬恩赐，名号高出少林一等，住持乃率众弟子在练功场内，连日大作法事以庆祝之。场面异常壮观。仅大鼓黄钟就各有百余。一日，礼至中途，突然方丈大叫停止。发生何事？原来，老方丈听出其中有两面大鼓有破洞，其中一面有一个破洞在鼓底，另一面鼓则有两个破洞，一上一下。方丈高声叫停，缘自破鼓之音为寺庙之大忌，必得避之。仔细检视，小和尚果然在两面大鼓上找出了那几个小小破洞。高僧凭借鼓音，即可得知鼓面必有破洞数处，何也？再来讲第二个小故事。听床。却说华北地域，短江学者老家，民风淳朴，某些方面却也相当开放。听床就是一个例子。说得直白一点，就是在夜晚躲在别人家墙根、窗下，偷听别人做爱。此种习俗源自何时，无从考证，但依该地史志，历代从无明令禁绝，（唯在某朝恐怖时期，听床是流氓罪可能判死刑，但犯案被逮者鲜见──谢谢LXS老师指出此点）。听床不光没有官家法律之束，那些能够经常播出爱事特别报导而又从未被逮的高手们反而会被当地人民视为楷模备享尊荣。近一段时间，骄人的听床经验甚至是某"先锋队员"的一个隐含的考项，因为听床高手既要牺牲睡眠，还要不怕夜深人静，更要定力足够在关键时刻不出声不失控；而这绝非易事，因为做爱者往往在猜到有人偷听时，会故意弄出特别撩人之声音以刺激偷听者，迫其失控而自曝其踪。对于听床失控者的惩罚相当严厉，轻则遭被听者逮住猛揍，不得还手，日后常常遭到街坊老小公开奚落，甚至终身受人戏谑，重则被当地人视为做事不牢，信用全无。听床高手每每会将新近故事添油加醋细细道来，既博得烧酒一壶，还乘机用淫语骚扰纯情女孩，或藉此与淫妇打情骂俏，更以其定力之高，扬名立万于社区。据说，有能"听"清床垫缺几根弹簧的高手，有的还能指出所缺弹簧之前后左右位置，更有甚者，可以判断出前夜因爱事力度过猛而失效的弹簧，事后乡邻率众到主家翻床验证，竟然完全相符。每当如此场合，街坊如同过节，真笑声杂合假骂声，响彻邻里，和谐社会模范单位之锦旗，势在必得，听床师则荣加一等，气宇轩昂，旁的人也大拍手掌，作雀跃状。偷窥者或听床师从嗤呀之声，即可得知床垫弹簧少了数根，何也？法鼓破一个洞，声音不同，床垫少一根弹簧，嗤呀之声改变。列位看官可能未曾料到，上面这两个小故事，简单明了，妇孺皆懂，却道尽了AS指标定理之全部精义。原来，不论是鼓面的振动，还是床垫的嗤呀，都满足一个微分方程，我们听到的声音就是这个微分方程的解。解不同，声音就不同，翻译成黑话就是边界条件不同，微分方程的解或曰微分算子的谱就会改变。边界条件包括鼓面，床垫的几何形状，更包括它们的拓扑结构（如洞的数目）。AS就是说，从听到的鼓音或床垫的嗤呀声就知道鼓面的几何以及上面的破洞数，或床垫的形状以及弹簧少了几根。看到这，学过高中物理的人可能觉得一点都不怪：我们不就是从原子分子的光谱得知原子分子结构的吗？这里不就是将通名报姓者从原子分子换成鼓号或床垫而已？其实这离正确答案真的只差一点点了！再想一想，你说不定就此悟出一条更大的真理呢。对，polik在这里公布自己一个难以启齿的毛病。在下能从声音准确听出女孩子的容貌来，已经屡试不爽，一度很担心自己是不是有色狼基因，问过一些医师。因此，我看到AS定理以后，心理共鸣可想而知，马上就作了一个推广。不过我得承认我的推广有些中医风格了。至于郎中听出怀孕、疾病的鬼话则已众所周知纯属骗术。（后面将更详细解释）数坛人士就是一群无聊的好事者，专门将一些简单得不能再简单的事实用一些大家都摸不着头脑的句子表达出来。听鼓听床的事，到数学家那里就被弄成如下鬼话式的诀语：（某些）微分方程的解（的数目）由定义该微分方程的空间的几何拓扑特征全部决定。或更简单地讲，一个空间中某些行为好的微分方程的解的数目是一个拓扑不变量。这就是指标定理的全部内容。