拓撲不變量的構造 (2007-04-22 16:06:00) (2007-04-22 16:06:00)
几何学研究的对象是各种各样的空间。幾何學研究的對像是各種各樣的空間。 具体来说，几何学的目的就是要搞清楚我们所关心的这个空间具有什么样的性质，包括各种拓扑性质和几何性质。具體來說，幾何學的目的就是要搞清楚我們所關心的這個空間具有什麼樣的性質，包括各種拓撲性質和幾何性質。 这其中，最重要的一个方面就是，希望能够对空间以某种标准进行分类，这是数学家最喜欢做的事情（比如有限单群的分类）。這其中，最重要的一個方面就是，希望能夠對空間以某種標准進行分類，這是數學家最喜歡做的事情（比如有限單群的分類）。 实际上，分类就是一种等价的思想，在每一个类里面可以用一种等价元来表示（这也许是数学中最重要的思想，它可以把无限化为了有限，把一个复杂的问题化为了简单）。實際上，分類就是一種等價的思想，在每一個類裡面可以用一種等價元來表示（這也許是數學中最重要的思想，它可以把無限化為了有限，把一個複雜的問題化為了簡單）。 如果完成了这种分类，那么我们就不必再去研究所有的空间，只需要把这些等价元给搞清楚就行了。如果完成了這種分類，那麼我們就不必再去研究所有的空間，只需要把這些等價元給搞清楚就行了。 因为，当我们需要研究某个空间的时候，只需要判断它属于那一类，然后就知道它具有和我们的等价元相同的性质。因為，當我們需要研究某個空間的時候，只需要判斷它屬於那一類，然後就知道它具有和我們的等價元相同的性質。 因此，几何学的中心问题就是空间对象的分类问题。因此，幾何學的中心問題就是空間對象的分類問題。
从十九世纪，黎曼提出关于几何学的基本假设以来，几何学经历了从局部到整体的发展过程。從十九世紀，黎曼提出關於幾何學的基本假設以來，幾何學經歷了從局部到整體的發展過程。 这也是朝着分类努力的过程。這也是朝著分類努力的過程。 当然在二维的情形，关于闭曲面的分类问题，已有了完全的结果，那么三维的情形呢，这里面最有趣的Poincare猜想也已经被俄罗斯的大胡子数学家给解决了，这也花了人类一百多年的时间。當然在二維的情形，關於閉曲面的分類問題，已有了完全的結果，那麼三維的情形呢，這裡面最有趣的Poincare猜想也已經被俄羅斯的大鬍子數學家給解決了，這也花了人類一百多年的時間。 当然最有趣的情形，还在四维。當然最有趣的情形，還在四維。 在四维的情形空间具了有很多神秘的性质。在四維的情形空間具了有很多神秘的性質。 比如，只有它上面的微分形式可以分为自对偶和反自对偶，Donaldson也运用了它上面的yang-mills理论构造了四维流形上怪异微分结构，从而也证明了四维流形上存在无穷多拓扑同胚而不是微分同胚的微分结构，这是拓扑学中最重要的结果之一。比如，只有它上面的微分形式可以分為自對偶和反自對偶，Donaldson也運用了它上面的yang-mills理論構造了四維流形上怪異微分結構，從而也證明了四維流形上存在無窮多拓撲同胚而不是微分同胚的微分結構，這是拓撲學中最重要的結果之一。 除此之外，他还构造了一系列的多项式不变量来区分四维流形。除此之外，他還構造了一系列的多項式不變量來區分四維流形。 当然在这以后发展的Seiberg-Witten理论，简化了Donaldson的四维流形不变量，提出了新的Seiberg-Witten不变量，这也算是走出了重要的一步。當然在這以後發展的Seiberg-Witten理論，簡化了Donaldson的四維流形不變量，提出了新的Seiberg-Witten不變量，這也算是走出了重要的一步。 从代数几何的发展来看，四维流形对应于代数曲面，代数曲线以及它的模空间的研究结果已有很多，我相信，代数曲面将是未来代数几何学家需要搞清楚的重要研究对象。從代數幾何的發展來看，四維流形對應於代數曲面，代數曲線以及它的模空間的研究結果已有很多，我相信，代數曲面將是未來代數幾何學家需要搞清楚的重要研究對象。 我们也期待着四维情形的微分几何，代数几何，理论物理，代数拓扑，微分方程……能够共同发挥作用，揭开四维的神秘面纱，也许从中还能找到统一宇宙中四种基本力的统一理论（我个人认为这个终极理论将是一个简单而优美的方程）。我們也期待著四維情形的微分幾何，代數幾何，理論物理，代數拓撲，微分方程……能夠共同發揮作用，揭開四維的神秘面紗，也許從中還能找到統一宇宙中四種基本力的統一理論（我個人認為這個終極理論將是一個簡單而優美的方程）。
前面，我们已说过，对空间进行分类的一个重要方法就是构造它上面的拓扑不变量，也就是，对每一个空间我们赋予它一个量（一般是复数）。前面，我們已說過，對空間進行分類的一個重要方法就是構造它上面的拓撲不變量，也就是，對每一個空間我們賦予它一個量（一般是複數）。 等价的空间取相同的量。等價的空間取相同的量。 所以，我们要构造这种不变量就是要找到一个赋予拓扑空间这种量的方法，这种想法应该是来自于Poincare代数拓扑的思想，也就是空间代数化（比如同伦理论，同调上同调理论，K-理论等等）。所以，我們要構造這種不變量就是要找到一個賦予拓撲空間這種量的方法，這種想法應該是來自於Poincare代數拓撲的思想，也就是空間代數化（比如同倫理論，同調上同調理論，K-理論等等）。 有趣的是，在另一方面，物理学家也正在通过路径积分的方法来计算他们最感兴趣的分布函数，相关函数等等。有趣的是，在另一方面，物理學家也正在通過路徑積分的方法來計算他們最感興趣的分佈函數，相關函數等等。 而这些物理量正是数学家要找的拓扑不变量。而這些物理量正是數學家要找的拓撲不變量。 殊途同归，何等奇妙！殊途同歸，何等奇妙！ 反过来，虽然路径积分没有严格的定义，但是数学家通过对这些量的研究，所得到的优美结果，也极大的鼓舞了物理学家的信心，他们更大胆的向前迈进，也提出了很多伟大的猜想，留给数学家去证实和解决。反過來，雖然路徑積分沒有嚴格的定義，但是數學家通過對這些量的研究，所得到的優美結果，也極大的鼓舞了物理學家的信心，他們更大膽的向前邁進，也提出了很多偉大的猜想，留給數學家去證實和解決。 数学和物理竟如此美妙的联系在了一起，他们本应该是一家。數學和物理竟如此美妙的聯繫在了一起，他們本應該是一家。
通过对物理学的认识。通過對物理學的認識。 在数学上，关于流形拓扑不变量的构造，目前主要有两种途径：肚子饿了，先到此！在數學上，關於流形拓撲不變量的構造，目前主要有兩種途徑：肚子餓了，先到此！ （待续）。 （待續）。
哪位大牛进来科普一下拓扑绝缘体吧
哪位大牛进来科普一下拓扑绝缘体吧
来自: 唐狼(见贤思齐) 2010-01-20 14:11:08
或者，有没有什么general introduction可供参考的？
有一段中文的说明
但是还是觉得不清楚
http://www.bjb.cas.c
按照电子态结构的不同，传统意义上的材料被分为“金属”和“绝缘体”两大类。而拓扑绝缘体是一种新的量子物质态，完成不同于传统意义上的“金属”和“绝缘体”。这种物质态的体电子态是有能隙的绝缘体，而其表面则是无能隙的金属态。这种无能隙的表面金属态也完全不同于一般意义上的由于表面未饱和键或者是表面重构导致的表面态，【拓扑绝缘体的表面金属态完全是由材料的体电子态的拓扑结构所决定，是由对称性所决定的，与表面的具体结构无关】。也正是因为该表面金属态的出现是有对称性所决定的，他的存在非常稳定，基本不受到杂质与无序的影响。除此之外，【拓扑绝缘体的基本性质是由“量子力学”和“相对论”共同作用的结果，由于自旋轨道耦合耦合作用，在表面上会产生由时间反演对称性保护的无能隙的自旋分辨的表面电子态】。这种表面态形成一种无有效质量的二维电子气（与有效质量近似下的二维电子气完全不同：例如广泛使用的场效应晶体管中的二维电子气），它需要用狄拉克方程描述，而不能用薛定谔方程。正是由于这些迷人的重要特征保证了拓扑绝缘体将有可能在未来的电子技术发展中获得重要的应用，有着巨大的应用潜在。寻找具有足够大的体能隙并且具有化学稳定性的强拓扑绝缘体材料成为了人们目前关注的重要焦点和难点。
有一段中文的说明
但是还是觉得不清楚
http://www.bjb.cas.c
按照电子态结构的不同，传统意义上的材料被分为“金属”和“绝缘体”两大类。而拓扑绝缘体是一种新的量子物质态，完成不同于传统意义上的“金属”和“绝缘体”。这种物质态的体电子态是有能隙的绝缘体，而其表面则是无能隙的金属态。这种无能隙的表面金属态也完全不同于一般意义上的由于表面未饱和键或者是表面重构导致的表面态，【拓扑绝缘体的表面金属态完全是由材料的体电子态的拓扑结构所决定，是由对称性所决定的，与表面的具体结构无关】。也正是因为该表面金属态的出现是有对称性所决定的，他的存在非常稳定，基本不受到杂质与无序的影响。除此之外，【拓扑绝缘体的基本性质是由“量子力学”和“相对论”共同作用的结果，由于自旋轨道耦合耦合作用，在表面上会产生由时间反演对称性保护的无能隙的自旋分辨的表面电子态】。这种表面态形成一种无有效质量的二维电子气（与有效质量近似下的二维电子气完全不同：例如广泛使用的场效应晶体管中的二维电子气），它需要用狄拉克方程描述，而不能用薛定谔方程。正是由于这些迷人的重要特征保证了拓扑绝缘体将有可能在未来的电子技术发展中获得重要的应用，有着巨大的应用潜在。寻找具有足够大的体能隙并且具有化学稳定性的强拓扑绝缘体材料成为了人们目前关注的重要焦点和难点。
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