white Riemann 第一類曲線積分質量 第二類曲線積分的物理意義是變力做功（或速度環量）， 曲线长度的计算归结于速度矢量长度对参数的积分, 曲线夹角、局部区域的面积计算等也都是水到渠成,长度的概念还导致了一批特殊的曲线，即所谓的测地线，具有特殊的涵义：任给测地线上的两点p、q（严格的说，两点间不存在共轭点对儿），则p、q间的测地线距离小于等于任意连接这两点的曲线距离

回路光和单向光的光速问题

所谓平均回路光速的不变（简称往返光速或回路光速，前者光线来回走的是同一光路，后者为光线的路径为一闭合曲线


现代微分几何的源头：从高斯到黎曼2012年12月21日 12:49:16

                                                我的切身体会是，几何学家是好人。
                                                                  ——Jesse Dgoulas(1936yr. Fields)
     历史的讲，黎曼几何是三维空间中曲线和曲面微分几何的自然演进。给定三维空间中的一张曲面S，我们有一个很自然地方式来给定其上切矢量的长度。只需把任意一点p处的向量内积<v,w>简单等同于三维空间中的标准内积，从而曲面上的（诱导）度量，长度概念也就有了。接下来，曲线长度的计算归结于速度矢量长度对参数的积分。事实上，有了度量概念，我们不但可以计算曲线长度，与此同时，曲线夹角、局部区域的面积计算等也都是水到渠成的事。总之，通常几何上的一切与测度概念都可以在曲面上展开。进一步，长度的概念还导致了一批特殊的曲线，即所谓的测地线，具有特殊的涵义：任给测地线上的两点p、q（严格的说，两点间不存在共轭点对儿），则p、q间的测地线距离小于等于任意连接这两点的曲线距离。想起初中平面几何课堂上一再重复的“两点间直线段最短”，我们有理由猜想测地线可以扮演“曲面上的直线”的角色。确实，测地线在一定意义上，被看作弯曲空间里的直线，这也是它们受到广泛重视的原因之一。
     注意到，解析的讲，曲面上的度量概念，等价于在每一点定义一个正定的二次型（二次型系数都是曲线上的可微函数），亦称为曲面的第一标准形式。自高斯以来，第一标准形式的几何学几乎一直占据着微分几何的中心位置。
     微分几何学发展史上极其浓墨重彩的一笔，或者说现代微分几何学的开山之作，是Gauss在1827年所发表的《关于曲面的一般研究》（一个英译版本可见Gauss，K.F., General Investigation of Curved Surfaces, Raven Press, New York, 1965）在这项工作中，Gauss在曲面上定义了一个所谓的曲率概念，来度量任意曲面在一点p附近，偏离切平面的程度。用现代的观点来看（事后诸葛亮地看）Gauss的核心想法是在曲面每一点处定义一个单位法向量，从而给出了从曲面到三维空间中单位球面的一个可微映射（如今这就称为高斯映射）。如果曲面S是可定向的，高斯映射是整体Well-Defined。在高斯时期，定向的概念还没有得到很好的关注。事实上，直到1865年，Mobius才在他提交的论文中给出了第一个不可定向的例子，即著名的Mobius带。现在定向是微分拓扑里的首要问题了，顺便提一下，按菲尔兹奖获得者Thom的观点，人们至今还没有完全挖掘出定向概念的真正内涵。
      言归正传。高斯时期并没有整体的定向概念，所以他的“高斯映射”只是局部的定义在曲面片上（同样的原因，如今本科阶段的微分几何也只是讨论曲面片的微分几何）。不过，不管是整体的还是局部的，高斯建立了从任意曲面（片）到单位球面的高斯写像，这是一个可微映射，从而我们可以谈及其微分（众所周知，微积分的一半任务就是对可微映射取微分，直觉地讲，微分就是可微映射的局部一阶线性逼近，这是数学里惯用的把戏，因为线性映射是我们最得心应手的工具），从而诱导出从曲面切平面到单位球切平面的一个线性变换。Gauss把他的曲率定义成这个切映射的行列式，行列式越大弯曲程度越厉害，行列式为零正好对应着曲面上的平坦点域，这和我们的直觉是一样的。同样的论文里，Gauss还指出了，他的曲率正好与早些年间（1760年）Euler在曲面上任意点处所定义的两个主曲率的乘积相吻合，不同的是这个量后来被称为Gauss曲率，而不是Gauss-Euler曲率。
      还是提一下Euler的主曲率概念吧（尽管其已黯然失神于高斯伟大贡献的光环之下）。早些年间，Euler用垂直于曲面的平面去截曲面，得到平面切痕曲线，自然可以定义其曲率，称方向曲率，旋转垂直平面的方向，得到一族方向曲率，所谓的欧拉主曲率，就是这一组曲率中最大的和最小的那两个。在欧拉时代，人们并不清楚一个关于主曲率的函数就可以完全地刻画曲面的弯曲程度，高斯的研究表明，两个主曲率的乘积就够了。
     人们常说，曲率是现代黎曼几何的核心概念，这是指黎曼曲率张量。但要说明白曲率为何重要却不是件容易的事情，一个原因在于这不是仅凭直观的生活经验或直觉就能领略到的，必须借助一些严谨的数学演绎，总之必要的抽象是需要的，这也是至今“弯曲的时空”“时空扭曲”“内蕴弯曲”等概念一直让人费解的原因。很多科普书声称他用很生活化的语言，画几个图解释清了什么叫高维空间的曲率，其实他所写的东西往往与声称要解释的东西完全两码事。从分析的角度看，曲率张量刻画了矢量二阶协变导数的不可交换性，这确实与欧式空间的情况不同，因为我们明白通常的二阶偏导数可交换。而要从几何角度（真正地）理解曲率，要引入Jacobi场（广义相对论里叫测地偏离方程）概念，这应是另一篇博文的主题。
      继续关注伟大的Gauss。高斯于1827年的文章中，有两个重要的创举：第一，高斯曲率仅仅依赖于曲面的度量，或者曲面的第一基本形式（称为高斯绝妙定理）；第二，测地线所围成的三角形(测地三角形)内角和不一定等于180°，但它仅依赖于三角形区域的曲率积分。前者是内蕴几何学的开端，后者则与几何学上的“千年悬案”第五公设问题密切相关。
       种种迹象表明，Gauss很清楚自己研究成果的深远意义。事实上，高斯时期的一个世纪难题是：判断欧几里得几何第五公设（初中几何第一课学过：过直线外一点有且只有一条直线与之平行）是否独立于另外几条公设。早些时候，第五公设等价于三角形内角和是180°，这是勒让德的工作（又一个生不逢时，不幸埋没于高斯光环下的伟大数学家。他与高斯的另一件“悲惨遭遇”是勒让德分布，被后人叫成高斯分布）。高斯的第二个发现表明，至少在二维情况下，可以构想一个几何体系，其性质完全依赖于其上的第一标准形式（而完全不依赖于外围空间）。在这种几何里，测地三角形（代替通常的平面三角形）的内角和依赖于曲率。事实上，Gauss确实验证了，它与180°的差量正好等于三角形区域上的曲率积分。这种几何体系不满足第五公设，但满足所有其它公设。然而，高斯当时并不具备足够的数学工具来发展他的几何构想（事实上，他缺少一个完备流形的概念，而这要等到二十世纪才由H.Weyl来给出）。另外，他也不愿意公开讨论这个备受争议的话题(我们知道高斯的谨小慎微是出了名的)。事实上，非欧几何学的诞生最后被正确的归功于俄国的Lobatchevski(1829)和Bolyai(1831)，可想而知，这两位的理论都经历了相当长的争议期，后者甚至为此精神失常。注意到，他们的非欧几何学都不是从时髦的微积分入手的，如今它们只是数学博物馆里的精品。现代非欧几何的教材往往用微分几何的方式展开。
      这里有必要说一下，提到Gauss，很难不让人产生一种天才情愫。各种描写高斯的史料里都渲染了一种个人英雄主义传奇色彩。一般来说，一个数学家一生中能产生三五个真正奇妙的想法就很满意了，而高斯一生中的灵感，可以说是雨后春笋般源源不断，真是让人没办法。读Gauss，伤不起啊伤不起…
      回到正题。高斯的微分几何思想后来在1854年，被Riemann重新拾起（Riemann，B., On the hypotheses which lies at the foundation geometry一个英文版本可见Spivak的书）。尽管黎曼当年并没有一个恰当的微分流形概念，他不加证明的用直觉性的语言描述了我们今天所说的n维流形概念。循着高斯的心路历程，他在微分流形的每一点赋予一个正定二次型（如今称为Riemann度量），借助Gauss的内蕴曲率给出相应的Riemann截面曲率概念。进一步，黎曼陈述了一系列曲率与度量的关系。在接下来的几十年里，这些都被一一证明了。黎曼当年的就职演讲，使人相信，他的工作受当年几何学中的另一个问题的启发，即我们生存于其中的物理空间与几何学的关系。事实上，当时非欧几何学的诞生，已经使人们怀疑三维空间欧式几何的先验性。例如，当时Lobacheviski就曾设想宇宙空间应由他的双曲几何来描述，后因与天文观测不符而作罢。黎曼在当年的就职演讲里，已经提到这样的想法：物理空间到底应该由哪种几何来描述当由物理观测来判定；物质的存在可能使空间发生内蕴弯曲。注意到当时黎曼并没有四维时空（准确的说，叫Minkovski空间）的概念，因而，毫无疑问，广义相对论的创立要等到20世纪初期。当Einstein为他的引力理论缺少合适的数学而抓狂不已时，一位数学家好友（大学考试前时常借给他作业本）向他介绍了意大利学派Ricci，Levi Civita等他人正在研究的张量分析和黎曼几何。
      就是Einstein也表示难以相信，半个世纪以前，即有人在数学上为广义相对论的萌芽奠定了基础。
      毫无疑问，仅仅这篇就职演说，就可以让黎曼名垂青史，然而，在他短短的40年生命里，还有那么多令人惊叹的创见。值得一提的是，伟大如黎曼，其一生却未获得过任何奖项，仅有的几次报奖也因过于简短，证据不足而退回。真是冤哉枉也！
     如今，当我们津津乐道以其名字命名的Riemann积分，Riemann假设，Riemann引理等概念时，是否想到过黎曼穷困潦倒，如流星般匆匆闪过历史苍穹的一生！也许，有这么多美妙的理论与之作伴，Riemann在天堂里的生活也不寂寞了。
     谨以此篇，献给那些为追求真理，不慕容利默默奋斗的数学英雄们（00：26）

http://www.43577.com/show/1168424.shtml

 

 

被開方數中含有字母的根式叫做無理式。它是代數式的一種。含有無理式的方程叫根式方程。任何無理方程都可以通過分母有理化轉化成有理方程來求解，也可以通過換元法、根式代換法或者三角代換法來求解。求解無理方程會產生增根的問題，所得結果必須驗根，並討論所適用的定義域。

注意，如果一個數的n（n是正整數）次方根不是有理數，那麼這個數的n次方根也是無理式。

1函數編輯

極限：數列的極限（特殊）——函數的極限（一般）
　　極限的本質是通過已知某一個量（自變量）的變化趨勢，去研究和探索另外一個量（因變量）的變化趨勢
　　由極限可以推得的一些性質：局部有界性、局部保號性……應當注意到，由極限所得到的性質通常都是隻在局部範圍內成立

在提出極限概念的時候並未涉及到函數在該點的具體情況，所以函數在某點的極限與函數在該點的取值並無必然聯係
　　連續：函數在某點的極限 等於 函數在該點的取值
　　連續的本質：自變量無限接近，因變量無限接近

2導數的概念編輯

本質是函數增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近於零時的極限，更簡單的說法是變化率

微分的概念：函數增量的線性主要部分，這個說法有兩層意思，一、微分是一個線性近似，二、這個線性近似帶來的誤差是足夠小的，實際上任何函數的增量我們都可以線性關係去近似它，但是當誤差不夠小時，近似的程度就不夠好，這時就不能說該函數可微分了

3不定積分編輯

不定積分：導數的逆運算
　　什麼樣的函數有不定積分

定積分：由具體例子引出，本質是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規則的整體劃作規則的許多個小的部分，然後再綜合，最後求極限，當極限存在時，近似成為精確
　　什麼樣的函數有定積分

求不定積分（定積分）的若幹典型方法：換元、分部，分部積分中考慮放到積分號後麵的部分，不同類型的函數有不同的優先級別，按反對冪三指的順序來記憶

定積分的幾何應用和物理應用

高等數學裏最重要的數學思想方法：微元法

微分和導數的應用：判斷函數的單調性和凹凸性

微分中值定理，可從幾何意義去加深理解

泰勒定理：本質是用多項式來逼近連續函數。要學好這部分內容，需要考慮兩個問題：一、這些多項式的係數如何求？二、即使求出了這些多項式的係數，如何去評估這個多項式逼近連續函數的精確程度，即還需要求出誤差（餘項），當餘項隨著項數的增多趨向於零時，這種近似的精確度就是足夠好的

多元函數的微積分：將上冊的一元函數微積分的概念拓展到多元函數

最典型的是二元函數

極限：二元函數與一元函數要注意的區別，二元函數中兩點無限接近的方式有無限多種（一元函數隻能沿直線接近），所以二元函數存在的要求更高，即自變量無論以任何方式接近於一定點，函數值都要有確定的變化趨勢

連續：二元函數和一元函數一樣，同樣是考慮在某點的極限和在某點的函數值是否相等

導數：上冊中已經說過，導數反映的是函數在某點處的變化率（變化情況），在二元函數中，一點處函數的變化情況與從該點出發所選擇的方向有關，有可能沿不同方向會有不同的變化率，這樣引出方向導數的概念

沿坐標軸方向的導數若存在，稱之為偏導數

通過研究發現，方向導數與偏導數存在一定關係，可用偏導數和所選定的方向來表示，即二元函數的兩個偏導數已經足夠表示清楚該函數在一點沿任意方向的變化情況

高階偏導數若連續，則求導次序可交換

微分：微分是函數增量的線性主要部分，這一本質對一元函數或多元函數來說都一樣。隻不過若是二元函數，所選取的線性近似部分應該是兩個方向自變量增量的線性組合，然後再考慮誤差是否是自變量增量的高階無窮小，若是，則微分存在

僅僅有偏導數存在，不能推出用線性關係近似表示函數增量後帶來的誤差足夠小，即偏導數存在不一定有微分存在

若偏導數存在，且連續，則微分一定存在

極限、連續、偏導數和可微的關係在多元函數情形裏比一元函數更為複雜

極值：若函數在一點取極值，且在該點導數（偏導數）存在，則此導數（偏導數）必為零

所以，函數在某點的極值情況，即函數在該點附近的函數增量的符號，由二階微分的符號判斷。對一元函數來說，二階微分的符號就是二階導數的符號，對二元函數來說，二階微分的符號可由相應的二次型的正定或負定性判斷。

級數斂散性的判別思路：首先看通項是否趨於零，若不趨於零則發散。若通項趨於零，看是否正項級數。若是正項級數，首先看能否利用比較判別法，注意等比級數和調和級數是常用來作比較的級數，若通項是連乘形式，考慮用比值判別法，若通項是乘方形式，考慮用根值判別法。若不是正項級數，取絕對值，考慮其是否絕對收斂，絕對收斂則必收斂。若絕對值不收斂，考察一般項，看是否交錯級數，用萊布尼茲準則判斷。若不是交錯級數，隻能通過最根本的方法判斷，即看其前n項和是否有極限，具體問題具體分析。

比較判別法是充分必要條件，比值和根值法隻是充分條件，不是必要條件。

函數項級數情況複雜，一般隻研究冪級數。阿貝爾定理揭示了冪級數的重要性質：收斂區域存在一個收斂半徑。所以對冪級數，關鍵在於求出收斂半徑，而這可利用根值判別法解決。

逐項求導和逐項積分不改變冪級數除端點外的區域的斂散性，端點情況複雜，需具體分析。

一個函數能展開成冪級數的條件是：存在任意階導數。展開後的冪級數能收斂於原來函數的條件是：餘項（誤差）要隨著項數的增加趨於零。這與泰勒展開中的結論一致。

微分方程：不同種類的方程有不同的常見解法，但理解上並無難處。

定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲麵積分都可以概率為一種類型的積分，從物理意義上來理解是某個空間區域（直線段、平麵區域、立體區域、曲線段、曲麵區域）的質量，其中被積元可看作區域的微小單元，被積函數則是該微小單元的密度

這些積分最終都是轉化成定積分來計算

第二類曲線積分的物理意義是變力做功（或速度環量），第二類曲麵積分的物理意義是流量

在研究上述七類積分的過程中，發現其實被積函數都是空間位置點的函數，於是把這種以空間位置作為自變量的函數稱為場函數

場函數有標量場和向量場，一個向量場相當於三個標量場

場函數在一點的變化情況由方向導數給出，而方向導數最大的方向，稱為梯度方向。梯度是一個向量，任何方向的方向導數，都是梯度在這個方向上的投影，所以梯度的模是方向導數的最大值

梯度方向是函數變化最快的方向，等位麵方向是函數無變化的方向，這兩者垂直

梯度實際上一個場函數不均勻性的量度

梯度運算把一個標量場變成向量場

一條空間曲線在某點的切向量，便是該點處的曲線微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲線積分與第二類曲線積分的聯係

一張空間曲麵在某點的法向量，便是該點處的曲麵微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲麵積分和第二類曲麵積分的聯係

物體在一點處的相對體積變化率由該點處的速度場決定，其值為速度場的散度

散度運算把向量場變成標量場

散度為零的場稱為無源場

高斯定理的物理意義：對散度在空間區域進行體積分，結果應該是這個空間區域的體積變化率，同時這種體積變化也可看成是在邊界上的流量造成的，故兩者應該相等。即高斯定理把一個速度場在邊界上的積分與速度場的散度在該邊界所圍的閉區域上的體積分聯係起來

無源場的體積變化為零，這是容易理解的，相當於既無損失又無補充

物體在一點處的旋轉情況由該點處的速度場決定，其值為速度場的旋度

旋度運算把向量場變成向量場

旋度為零的場稱為無旋場

斯托克斯定理的物理意義：對旋度在空間曲麵進行第二類曲麵積分，結果應該表示的是這個曲麵的旋轉快慢程度，同時這種旋轉也可看成是邊界上的速度環量造成的，故兩者應該相等。即斯托克斯定理把一個速度場在邊界上形成的環量與該邊界所圍的曲麵的第二類曲麵積分聯係起來。該解釋是從速度環量的角度出發得到的，比高斯定理要難，不強求掌握。

無旋場的速度環量為零，這相當於一個區域沒有旋轉效應，這是容易理解的

格林定理是斯托克斯定理的平麵情形

進一步考察無旋場的性質

旋度為零，相當於對旋度作的第二類曲麵積分為零——即等號後邊的第二類曲線積分為零，相當於該力場圍繞一閉合空間曲線作做的功為零——即從該閉合曲線上任選一點出發，積分與路徑無關——相當於所得到的曲線積分結果隻於終點的選擇有關，與路徑無關，可看成終點的函數，這是一個場函數（空間位置的函數），稱為勢函數——所得的勢函數的梯度正好就是原來的力場——因為力場函數是連續的，所以勢函數有全微分

簡單的概括起來就是：無旋場——積分與路徑無關——梯度場——有勢場——全微分

要注意以上這些說法之間的等價性

三定理（Gauss Stokes Green）的向量形式和分量形式都要熟悉

相对论与单向光各向同性的判决性实验的设计

周 郑

摘要：光速不变原理是相对论的条件之一，但至今实验只验证了往返光及回路光的光速不变。因此不能说相对论已得到了严格的实验验证。相对论所推导的许多结论也可用其他假说解释。本文就此提出了一种可行的检验单向光各向同性成立与否的判决性实验。无论其结果如何，作为对相对论这一基础理论的又一次严格的实践检验，无疑都有着十分重大的意义。

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一、问题的提出

    2005年是相对论（狭义相对论）创立一百周年的华诞。相对论在一个世纪里经历了风风雨雨，并取得了卓越的成就。而它的创始人爱因斯坦也因此成为近代最伟大的科学家。相对论建立于各惯性系平权及光速不变两个看似十分简单的基本假设上，并由此推演出一个严密的时空体系。从相对论问世至今，许多人试图找出相对论的内禀矛盾，事实证明都是徒劳的。道理很简单，因为这是一种逻辑推理，只要它的两个基本假设无误，则整个体系就是一种等价的推理与演绎。整个的推理过程爱因斯坦进行得十分严密，无隙可击。特别是借助了闵可夫斯基四维时空模型及为保证场方程协变性而采用的四维洛伦兹正交群后，体系显得尤为严谨而完美。这正像由几个基本公理和公设可推演出一个完整的欧几里得几何体系一样。

    然而，相对论是否已经彻底完善了呢？事实却并非如此。我们知道，相对论是建立在光速相对于任何参照系均不变这一前提之上的，而我们后面将提到，光速不变原理至今为止仍只能算作一种假设，并未真正得到严格的实验验证，许多人可能并不了解这一点。在科学史上类同的情况很多。如欧几里得几何学建立于包括第五公设（即平行线公理）在内的一些基石上，而由于不很直观的第五公设既不能用其他公理来证明，又不能通过实验来验证。所以此后又有罗巴契夫斯基及黎曼等人创立了非欧几何学。

    对此，许多人一定会提出质疑，认为光速不变早已得到了许多证明。如通过天文观察或地面实验对光速的测定；双星系光线速度的比较及高速粒子辐射光线速度的测定证明了光速与光源速度无关；而迈克尔逊——莫雷实验则证明了光速与观察者所在的参照系无关等。

    然而，我们只要仔细分析一下就可得知，在地面所作的光速与观察者的运动无关的实验，事实上都是所谓平均往返光速或者更一般一些的所谓平均回路光速的不变（简称往返光速或回路光速，前者光线来回走的是同一光路，后者为光线的路径为一闭合曲线）。测量中光线出发点与终点是同一点，或其他等价情况，并由同一时钟来记录时间间隔。在这种条件下测出的平均光速确实是不变的。但平均光速的不变并不能保证单向光的光速不变。那么，为什么不直接测量单向光呢？一般认为，对单向光光速的测量需两个已校准的异地时钟。而要校准这两个时钟又需要用到光讯号并知道准确的光速值，两者互为前提条件，因此无法实施[1]。对此一定又有人会产生疑问，难道往和返的光，速度还会有不同吗？当然，按相对论，光速有着各向同性。但是不要忘记，光速不变又是相对论的条件之一，这样将形成逻辑循环。也有人会认为，作为相对论的许多推论已得到了实验的验证。由此还不能倒推出光速不变吗？事实上，许多推论，如运动参照系长度的收缩，时间流逝的减缓，物体质量的增加，甚至公式E=mc²等不仅可以用相对论解释，也可以用其他的理论来加以解释。下面我们对此作一些较为详细的讨论。

二、回路光和单向光的光速问题讨论

    在迈克尔逊——莫雷的判决性实验出现零结果后，就有许多科学家试图对其进行解释。其中较为著名的是斐兹杰惹——洛伦兹的收缩假说。这一假说认为相对于以太运动的物体或参照系在运动方向上要发生收缩，收缩因子为。由于有这样的收缩，迈克尔逊——莫雷实验必定出现零结果。原因是此收缩可以保证任何参照系中的光的平均往返光速不变或更一般的回路光速不变。对此，我们对往返光情况进行数学上定量的分析验证。

    我们假设惯性参照系相对于以太（有关以太的问题后面将再作讨论）的速度为V，方向水平向右，这样“以太风”的方向水平向左。假设有一根长度为L₀的长杆水平放置，方向与V垂直。杆的一端为光源，另一端为一面反光镜。我们计算一下光源发出的光沿杆往返所用的时间。我们假设光相对于以太的速度为C，由于存在以太风，正像渡船要开到河的正对岸，船头必须向上游方向偏一个角度航行一样。这样光相对于以太走的是一条斜线，速度为C。而在沿杆的方向的分速度，由于往返情况相同（后面将讨论的情况，往返将是不相同的），总共用时为。

    下面我们将以上装置在水平面上转过一个角度 ，如图一。这时由于斐兹杰惹——洛伦兹的收缩效应，杆的长度将发生变化。我们先考虑光线出发到镜面这一半路程的情况。杆此时的长度为L，杆平行于V方向的分量为为相对于以太静止时此分量的长度，。光在平行于V方向及垂直于V方向的分量分别为。由此我们有：

    这里由于我们是以斐——洛收缩假说为基础，故不可使用大家所熟悉的爱因斯坦的速度相加公式。

    我们将两式相除并令则可得：

类似的，返回时有：注意，这里的与前面的值不相同。同样我们将两式相除并令则：

将以上解代入，则我们有：

由此可见，只要存在斐——洛收缩效应，则在任何参照系中，沿任何方向的往返光的平均光速是不变的。此结论还可进一步推广到更一般的情况——平均回路光速不变。但是，斐——洛收缩效应绝不能保证单向光的各向同性。从上面的推导中我们也可以明显看出往与返的用时t1与t2是不同的。斐——洛收缩假说产生于相对论问世之前。这一收缩发生于相对于以太运动的物体，这与相对论在本质上是不同的。此外，还有拉摩——洛伦兹提出的相对于以太运动的惯性参照系上时间流逝减缓的假说等。本文后面将这些假说简称为斐——洛——拉假说。目前，由相对论推出的各种经实验验证的结论，基本上都可以由斐——洛——拉假说来加以解释。也就是说，至今为止与相对论有关的各类实验尚无法判别相对论与斐——洛——拉假说的真伪。因此，虽然在主流科学界人们普遍认为斐——洛——拉假说早已被摒弃，相对论早已被接受，但主要还是靠理论的分析与思辩，哲学的思考等来决定两者的取舍的。这些并不能代替实验的判决，比如单向光的光速到底是否在任何参照系里都具备各向同性的实验。如能进行这类判决性实验，就可以直接对相对论进行证实或证伪。

三、单向光各向性的判决性实验方案

    由以上的分析，我们可以清楚地知道，到目前为止，实验所能验证的只是平均回路光速不变。而这又可以用斐——洛——拉假说来解释。因此，相对论事实上还没有得到严格的实验验证。以下我们所提出的实验方案，就是进行一次比迈克尔逊——莫雷实验更进一步的判决性实验，验证一下单向光的光速不变是否也是对任何参照系都是成立的。

实验装置如下，A、B为低纬度且接近等纬度的两个观察站。A、B距离尽可能远，以能直线观察到对方最好，可安置在高山上。两观察站都有一个相同波长的微波或

超短波发射源及接收装置。如B处的接收装置可以接收到A发出的微波及B处自身发出的微波。这两列波可以在示波器上同时显示。两列波的波形在显示器上存在一定的相位差。同样在A处的接收装置也收到B发出的波及A处自身发出的波，并在A处显示器上显示，也存在一定的相位差，如图二所示。对于示波器的设计，由于A、B处于同一个参照系中，不会发生多普勒效应，因此频率是不会变化的。我们只需采用固定不变的锯齿波来控制水平扫描，而让A或B的波讯号来控制垂直扫描即可得到稳定的波形。当然，A、B需分时扫描，其中远处的讯号应先经放大后输入。图二中的A波是与接收装置同处的微波源发出的，主要作用是作为基准，与B波进行比较，以防止因接收装置本身原因可能造成的漂移。按爱因斯坦的相对论，只要微波发射装置能稳定地发出微波，则两观察站的波形也是固定的，不会发生周期性的改变。但是依照斐——洛——拉假说，相对于以太运动的惯性系，其上发出的光（或更一般的电磁波）的光速在不同方向上是不同的。这就像大海中一前一后同向航行的两只船，它们各自发出声纳讯号。但A（在前）发出的讯号相对于B的速度比起B发出的讯号相对于A要快。即使我们假想存在类同斐——洛收缩，两艘船间距会因船速而缩短，也无法改变这种速度的差异。

    按这一理论，地球相对于以太运动，如A站在前，则A到B的讯号速度就要大于B到A的速度。这样A站与B站上显示的相位差就会不同。不过仅由此还无法得出有效结论，因为两地的钟目前尚无法达到理想的同步。但我们却可以利用周日或周年中地球上某点相对于以太运动的变化，以观察由此造成的相位差的变化以确定地球是否相对于以太在运动。

    比如，我们考虑周日差的影响。设地球相对于以太的速度为U，这里我们如同著名的光行差实验那样[2]，权且以地球的公转速度作为U。实验室所在纬度的自转线速度为V。则当地球自转的线速度与地球公转线速度一致时，实验室相对于以太的速度为U+V。这里我们可略去可能出现的斐——洛——拉假说中的长度收缩及时间减缓等效应，因为这些效应中都有，属二级小量的效应。而当两者反向时，相对于以太的速度为 。设A、B间距为L，则在同向时微波传播用时为则为在逆向时的用时。故最大周日差为：

这样示波器上对应远处的波形就要按周日差周期性地发生平移。我们对此作一个估算。设A、B两地距离L=20km，地球公转速度U=29.77km/s。我们在北纬25度的云南进行这一实验。地球赤道自转线速度V₀=0.465km/s，则V= V₀cos25^o=0.421km/s，c=3×10⁵km/s。以这些数据代入，则可得出δt=1.32×10^-8s。我们可用超短波f=5×10⁷Hz，即T=2×10^-8s。设示波器上两个邻近波峰距离λ=10mm。则在周日差中A、B波峰间将发生Δλ=1.32×10^-8/(2×10^-8) ×10mm=6.6mm的最大相对位移，这是完全可以观察到的，而且A、B两地观察站观察到的平移方向相反。当然，这仅是假设的情况，真实情况只有让实验结果来回答了。

    如考虑周年差，将涉及到太阳系绕银河系中心即银核的公转线速度等。效应肯定要比周日差明显的多。以现代的电子学检测手段，只要选用频率足够高的电磁波及频响足够高的示波器，要定性甚至定量的检测出可能出现的非零结果是完全没有问题的，因此这是一个可行性的实验设计。如果出现非零结果，无疑会产生重大反响。即使仍是零结果，作为对爱因斯坦相对论的基石——单向光光速不变性的验证，同样有重大的意义。

四、进行判决性实验的必要性

1、对于“以太”的理解

    在本文中多次提到以太，对此一定有人会说：以太不是早已被摒弃了吗？再来老调重弹有何意义呢？对此我们有以下看法：

    第一，如前所述，由于单向光光速不变未被实验证明。因此，以太理论被否定不能认为已通过了严格的实验验证。到目前为止以太理论的被否定仍还只能认为是一种假设或者说是一些诸如实证主义等的哲学观点。至今，国外许多科学家还在找寻以太[3]。

    第二，以太原先被认为是一种由某种特殊物质构成的传播光的媒介。后又将其与绝对空间及真空相联系。真空在当时被认为空无一物。而按相对论的哲学观点，空间是与物质相关联的，因此以太就被当作“怪物”抛弃掉了。然而，近年来各种高能物理的理论和实验都已得到共识——真空不空。它存在着量子起伏，真空涨落等。甚至于我们的宇宙都被认为诞生于真空。从这一观点看，既然真空也与物质相联系，而物质都有惯性等共性，这样，存在一个与构成真空的这些物质相对应的惯性系即以太所在的惯性系也就可以是顺理成章的事。

    第三，上世纪中叶，杨振宁、李政道为解释中微子只有左旋，建议中微子应由静质量为0的二分量旋量场方程即伐耶方程（其中哈密顿算符为泡利矩阵）来描述[7]，假设中微子的静质量为0。但上世纪末众多的实验都支持中微子具有微小的静质量，特别是的静质量更大。（对应于三类轻子）有静质量则预示了存在右旋中微子，但我们从未发现过。这也从一个方面表现了各惯性系并非完全平权。

    第四，爱因斯坦本人在中后期对以太的观点也有所变动。他在《以太与相对论》中说道：“依照广义相对论，一个没有以太的空间是不可思议的；因为在这样一种空间里，不但光不能传播，而且量杆和时钟也不可能存在，因此也就没有物理意义上的空间——时间间隔。”[4]当然，这里说到的以太与当初的以太是有区别的。爱因斯坦认为以太由物质以及它同邻近各点的以太状态之间的关系所决定，由微分方程来描述，两无限近时空点的间距为为度规，是对称张量，有十个独立分量。他只是反对“把运动状态强加给以太”。

    在科学的发展史上被否定的假说，后来又以新的形式重生的例子并非没有。如光的粒子说就曾被否定过，后来又在光量子这一种形式下得以重生。我们并非信奉以太的观点，但我们认为以太存在与否还需要通过进一步的实验检验。

2、实验的意义：

    下面我再强调一下进行单向光光速各向同性与否的判决实验的意义和必要性。

    第一、在单向光光速不变被实验证明之前，不能认为爱因斯坦的狭义相对认已经得到了严格的实验证明。因为目前由相对论推出的各种结论虽有不少已得到了实验验证，但用斐——洛——拉假说同样可以对其进行解释。一个前提条件未得到证实的理论，就如同建立于沙滩上的大厦。

    第二、从理论上，或者从哲学分析上也尚难以决断出爱因斯坦相对论与斐——洛——拉假说的孰是孰非。相比之下，虽然相对论对高速现象的描述较为简明，但其对其所推出的诸如长度收缩、时间减缓等效应产生的物理原因的解释却是避而不谈的。虽然有时也对一些相对性与日常的相对性作一些不很恰当的对比，但总给人以牵强附会的感觉。也可能相对论本身对这些效应就难以解释。而斐——洛——拉假说虽然在使用上显得烦琐，但它却可以对以上的许多效应作物理解释。比如尺的收缩、时间的减缓就可解释为是高速运动物体与以太的相互作用的结果。

    第三、相对论中出现了许多佯谬，如双生子佯谬等。虽然爱因斯坦利用了广义相对论所引出的“引力势”可以加以解决为引力势, 为加速度，x为距离），但飞船返回时所作的变速运动产生的引力场却可以对完全不受此引力场作用的地球所在的空间处产生如此大的引力势，并使之时间流逝惊人地加快并迅速地超出飞船上时间的流逝（以飞船为参照系计算时间差，计算式为，这里B下标代表飞船，故速度为0），很难让人接受。前苏联著名物理学家B．A．福克院士曾对此作过评论[5]：首先，加速引力场的引力势不满足的边界条件，而是与距离 一同线性地趋于无穷大；其次，在某一平面变为零，这是不允许的，因为这对应了地球上时间的流逝趋于无穷大（如地球处于此平面）。而斐——洛——拉假说显然就不存在这种佯谬。

    第四、如实验出现零结果，就可以说单向光光速存在各向同性。相对论也就可以说得到了更为严格的实验验证。虽然还有“以太被带动”等假说也可以对其解释。但因这些假说不认同诸如时间减缓、质量增大等实验事实，已被人们所抛弃。

    第五、如果出现非零的结果，当然会像当年迈克尔逊——莫雷实验出现零结果一样引起很大的震动，这说明相对论的框架是错误的。不过我们认为并不能因此否定爱因斯坦所作出的历史功绩。因为相对论对时空的描述可以认为是对真实情况的一种简化与近似，在一定的条件下甚至是一种等效的描述，如参照系或光讯号或两者共同构成闭合曲线等情况。当然，等效并不是等同。它们之间还是存在着本质上的差异。

    第六、在微电子技术高度发达的今天，要进行这一实验可以说是轻而易举的事，许多现成民用及退役军用的仪器都可以直接派上用处。因此所需资金相对是很少的。

    鉴于以上原因，我们衷心地恳请国家有关权威科技部门能支持我们进行这项无论是零结果或非零结果都很有价值的判决性实验。国外每年都在进行着包括与相对论有关的基础科学的验证实验。我国作为一个愿意为科学事业作出较大贡献的大国，也应该有为基础科学作出一些投入的气度。

参考书目：
[1]《狭义相对论实验基础》 张元仲 科学出版社
[2]《Introduction to the Theoty of Relativity》by Peter Gabriel Bergmann, Prentice-Hall,INC.
[3] “为什么科学家又要找以太” 王家骥 《科学画报》2005．8
[4] “以太和相对论” 《爱因斯坦文集》第一卷 商务印书馆
[5] 《空间、时间和引力的理论》 B·A·福克 科学出版社
[6]《相对论》 W·泡利 上海科学技术出版社
[7] 《基本粒子理论》P·罗曼 上海科学技术出版社

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