商空间[编辑]
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本文介绍拓扑学中的商空间，线性代数中的商空间参见商空间。
在拓扑学及其相关数学领域，一个商空间（quotient space，也称为等化空间identification space）直观上说是将一个给定空间的一些点等同或“黏合在一起”；由一个等价关系确定哪些点是等同的。这是从给定空间构造新空间的常见方法。
映射是最基本也是最抽象的数学操作之一，将两个集合的元素关连起来。我们不妨叫第一个集合叫原物（妻集），映射到第二个集合里生成的集体叫像（夫集）。数学家男的多，因此，多（妻）对一（夫）是可能的，但一（妻）对多（夫）是绝对禁止的。如果物国里每个女人都有（一个）仅属于自己的男人作丈夫，即女人不共夫，则是一（妻）对一（夫），即所谓的一一映射（注意这个名词只讲一妻必有一夫，但并不暗含每夫必有一妻，要看老婆够不够多）。
如果像国里每个男人都有（至少一个）老婆，男人当然满意，故称满射。
如果既是满射又是一一映射的话，那就是乌托邦里的一夫一妻制，一妻必有一夫，一妻仅有一夫，荆倌互忠，既不共夫亦不共妻，即所谓的双射，或许双双满意？
能够建立双射映射的两个集合，在抽象意义下，物像没有区分，谁为物，谁为像，见仁见智，公婆不分，故名同构。还有变态的自映射，镜中人是你，你也是镜中人，这个后面还要提的。
函数是映射的最简单例子。算子是稍微"高级"一点的映射。
如果映射将一个集合的一些元素全部映射到"单位"元素（加法的零或乘法的一），则这些元素形成一个叫核（ker）的子集合。原物集合中的ker之所以重要，被单独列出，归根到底还是因为像集合里的"单位"元素独特。他跟本集合内任何一个元素作用（例如相乘）还是该元素本身。因此核内任何一个元素与本集合内任何非核元素相乘所得结果必在核外，否则他会被映到单位素。原来ker乃初中之国，独立王国是也。因此，每一个核外元素与全体核内元素可以产生一共同类，是为等价类。可以通过与核内元素建立关连的元素属于同一等价类。由此立得不同等价类的元素必不相同。整个集合就可以按等价类拆分，因而集合元素是核内元素之整数倍。
显然，同一个集合的核是可变的因为核与映射有关。改变映射，核的元素会变。这个核，随集合对应物改变而有很多别名，正则子空间，理想，不变子空间，正则子群，不变子群等等，看官且留意他们是亲姊妹。他也是投影或射影的最一般描述。投影空间（商空间）即为原空间对某个（正则）子空间取商的结果。
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本文介绍拓扑学中的商空间，线性代数中的商空间参见商空间。
映射是最基本也是最抽象的数学操作之一，将两个集合的元素关连起来。我们不妨叫第一个集合叫原物（妻集），映射到第二个集合里生成的集体叫像（夫集）。数学家男的多，因此，多（妻）对一（夫）是可能的，但一（妻）对多（夫）是绝对禁止的。如果物国里每个女人都有（一个）仅属于自己的男人作丈夫，即女人不共夫，则是一（妻）对一（夫），即所谓的一一映射（注意这个名词只讲一妻必有一夫，但并不暗含每夫必有一妻，要看老婆够不够多）。
如果像国里每个男人都有（至少一个）老婆，男人当然满意，故称满射。
如果既是满射又是一一映射的话，那就是乌托邦里的一夫一妻制，一妻必有一夫，一妻仅有一夫，荆倌互忠，既不共夫亦不共妻，即所谓的双射，或许双双满意？
能够建立双射映射的两个集合，在抽象意义下，物像没有区分，谁为物，谁为像，见仁见智，公婆不分，故名同构。还有变态的自映射，镜中人是你，你也是镜中人，这个后面还要提的。
函数是映射的最简单例子。算子是稍微"高级"一点的映射。
如果映射将一个集合的一些元素全部映射到"单位"元素（加法的零或乘法的一），则这些元素形成一个叫核（ker）的子集合。原物集合中的ker之所以重要，被单独列出，归根到底还是因为像集合里的"单位"元素独特。他跟本集合内任何一个元素作用（例如相乘）还是该元素本身。因此核内任何一个元素与本集合内任何非核元素相乘所得结果必在核外，否则他会被映到单位素。原来ker乃初中之国，独立王国是也。因此，每一个核外元素与全体核内元素可以产生一共同类，是为等价类。可以通过与核内元素建立关连的元素属于同一等价类。由此立得不同等价类的元素必不相同。整个集合就可以按等价类拆分，因而集合元素是核内元素之整数倍。
显然，同一个集合的核是可变的因为核与映射有关。改变映射，核的元素会变。这个核，随集合对应物改变而有很多别名，正则子空间，理想，不变子空间，正则子群，不变子群等等，看官且留意他们是亲姊妹。他也是投影或射影的最一般描述。投影空间（商空间）即为原空间对某个（正则）子空间取商的结果。
餘切叢- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia
zh.wikipedia.org/zh-hk/余切丛
关于陈省身《微分几何讲义》中余切空间定义的疑问 ... - 百度贴吧
tieba.baidu.com/p/2742188669
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（分享）切空间的引入_相对论吧_百度贴吧
tieba.baidu.com/p/2050179597
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流形上的切空间，是指用坐标基（d/dx，d/dy，d/dz）张成的空间
phymath999.blogspot.com/2015/.../ddxddyddzdxdydz.ht...
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Lect8_余切空间，余切向量场.pdf - 理学- 教育资料- 爱分享网 ...
www.ishare5.com › 教育资料 › 理学
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无穷维Teichmüller空间的Teichmüller余度量的不可微性_ ...
xuewen.cnki.net/CJFD-KXTB199517000.html
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[PDF]流形与几何初步
math.nju.edu.cn/~meijq/manifold.pdf
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