Wednesday, April 1, 2015

杨振宁-李政道定理 z=1为可除奇点,也就是它本身完全是一个连续函数; 对于半开区间:[0,1) 或者闭区间:[0,1],等式1=0.999...含义不一样。如果一只蚂蚁从0往1爬,对于半开区间,这只蚂蚁不可能到达但是能越来越接近接近1,在x=1这个地方,很可能有一个陷阱;而对于后者,则可以到达

[PDF]讲义(A4 - 迷途老马的家
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2014年5月2日 - 4.5 位力定理和能量均分定理. ... 5.2 热力学函数和特性函数. ...... 李定理表明, 此时将. 可能出现热力学函数的奇异性, 上式能描写气, 凝聚相的状态方程和相变. .... 李杨理论可以提供具体的算例, 李杨本人以其方法讨论了Ising Model.


发掘等式1=0.999...中的物理奥义 精选
已有 6571 次阅读 2012-2-15 19:48 |个人分类:大学教育|系统分类:教学心得|关键词:物理,数学
一只蚂蚁,从坐标原点处往坐标1处爬,它能发现1处的陷阱吗?
  
高中时期,借得伽莫夫通俗读物《从一到无穷大》一本,很多内容刻尤在骨,封面上的如下一个等式就令人震撼:
近十年来,常有机会面试一些申请或希望进入湖南大学的高三理科生,如何理解这个等式之类是我面试题库中的常用题。另一道常用题也出自该书,说有一无限多房间的酒店注满了客人(每房限住一人),可又来了两位客人,还能安排入住吗? 这道题的原始出处据说来自Hilbert.
 
仅仅学过初等数学,等式1=0.999...不妨这样理解:因为1/3=0.333...,所以1=3x(1/3)=0.999... . 当然,理解不等于证明。初等数学中的一个证明是0.999…=9 x (1/10+1/102+1/103+...)=1.
 
如果学过高等数学,证明这个等式最高明的方法需要利用到N语言。而涉及这一语言,会遇到两个问题。
问题之一是区间和开和闭。对于半开区间:[0,1) 或者闭区间:[0,1],等式1=0.999...含义不一样。如果一只蚂蚁从0往1爬,对于半开区间,这只蚂蚁不可能到达但是能越来越接近接近1,在x=1这个地方,很可能有一个陷阱;而对于后者,则可以到达。也就是,如果定义一个函数,对于前者,函数是x=1不可能是连续点;对于后者,则有可能。
问题之二有点深奥:在这一点,函数发生了什么事件? 数学上,函数的性质是预先定义好的;在物理上,往往关注一个物理对象,而非抽象的数,例如粒子的运动,一个热力学系统等等。对于这个具体的物理对象能否到达x=1的点,不是一个函数本身就能说清楚,有些问题往往需要通过求导数甚至积分才能看清楚。
所以,弄清函数在x=1处的性质,看似数学,其实能反映出一个物理学家的理论修养。李政道、杨振宁这样的大家由此而创造历史,当然更多的物理教授闹出笑话来而不自知。
 
一,球与刚性壁间的弹性碰撞
 
考虑一个质点从x=0处往x=1处匀速地飞,在t=0时与x=1处的刚性壁发生弹性碰撞。位置x对时间t的依赖关系如下:

图示如下:

x可以到达1这一点,x本身的定义域为[0,1]. x求时间t的导数,得速度:

速度空间发生了“灵异”事件t=t0时速度无法定义! 也就是从速度空间看,说不清楚粒子有没有到达x=1的点,或者粒子到达后,粒子的速度如何? 图示如下:

进一步揭示x=1处的奇异性,再求导之。结果出现一个高等函数——狄拉克d函数d(t-t0):

a= -2vd(t-t0)= -2v2d(x-1)
也就是出现了一个等效力场:
F=ma= -2vd(t-t0)= -2v2d(x-1)
所谓等效力场,一方面它贡献一个冲量,这个冲量刚好改变粒子的运动方向;另一方面它不做功,W=0!
加速度空间图示结果如下:

这是一个极其简单的例子,揭示的道理却是深刻的:蚂蚁能爬到1,爬到后会原路返回! 运动是连续的,但是力场确具有奇异性。力场的奇异性通过对运动的求导数就可以揭示出来。
 
二,杨振宁-李政道定理
 
给一个连续函数描述水的流体态,谁是天皇老子能告诉我这个函数何时水处在气相还是液相? -李单位圆定理(西方作者往往称之李-杨定理)是李杨合作的最高成就之一,他们二人的天才在于准确理解了通过求导发现函数奇异性的道理,从而解决了上述问题。
设一个(配分)函数为:

这个函数z=1为可除奇点,也就是它本身完全是一个连续函数。这个函数类似于上例中位置x和时间t的关系。
物态方程是压强p和温度T(单位质量物质的)体积v间的关系。固定好温度T,考察pv之间的关系,需要对z求一阶导数。步骤如下:


和上面速度v对时间的依赖关系何其相似,“灵异”再次出现:体积vz=1处不连续!
z反解出来依赖于v,立即得到一级相变结果:

图示结果如下


不但蚂蚁能爬到1,爬到后蚂蚁居然变成了金刚。这个变化也是通过求导数才能看出来。
 
三,一个贻笑大方的故事
 
2005年,长沙理工大学物理系有位本科生写信给《物理学报》,指出该刊当年发表的计算三维各向同性谐振子能级的论文有误。《物理学报》对这类稿子通常的处理是:1原文发表也是请专家评审过的,专家那么容易出错?  2.作者私下沟通一下算了,公开发表“comment”就免了吧。一篇彻头彻尾的错误论文就留在那里至今无人公开指出来。刊物的这种做法其实很不严肃,至少会导致内行对这份刊物权威性的怀疑。
我常有幸看到了论文作者(一位正教授)和那位本科生之间等的若干通讯。作为一名量子力学研究者,我非常佩服那位教授的胆量:对于三维各向同性谐振子能级这种过分熟悉体系的本质上的新发现,发表之前是否要扪心自问一番?
教授的新发现基于建议在r=0点的波函数Y应当满足rY有限,而不是Y本身有限,进而发现一个基态比大家熟悉的基态还要低。除了r=0点,体系的薛定谔方程中的势能的确是各向同性谐振子势能,但是,对波函数求两阶导数,立即发现r=0点出现了一个d函数势能。而三维各向同性谐振子中心带有d函数势能的情况,曾谨言先生已经给出正确处理的途径,那位教授的方法也不对。
在这个例子中,眼睁睁看到蚂蚁靠近1,然后跌到1处的沟里去了。呵呵。


http://blog.sciencenet.cn/blog-3377-537780.html  此文来自科学网刘全慧博客,转载请注明出处。
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发表评论 评论 (27 个评论)



[27]程中州  2014-4-9 19:37
呵呵,其实蚂蚁是不知道怎么就掉进1里去的,非但蚂蚁不知道,我们也不知道,不管是计算还是极限,都只能得出最终结果:真掉进去了哎,怎么掉的,不知道~这应该是个哲学问题(芝诺悖论),非数学物理所能解决也~
博主回复(2014-4-9 20:35)哲学和数学物理间,的确有距离。

[26]白图格吉扎布  2012-4-26 21:32
有意思。链接到普兰塔。

[25]sechu  2012-3-28 09:36
证明0.999…=9 x (1/10+1/102+1/103+...)=1不是初等证明。最后一个等号用到了高等数学的极限。

[24]吴胜平  2012-3-28 05:17
糊涂虫 华罗庚 教出来的学生

[23]胡大伟  2012-3-13 18:35
从极限的观点来看1就=0.9999999999...   ...   ...,

[22]刘新建  2012-3-4 20:21
我的理解:这是理论与现实的差异!现实中是不存在准确的0.9999999……,因为你在既定的1的定义下永远无法准确用仪器测量到。1=0.9999999……是理论的,是一定意义下的相等!

[21]梁智鹏  2012-2-27 19:51
1=0.9999……,涉及到“=”这个符号的定义。它本来用于两个有限自然数之间比较,就是“一一对应”的意思;即使后来推广到有理数,也是基于有限多次的一一比较。但是在本题中,涉及到无限多次(数位的)比较,因此它能否这样用还存在疑问(就像无穷级数的收敛性一样需要证明)。

另外,本题等号两边是相等的,而写法不一样,这表明了我们进位记数法在涉及到无穷时的一个bug——不一致性。但这也无可奈何,因为“完备的就是不一致的”嘛。

[20]薛堪豪  2012-2-24 20:31
要是被刘老师面试这题,我肯定说:实数系是稠密的,两个不相等的实数之间有无穷多的其他实数。不断等分就可以了。但 1 和 0.99999... 之间塞不下其他东西,所以它们就是一回事,也就是绝对相等,就是实轴那同一个点。不知能够过关。
博主回复(2012-2-27 00:00)绝对相等? 似乎不是!

[19]吴中祥  2012-2-24 07:51
只提一点!

1不=而只是趋近于0.9999999999...   ...   ...,

此处的=只有如此而已理解才对,否则就会出现场矛盾!
博主回复(2012-2-27 00:00)谢谢吴老!

[18]李鹏程  2012-2-19 19:27
原来曾谨言的《量子力学导论》6.1.2谈到了这个问题。。。顺便还查到他在1989年《大学物理》《薛定谔方程的解在r=0邻域的行为》中还专门提到了谐振子的情况。。。以前学的时候全没注意这些问题,惭愧。。。
博主回复(2012-2-19 20:25)知识在于积累,现在知道并不迟啊。

[17]李鹏程  2012-2-18 23:25
您是指如果基态波函数径向部分是exp(-r^2/2)/r的话不满足谐振子势的薛定谔方程吗?
博主回复(2012-2-19 17:42)这个波函数当然不满足谐振子势,而是谐振子势+c delta(r). 回想一下点电荷的电势满足的方程吧。

[16]李鹏程  2012-2-17 18:37
物理小站:http://zhan.renren.com/physpace?from=rrsearch&checked=true
谐振子那篇文章是否是 基态球谐振子的空间"塌陷"?
博主回复(2012-2-17 19:51)谢谢提供链接。
您所指论文,您自己有何看法?

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