Saturday, October 26, 2013
同调群 在一个2维环形面（有个洞）上，有一个散度0的向量场，那么我们能不能找到一个势函数，让其等于这个势的散度？当没洞的时候，微积分就可以得出结果，答案是可以。有洞的时候，这个时候借助同调群和上同调群结构相同，我们就可以很容易发现这个势其实和旋度场差了个1维空间。
群上同调论是什么？它在物理学上有什么用？
1个答案
同调（Homology）是一个很深刻的数学方法。上同调是Cohomology。可以把很多大类无限维空间的之间的联系结构抽象为有限维空间，可以解释很多对称结构，这个展开讲没边了，我说几个同调理论在物理中的应用，讲完之后再举一个简单的微积分例子解释同调的方法论。
1. 电磁场
电场可以看做微分形式(differential form)中的1-形式，磁通量可以看成2-形式。二者都属于某种函数空间中，其有限能量空间可以通过微分算子联系，而通过微分算子构成的德拉姆上同调链(de Rham complex)的同调群正好是其电磁场的介质区域的Betti数。微分揭示拓扑结构，挺神奇的。
2. 规范场
规范场和李代数（或者李群 Lie algebra/group）联系紧密。李群的上同调理论则可以揭示很多规范场中的对称结构。
3. 拓扑量子场
上同调论的精彩战场之一，不用给空间加上度量的量子场论，纯粹在拓扑空间上的抽象积分，同调理论正好不需要依赖于度量空间，某些空间的商空间是特殊酉群(SU)，很多物理现象可以用特殊酉群来描述，比如标准模型中的弱电对称。
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同调是什么呢？简单的例子可以从3维空间里面的向量微积分Stokes定理讲起，与我刚才说过的德拉姆上同调（de Rham cohomology）有关。
最基本Stokes公式如下：
![]()
在曲面![]()
对于向量场旋度点乘上带有法向量的积分，是包围这个曲面的曲线上这个向量场的线积分。
这个可以看做积分的牛顿-莱布尼兹公式在3维的推广。实际上我们还可以用下面非常抽象的，不依赖于度量的积分表示：
![]()
其中d是外微分算子，![]()
是取边界。
这个广义的不依赖于度量的公式，是说流形上，微分形式的外微分的积分，可以变成流形边界上的积分。这样就把外微分和取边界联系了起来。我们可以得到下面两个de Rham链式结构：
![]()
![]()
其中![]()
是p维光滑流形，而![]()
是光滑的p-形式。边界每取一次，维度下降，外微分每取一次，微分形式变高一阶。
de Rham同调群的得到既可以由边界算子出发，也可以由外微分算子得到。在第一个链里面，同调群可以由对p维流形取边界的核空间模掉对(p+1)维流形取边界的相空间得到：
![]()
这个同调群的维度就是我刚才说的Betti数了。
通过另外一个微分算子的链，得到的叫上同调结构，在三维流形上，外微分d有几个比较好的性质，对0-形式的外微分d是grad（梯度），对1-形式的外微分d是curl（旋度），对2-形式的外微分d是div（散度）：
![]()
梯度场的旋度是0，旋转场的散度是0。
通过刚才第二个链结构在三维流形上构造出来的叫上同调群：
![]()
这是对p-形式取外微分的核空间模掉对(p-1)-形式的外微分的相空间。这个上同调群，竟然和刚才边界算子得到同调群结构相同！这是理论证明的结果，可以看成是一个同调群这种分析方法意外收获吧。
于是，我们还可以用同调的方法去分析传统的向量场势的构造问题，一个简单的例子就是，在一个2维环形面（有个洞）上，有一个散度0的向量场，那么我们能不能找到一个势函数，让其等于这个势的散度？当没洞的时候，微积分就可以得出结果，答案是可以。有洞的时候，这个时候借助同调群和上同调群结构相同，我们就可以很容易发现这个势其实和旋度场差了个1维空间。这个换面的例子的直接物理应用就是，可以看出空心金属圈里面的电磁环流是个什么样的场。
像下面两张图这样有复杂拓扑结构的区域里面的电磁场问题，有了用上同调群维度就是Betti数这个性质，就可以让很多麦克斯韦方程组导出的偏微分方程复杂混合边界问题里面的解的结构变得清晰起来：
![]()
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我自己对同调理论也是只知皮毛，希望大家查漏补缺。最后我想说的是，很多人物理或者数学博士读完了都不一定会用得到同调理论，所以大家没看懂我在说什么狗屁也完全没有关系的呀。
1. 电磁场
电场可以看做微分形式(differential form)中的1-形式，磁通量可以看成2-形式。二者都属于某种函数空间中，其有限能量空间可以通过微分算子联系，而通过微分算子构成的德拉姆上同调链(de Rham complex)的同调群正好是其电磁场的介质区域的Betti数。微分揭示拓扑结构，挺神奇的。
2. 规范场
规范场和李代数（或者李群 Lie algebra/group）联系紧密。李群的上同调理论则可以揭示很多规范场中的对称结构。
3. 拓扑量子场
上同调论的精彩战场之一，不用给空间加上度量的量子场论，纯粹在拓扑空间上的抽象积分，同调理论正好不需要依赖于度量空间，某些空间的商空间是特殊酉群(SU)，很多物理现象可以用特殊酉群来描述，比如标准模型中的弱电对称。
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同调是什么呢？简单的例子可以从3维空间里面的向量微积分Stokes定理讲起，与我刚才说过的德拉姆上同调（de Rham cohomology）有关。
最基本Stokes公式如下：
在曲面
这个可以看做积分的牛顿-莱布尼兹公式在3维的推广。实际上我们还可以用下面非常抽象的，不依赖于度量的积分表示：
其中d是外微分算子，
这个广义的不依赖于度量的公式，是说流形上，微分形式的外微分的积分，可以变成流形边界上的积分。这样就把外微分和取边界联系了起来。我们可以得到下面两个de Rham链式结构：
其中
de Rham同调群的得到既可以由边界算子出发，也可以由外微分算子得到。在第一个链里面，同调群可以由对p维流形取边界的核空间模掉对(p+1)维流形取边界的相空间得到：
这个同调群的维度就是我刚才说的Betti数了。
通过另外一个微分算子的链，得到的叫上同调结构，在三维流形上，外微分d有几个比较好的性质，对0-形式的外微分d是grad（梯度），对1-形式的外微分d是curl（旋度），对2-形式的外微分d是div（散度）：
梯度场的旋度是0，旋转场的散度是0。
通过刚才第二个链结构在三维流形上构造出来的叫上同调群：
这是对p-形式取外微分的核空间模掉对(p-1)-形式的外微分的相空间。这个上同调群，竟然和刚才边界算子得到同调群结构相同！这是理论证明的结果，可以看成是一个同调群这种分析方法意外收获吧。
于是，我们还可以用同调的方法去分析传统的向量场势的构造问题，一个简单的例子就是，在一个2维环形面（有个洞）上，有一个散度0的向量场，那么我们能不能找到一个势函数，让其等于这个势的散度？当没洞的时候，微积分就可以得出结果，答案是可以。有洞的时候，这个时候借助同调群和上同调群结构相同，我们就可以很容易发现这个势其实和旋度场差了个1维空间。这个换面的例子的直接物理应用就是，可以看出空心金属圈里面的电磁环流是个什么样的场。
像下面两张图这样有复杂拓扑结构的区域里面的电磁场问题，有了用上同调群维度就是Betti数这个性质，就可以让很多麦克斯韦方程组导出的偏微分方程复杂混合边界问题里面的解的结构变得清晰起来：
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我自己对同调理论也是只知皮毛，希望大家查漏补缺。最后我想说的是，很多人物理或者数学博士读完了都不一定会用得到同调理论，所以大家没看懂我在说什么狗屁也完全没有关系的呀。
- ZiYuan：这里面的Ker和Im是对于什么变换来说的 - 2013-06-01 04:25 回复
- Majorana：这还只是上同调。。。群上同调其实可以纯代数的来定义。 - 2013-05-28 14:12 回复
- AlephAlpha：你好像只讲了同调论，没讲群上同调论啊…… - 2013-03-24 02:25 回复
- wugui：回复@狂咲丿Scarlet：应该是GTM，咔咔 - 2013-03-23 19:23 回复
- 狂咲丿Scarlet：回复@wugui：没注意看，反正是黄色封面的，和一堆黄色封面的书放在一起。。。当时完全不知道这是讲什么的书，看词根似乎是“同类，同构”一类的意思。。。反正我是用不着了。。。类似的书架子上还有很多，都是没有中文名字的。。。 - 2013-03-23 19:19 回复
- wugui：回复@狂咲丿Scarlet：是gtm的么 - 2013-03-23 19:13 回复
- 白糖糖_譬如朝露：回复@呆头鹅：+1 - 2013-03-22 16:53 回复
- 狂咲丿Scarlet：昨天逛书店，看到一本厚厚的书，书名就叫Homology。。。 - 2013-03-22 08:45 回复
- MathChief：回复@Sheldon：谢谢提问，pathtohappiness说的对，应该是像空间，这天杀的拼音输入法…… - 2013-03-22 06:24 回复
- pathtohappiness：回复@Sheldon：核空间的意思就是把定义域中的哪个子空间映射为零，而相空间应该是像空间吧，它说的是把整个定义域映射为值域中的哪个子空间。这样说来，ker(curl)/im(grad)的意思应该就是指无旋场构成的空间，但在此把只相差一个梯度场的两个场当作是相同的。换句话说，我们想知道有没有哪个无旋场不是某个标量场的梯度；如果有的话，有哪些。 - 2013-03-22 05:21 回复
- Sheldon：请问核空间和相空间是什么意思呢？看了你的描述，总觉得和AdS/CFT有点儿关系 - 2013-03-22 01:11 回复
- Sheldon：后面的说明看懂了八、九成！就数你讲的最明白啦。 - 2013-03-22 01:03 回复
- pathtohappiness：以前看过但觉得很不好懂，现在看到这些实例想起一点了，谢谢！ - 2013-03-21 23:27 回复
- 呆头鹅：看到最后一句，身心觉得很放松。 - 2013-03-21 22:37 回复
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